数学-解析学

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【実用例】面積・体積の計算法

POINT 面積・体積の計算を丁寧に解説. 同じ例を複数の方法で計算する方法を紹介. 公式として覚えているものも,同じプロセスで導かれることを見てみましょう.いつでも導出できるようになると便利です.とりあえずは球を中心に作成しました.他の例も,こ…

極限操作(微分・積分・lim)の交換:定理と反例

POINT 極限操作(lim,微分,積分)を入れ替えられない例の紹介. 一様収束や微分,積分をグラフで理解しておけば簡単に反例をつくることができる. 絵(グラフ)で考えることが重要です.以下のような"当たり前"のポイントさえ掴んでいれば,反例を考えることは…

【例】収束因子

POINT 数学的に収束因子が正当化される例の紹介. 物理においては,実験との比較によって正当化される. 物理では,広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし,最後に収束因子の影響を除く操作を行うことがあります.この操作が正当化されるの…

曲面積の求め方

POINT 曲面積の定義式さえ理解しておけば,派生公式なしで計算が可能です. 具体例として,曲面積の定義から回転体の表面積などの派生公式を導いてみます. この記事を読めば, 曲面積の定義式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生公式を覚える必要…

【パラドックス】「1=−1」と複素数の平方根

POINT 複素数の平方根で有名な1=−1となるパラドックスを紹介. 実数の平方根と異なり,符号を一意に決められないことが原因. 高校生や大学の複素解析を学んだとき,「平方根」で混乱したことはないでしょうか?一見正しそうな計算により,1=−1 が導かれる…

ランダウの記号の使い方

POINT オーダーを表す,Landau symbol (ランダウの記号)を紹介. 具体例を紹介する. 微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよく現れます(カリグラフィー$\mathcal{O}$が使われることもあります).微積分学の教科書を開けば,至…

【Lebesgue積分】優収束定理(limと積分の順序交換)

POINT 優収束定理(limと積分の順序交換)と応用例の解説. 優収束定理とその適用例を紹介します.微分・積分の順序交換については,以下の記事を参照して下さい: 優収束定理 例 参考文献 優収束定理 優収束定理 (Dominated convergence theorem) $(X,\math…

【Lebesgue積分】微積分の順序交換

POINT 微積分の順序交換に関する定理の紹介. 応用例としてGauss積分について解説する. 微積分の順序交換に関する定理と,応用例を紹介します. 極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい:…

【反例】Riemann積分可能でも,Lebesgue積分は不可能な例:sinx/x

POINT 「Riemann可積分であり,Lebesgue可積分でない」有名な例の紹介. 関数$\dfrac{\sin x}{x}$は,広義Riemann積分可能でも,Lebesgue積分は不可能な有名な例として知られています.じゃあ,「Lebesgue積分はRiemann積分よりも計算できる関数が少ないのか…

積分公式(三角関数・双曲線関数・指数関数・対数関数)の一覧と導出

POINT 積分公式の一覧(途中計算あり). 対象:三角関数・双曲線関数・指数関数・対数関数. 基本的な不定積分公式を導出します.以下では$a>0$とし,積分定数は省略します. 指数関数 三角関数 双曲線関数 対数関数 有理関数 無理関数 参考文献 指数関数 \…