「数列」の上極限・下極限・極限

上極限・下極限・極限(数列)
POINT

  • 数列の上極限(limsup)・下極限(liminf)について.

級数の収束半径などで現れます.

$\epsilon$-$N$論法の良い練習にもなります.$\inf, \sup$の性質(定義)さえわかっていれば,必要に応じて導けると思います.

コンパクトな内容にしようと思っていましたが,少しずつ書き足した結果,長くなってしまいました(未完).
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定義

記法

本記事では,実数$\mathbb{R}$に$\pm\infty$を付け加えた集合を
\begin{aligned}
\overline{\mathbb{R}}
\coloneqq \mathbb{R}\cup\{-\infty, +\infty\}
\end{aligned}
と表し,$\overline{\mathbb{R}}$の数列$\{a_{n}\}_{n}$を考える.

また,

\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \displaystyle
\sup_{k \geq n} a_{k} \coloneqq \sup \{a_{k} \mid k \geq n\} \\
\, \displaystyle
\inf_{k \geq n} a_{k} \coloneqq \inf \{a_{k} \mid k \geq n\}
\end{cases}
\end{aligned}
と略記する.

上極限・下極限

$\overline{\mathbb{R}}$の数列$\{a_{n}\}_{n}$に対し,上極限と下極限を,それぞれ数列$\{ \sup_{k \geq n} a_{k} \}_{n}$,$\{\inf_{k \geq n} a_{k} \}_{n}$の極限として定義する.

数列の上極限
\begin{aligned}
\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} a_{n}
\coloneqq \lim_{n \to \infty} \sup_{k \geq n} a_{k}
\end{aligned}
上極限は,$\displaystyle\limsup_{n\to\infty} a_{n}$とも表す.


数列の下極限
\begin{aligned}
\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_{n}
\coloneqq \lim_{n \to \infty} \inf_{k \geq n} a_{k}
\end{aligned}
下極限は,$\displaystyle\liminf_{n\to\infty} a_{n}$とも表す.


さて,以上の定義がwell-definedであることを確かめる必要がある.つまり,数列$\{ \sup_{k \geq n} a_{k} \}_{n}$,$\{\inf_{k \geq n} a_{k} \}_{n}$の極限が存在することを確かめなくてはならない.

極限が存在すること

数列$\{ \sup_{k \geq n} a_{k} \}_{n}$は単調減少列,$\{\inf_{k \geq n} a_{k} \}_{n}$は単調増加列である.したがって,以下を示せば,上極限・下極限の定義はwell-definedとなる.
命題
点列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$を$\overline{\mathbb{R}}$の点列とする.
  1. $\{a_{n}\}_{n}$が単調減少列なら,極限が存在し,$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n} = \inf \{a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}$.
  2. $\{a_{n}\}_{n}$が単調増加列なら,極限が存在し,$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n} = \sup \{a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}$.
([2] 第V章 命題1.2)
【証明】
1.) $a = \inf \{a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}$とすると,$\inf$の定義から,任意の$\epsilon > 0$に対して$a \leq a_{n_{0}} < a + \epsilon$を満たす$n_{0} \in \mathbb{N}$が存在する.したがって,$n\in\mathbb{N}$に対し$n\geq n_{0} \Rightarrow$$a \leq a_{n} < a + \epsilon \Rightarrow $$| a_{n} - a| < \epsilon$を満たす.以上より,$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n} = a = \inf \{a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}$が示された(※ ハイライト部分が極限の定義になっている).//

2.) 1. と同様.

または,$\{ - a_{n}\}_{n}$が単調減少列になるから,1. の結果より

\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} (-a_{n})
&= \inf \{ - a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\} \\
&= -\sup \{ a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}
\end{aligned}
と,示せる(最後の等式は,後述の「$\displaystyle \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} ( - a_{n}) = - \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_{n} $」の証明を参照).//


上極限と下極限の関係

大小関係(不等式)

集合の場合の「包含関係」に対応する関係です.
大小関係
\begin{aligned}
\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_{n}
\leq \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} a_{n}
\end{aligned}
【証明】
数列$\{ \sup_{k \geq n} a_{k} \}_{n}$,$\{\inf_{k \geq n} a_{k} \}_{n}$の極限が存在し,任意の$n\in \mathbb{N}$に対して
\begin{aligned}
\inf_{k \geq n} a_{k}
\leq \sup_{k \geq n} a_{k}
\end{aligned}
である.よって,示された(例えば,[2] 第I章 定理2.6).//

(-1)倍

集合の場合の「補集合」に対応する関係です.
上極限と下極限の関係
\begin{aligned}
& \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} ( - a_{n})
= - \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_{n} \\
& \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} ( - a_{n})
= - \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} a_{n}
\end{aligned}
【証明】
第2式は,第1式で$a_{n}$を$-a_{n}$で置き換えたものである.したがって,第1式を示せば良い.

第1式は,

\begin{aligned}
\sup_{k \geq n} (- a_{k})
= - \inf_{k \geq n} a_{k}
\end{aligned}
を示せば良い.$\inf$の定義から
  • 任意の$l \geq n$に対して$\displaystyle \inf_{k \geq n} a_{k} \leq a_{l}$
  • 任意の$\displaystyle y > \inf_{k \geq n} a_{k}$に対して$l \geq n$が存在し,$y > a_{l}$
が成り立つ.したがって,
  • 任意の$l \geq n$に対して$\displaystyle - \inf_{k \geq n} a_{k} \geq - a_{l}$
  • 任意の$\displaystyle y < - \inf_{k \geq n} a_{k}$に対して$l \geq n$が存在し,$y < - a_{l}$
が成り立つ.これは,$\displaystyle \sup_{k \geq n} (-a_{k}) = - \inf_{k \geq n} a_{k}$を意味する.//

定数倍

定数倍
  1. $c > 0$に対し
    • $\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} ( c a_{n}) = c \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} a_{n}$
    • $\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} ( c a_{n}) = c \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_{n}$
  2. $c < 0$に対し
    • $\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} ( c a_{n}) = c \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_{n}$
    • $\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} ( c a_{n}) = c \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} a_{n}$
【証明】
1. が示せれば,2. は$c = - (-c)$と考えて「1. の結果」と「(-1)倍」の性質から示される.
1. は$c > 0$に対し次が成り立つことからわかる.
\begin{aligned}
& c \cdot \sup_{k\geq n} a_{k} = \sup_{k\geq n} (c a_{k}) \\
& c \cdot \inf_{k\geq n} a_{k} = \inf_{k\geq n} (c a_{k})
\end{aligned}

第1式のみ示す(第2式も同様に示せる).

任意の$n \in \mathbb{N}$と$l \geq n$に対し

\begin{aligned}
c a_{l} \leq c \cdot \sup_{k\geq n} a_{k}
\end{aligned}
である.また,$\displaystyle \forall x < c \cdot \sup_{k\geq n} a_{k}$に対し$l \geq n$が存在して
\begin{aligned}
& x / c < a_{l}\\
&\Leftrightarrow x < c a_{l}
\end{aligned}
を満たす.以上のことは
\begin{aligned}
c \cdot \sup_{k\geq n} a_{k} = \sup_{k\geq n} (c a_{k})
\end{aligned}
を意味している.//

性質

極限

「上極限」「下極限」という以上,2者が一致する場合には「①極限が存在し」,「②上極限(=下極限)に一致している」ことが成り立ってほしいです.これが成り立つことが示せます.
極限
  1. 数列$\{a_{n}\}_{n}$の極限が存在する $\Leftrightarrow \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_{n} = \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} a_{n}$.
  2. $\displaystyle \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_{n} = \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} a_{n} = a \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_{n} = a$.
【証明】
1.)
($\Rightarrow$) $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n} = a$とする.極限の定義から,任意の$\epsilon > 0$に対し,$n_{0}\in\mathbb{N}$が存在し,$n\in\mathbb{N}$に対し$n\geq n_{0} \Rightarrow$$|a_{n} - a| < \epsilon / 2$を満たす.

ここで,

\begin{aligned}
& |a_{n} - a| < \epsilon / 2 \\
& \Leftrightarrow a - \epsilon / 2 < a_{n} < a + \epsilon / 2 \\
&\Rightarrow a - \epsilon / 2 < \sup_{k\geq n} a_{k} \leq a + \epsilon / 2 \\
&\Rightarrow |\sup_{k\geq n} a_{k} - a| \leq \epsilon / 2 < \epsilon
\end{aligned}
であるから,$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n} = a = \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} a_{n}$が示された(※ ハイライト部分と合わせて,極限の定義になっている).

数列$\{a_{n}\}_{n}$の極限が存在するとき,数列$\{-a_{n}\}_{n}$の極限も存在し,$\displaystyle \lim_{n\to\infty} ( - a_{n}) = - \lim_{n\to\infty} a_{n}$である.したがって,もう一つの等式も

\begin{aligned}
\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_{n}
&= - \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} ( - a_{n}) \\
&= - \lim_{n\to\infty} ( - a_{n}) \\
&= \lim_{n\to\infty} a_{n}
\end{aligned}
と示される.

($\Leftarrow$)

\begin{aligned}
\inf_{k\geq n} a_{k}
\leq a_{n}
\leq \sup_{k\geq n} a_{k}
\end{aligned}
であるから,はさみうちの原理により
\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} a_{n}
=\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_{n}
= \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} a_{n}
\end{aligned}
となる.//

2.) 1. の($\Leftarrow$) の証明中で示された.//


不等式

和の大小関係
  1. $\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} (a_{n} + b_{n}) \leq \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} a_{n} + \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} b_{n}$
  2. $\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} (a_{n} + b_{n}) \geq \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_{n} + \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} b_{n}$
【証明】
1.) 以下が示せれば,「$\displaystyle \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_{n} \leq \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} a_{n}$」の証明と同様の方法で示される.
\begin{aligned}
\sup_{k \geq n} (a_{k} + b_{k})
\leq \sup_{k \geq n} a_{k} + \sup_{k \geq n} b_{k}
\end{aligned}
(右辺の方が条件が緩いので直感的には成り立つが,丁寧に定義に立ち返って示す).

任意の$n\in\mathbb{N}$と$l \geq n$に対し,$a_{l} \leq \sup_{k \geq n} a_{k}$,$b_{l} \leq \sup_{k \geq n} b_{k}$なので

\begin{aligned}
a_{l} + b_{l}
\leq \sup_{k \geq n} a_{k} + \sup_{k \geq n} b_{k}
\end{aligned}
が成り立つ.したがって,$\sup$の定義(上界の最小値であること)から
\begin{aligned}
& \sup_{k \geq n} (a_{k} + b_{k}) \\
&= \sup_{l \geq n} (a_{l} + b_{l}) \\
&\leq \sup_{k \geq n} a_{k} + \sup_{k \geq n} b_{k}
\end{aligned}
が示された.//


2.) 1. と同様に

\begin{aligned}
\inf_{k \geq n} a_{k} + \inf_{k \geq n} b_{k}
\leq \inf_{k \geq n} (a_{k} + b_{k})
\end{aligned}
から示される.

あるいは,$a_{n}, b_{n}$をそれぞれ$-a_{n}, -b_{n}$に置き換えれば,1. と上で求めた関係式「$\displaystyle \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} ( - a_{n}) = - \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_{n} $」から示される.//

積の大小関係
$a_{n},b_{n} \geq 0$のとき,
  1. $\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} (a_{n} b_{n}) \leq \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} a_{n} \cdot \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} b_{n}$
  2. $\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} (a_{n} b_{n}) \geq \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_{n} \cdot \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} b_{n}$
【証明】
1. 任意の$n\in\mathbb{N}$と$l \geq n$に対し,$0 \leq a_{l} \leq \sup_{k \geq n} a_{k}$,$0 \leq b_{l} \leq \sup_{k \geq n} b_{k}$なので
\begin{aligned}
a_{l} \cdot b_{l}
\leq \sup_{k \geq n} a_{k} \cdot \sup_{k \geq n} b_{k}
\end{aligned}
が成り立つ.$\sup$の定義(上界の最小値であること)から
\begin{aligned}
\sup_{k \geq n} (a_{k} \cdot b_{k})
&\leq \sup_{k \geq n} a_{k} \cdot \sup_{k \geq n} b_{k}
\end{aligned}
なので,示された.//

2. 任意の$n\in\mathbb{N}$と$l \geq n$に対し,$0 \leq \inf_{k \geq n} a_{k} \leq a_{l}$,$0 \leq \inf_{k \geq n} b_{k} \leq b_{l}$なので

\begin{aligned}
\inf_{k \geq n} a_{k} \cdot \inf_{k \geq n} b_{k}
\leq a_{l} \cdot b_{l}
\end{aligned}
が成り立つ.$\inf$の定義(下界の最大値であること)から
\begin{aligned}
\inf_{k \geq n} a_{k} \cdot \inf_{k \geq n} b_{k}
\leq \inf_{k \geq n} (a_{k} \cdot b_{k})
\end{aligned}
なので,示された.//

商の大小関係
$a_{n} > 0$のとき,
\begin{aligned}
\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}
\leq \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} \sqrt[n]{a_{n}}
\leq \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} \sqrt[n]{a_{n}}
\leq \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}
\end{aligned}

参考文献