上極限・下極限・極限(集合)

POINT

  • 上極限集合,下極限集合を使うための練習.

そんなに難しい話ではないのに,最初はとっつきにくい集合論.
頭の体操にはちょうどよいかも?

面倒臭がらずに,定義に戻って考えましょう.同時に,直感的な理解もしたいところです.
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  • [A] 数列の上極限・下極限の記事を書きたいです.

定義

集合列$\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty}$に対し,上極限集合と下極限集合を次で定義する.

上極限集合
\begin{aligned}
\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} A_{n}
\coloneqq \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k \geq n} A_{k}
\end{aligned}

下極限集合
\begin{aligned}
\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} A_{n}
\coloneqq \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k \geq n} A_{k}
\end{aligned}

極限集合
$\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} A_{n} = \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} A_{n}$であるとき,極限集合を
\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} A_{n}
&\coloneqq \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} A_{n} = \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} A_{n}
\end{aligned}
で定める.

上極限集合は,無限個の$A_{n}$に含まれる元からなる.条件を書き下すと

\begin{aligned}
& x \in \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} A_{n} \\
&\Leftrightarrow {}^{\forall}n,\: {}^{\exists} k \geq n \mathrm{\:s.t.\:} x \in A_{k}
\end{aligned}
である.

下極限集合は,有限個の$A_{n}$を除いたすべての集合に含まれる元からなる.条件を書き下すと

\begin{aligned}
& x \in \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} A_{n} \\
&\Leftrightarrow {}^{\exists}n \mathrm{\:s.t.\:} {}^{\forall} k \geq n,\, x \in A_{k}
\end{aligned}
である.

性質

包含関係

包含関係
\begin{aligned}
\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} A_{n}
\subset \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} A_{n}
\end{aligned}
上の説明から直感的にはOKですが,ちゃんと定義に戻って示しましょう.
【証明】
$x \in \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} A_{n}$とする.下極限集合の定義から,$n_{x}$が存在して$l \geq n_{x} \Rightarrow x \in A_{l}$である.

このとき,任意の$n$に対して$k=\max(n_{x}, n)$とすれば,$k \geq n$かつ$x \in A_{k}$である.したがって,$x\in \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} A_{n}$.//

補集合

補集合
\begin{aligned}
& \Bigl(\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} A_{n} \Bigr)^{c}
= \underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} (A_{n})^{c} \\
& \Bigl(\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} A_{n} \Bigr)^{c}
= \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} (A_{n})^{c}
\end{aligned}
【証明】
de Morganの公式から
\begin{aligned}
\Bigl(\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} A_{n} \Bigr)^{c}
&= \Biggl( \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k \geq n} A_{k} \Biggr)^{c} \\
&=\bigcup_{n=1}^{\infty} \Biggl( \bigcup_{k \geq n} A_{k} \Biggr)^{c} \\
&=\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k \geq n} (A_{k})^{c} \\
&=\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} (A_{n})^{c}
\end{aligned}
となる.

もう一方も同様.あるいは,上の結果で$\{(A_{n})^{c}\}$を考えて,両辺の補集合をとればよい.//

増大列・減少列

増大列・減少列
  1. $\{A_{n}\}_{n}$が増大列$\Rightarrow \lim A_{n} = \bigcup_{n} A_{n}$
  2. $\{A_{n}\}_{n}$が減少列$\Rightarrow \lim A_{n} = \bigcap_{n} A_{n}$
※メモには解析概論 p.397と書いてある(書籍が手元にない).

【証明】
1. $\{A_{n}\}$が増大列であるとき,$\bigcup_{k\geq n} A_{k}$は$n$に依らない.これを$A$とすれば,$\varlimsup A_{n}=A$.

また,$\bigcap_{k\geq n} A_{k}=A_{n}$であるから,$\varliminf A_{n}=\bigcup_{n} A_{n}=A$.

以上より,$\lim A_{n}=A=\bigcup_{n} A_{n}$.//

2. $\{A_{n}\}$が減少列であるとき, $\{(A_{n})^{c}\}$は増大列である.したがって1. から$\varliminf (A_{n})^{c}=\varlimsup (A_{n})^{c}=\bigcup_{n} (A_{n})^{c} = \bigl(\bigcap_{n} A_{n} \bigr)^{c}$が成り立つ.

よって,両辺の補集合を取れば,$\varlimsup A_{n}=\varliminf A_{n} = \bigcap_{n} A_{n}$となる.//



(別解)1. と同じ方法でも証明できる.

$\{A_{n}\}$が減少列であるとき,$\bigcap_{k\geq n} A_{k}$は$n$に依らない.これを$A$とすれば,$\varliminf A_{n}=A$.

また,$\bigcup_{k\geq n} A_{k}=A_{n}$であるから,$\varlimsup A_{n}=\bigcap_{n} A_{n}=A$.

以上より,$\lim A_{n}=A=\bigcap_{n} A_{n}$.//

その他

その他の関係式
\begin{aligned}
\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} A_{n}
&= \lim_{n\to\infty} \bigcup_{k \geq n} A_{k} \\
\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} A_{n}
&= \lim_{n\to\infty} \bigcap_{k \geq n} A_{k}
\end{aligned}
【証明】
$\{\bigcup_{k \geq n} A_{k}\}_{n}$は減少列なので
\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} \bigcup_{k \geq n} A_{k}
&=\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k \geq n} A_{k} \\
&=\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} A_{n}
\end{aligned}
となる.

$\{\bigcap_{k \geq n} A_{k}\}_{n}$は増加列なので

\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} \bigcap_{k \geq n} A_{k}
&=\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k \geq n} A_{k} \\
&=\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} A_{n}
\end{aligned}
となる.//

参考文献