正規分布の半値幅を計算する（半値幅 - Wikipedia）．
正規分布は以下で与えられる（正規分布の覚え方 - Notes_JP）：
平均$\mu$，分散$\sigma^{2}$の正規分布
\begin{aligned}
N(\mu, \sigma^{2}) =
\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{- (x-\mu)^{2}/2\sigma^{2}}
\end{aligned}
N(\mu, \sigma^{2}) =
\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{- (x-\mu)^{2}/2\sigma^{2}}
\end{aligned}
「幅」を求める際には，$\mu=0$の場合を考えれば良い．このとき，正規分布は定数倍を除いて
\begin{aligned}
f(x) = e^{- x^{2}/2\sigma^{2}}
\end{aligned}
となる．これは$x=0$で最大値1をとる関数である．f(x) = e^{- x^{2}/2\sigma^{2}}
\end{aligned}
$f(x)=1/2$となるのは，
\begin{aligned}
& f(x)=1/2 \\
& \Leftrightarrow - x^{2}/2\sigma^{2} = - \ln 2 \\
& \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2\ln 2} \sigma
\end{aligned}
である．& f(x)=1/2 \\
& \Leftrightarrow - x^{2}/2\sigma^{2} = - \ln 2 \\
& \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2\ln 2} \sigma
\end{aligned}
したがって，
正規分布の半値全幅（FWHM）
\begin{aligned}
\text{FWHM}
= 2\sqrt{2\ln 2} \sigma
\end{aligned}
\text{FWHM}
= 2\sqrt{2\ln 2} \sigma
\end{aligned}
逆に半値全幅（FWHM）が与えられているとき，この式から正規分布の標準偏差$\sigma$を計算できる．
