正規分布の半値幅(FWHM)

正規分布の半値幅を計算する(半値幅 - Wikipedia).

正規分布は以下で与えられる(正規分布の覚え方 - Notes_JP):

平均$\mu$,分散$\sigma^{2}$の正規分布
\begin{aligned}
N(\mu, \sigma^{2}) =
\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{- (x-\mu)^{2}/2\sigma^{2}}
\end{aligned}

「幅」を求める際には,$\mu=0$の場合を考えれば良い.このとき,正規分布は定数倍を除いて

\begin{aligned}
f(x) = e^{- x^{2}/2\sigma^{2}}
\end{aligned}
となる.これは$x=0$で最大値1をとる関数である.

$f(x)=1/2$となるのは,

\begin{aligned}
& f(x)=1/2 \\
& \Leftrightarrow - x^{2}/2\sigma^{2} = - \ln 2 \\
& \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2\ln 2} \sigma
\end{aligned}
である.

したがって,

正規分布の半値全幅(FWHM)
\begin{aligned}
\text{FWHM}
= 2\sqrt{2\ln 2} \sigma
\end{aligned}
である.

逆に半値全幅(FWHM)が与えられているとき,この式から正規分布の標準偏差$\sigma$を計算できる.