数学-解析学
$\log_{10} x$の導関数を計算できますか？ 【関連記事】 常用対数から自然対数への変換 一般的な底の変換 一般的な微分公式 常用対数から自然対数への変換常用対数$\log_{10} x$はよく使われますが，例えば微分したいときに困ります．$\ln x = \log_{e}x$の…
POINT 三角関数の公式は指数関数を使って導くことができる． オイラーの公式を使わない方法は，次の記事を参照してください：三角関数と公式 - Notes_JP 【関連記事】 オイラーの公式 加法定理 和積公式 三角関数の合成 オイラーの公式指数関数を使って三角…
【関連記事】 主成分回帰（PCR）・部分最小二乗法（PLS） - Notes_JP 主成分分析（PCA）とは あらすじ 考え方（分散の最大化） 考え方（対角化） 元データの分解 データ行列を使った表現 特異値分解との関係 参考文献 主成分分析（PCA）とはあらすじ1回の測…
$x^{3} = 1$の解は$x = \omega, \omega^{2}, \omega^{3}( = 1)$と表せる（下図）．但し，$\omega$の選び方には図a), b)の2通りがある．さらに，図で3つのベクトルの和を考えれば，図a), b)のどちらでも\begin{aligned} \omega^{2} + \omega + 1 = 0 \end{ali…
POINT 相関関数と畳み込みの比較． フーリエ変換を使って計算する方法 【関連記事】 定義 畳み込み積分の意味 フーリエ変換を使った計算方法 離散版 参考記事 定義ここでは積分変数$t$を時間とみなす．相互相関関数も畳み込み積分も，「①2つの関数$f, g$のう…
POINT 「実関数のフーリエ変換」の性質について． 現実のデータをフーリエ変換で解析する場合，実数値関数のフーリエ変換となる場合が多い．その性質を知っておくと解析で役に立つ場合がある．【関連記事】 連続フーリエ変換 一般論 偶関数の場合 奇関数の場…
POINT sinのFFT (DFT) と DTFT，連続フーリエ変換の結果を比較する． numpy.fftの使い方を整理する． numpy.fftを正弦波で試したのでメモ． Discrete Fourier Transform (numpy.fft) — NumPy v1.26 Manual【関連記事】 sinの（連続）フーリエ変換 sinのFFT (…
POINT フーリエ変換〜DTFT〜DFTのつながりを整理する． サンプリングデータから，元の連続信号のスペクトルを得るにはどうすればよいか，という視点で考える． DFTと元の連続信号のフーリエ変換はどういう関係にあるのか？ サンプリング信号は，どうしてイン…
POINT 数列の上極限（limsup）・下極限（liminf）について． 級数の収束半径などで現れます．$\epsilon$-$N$論法の良い練習になります．$\inf, \sup$の性質（定義）さえわかっていれば，必要に応じて導けると思います．コンパクトな内容にしようと思っていま…
POINT 東大教養学部のゼミ「群論と微分方程式」の講義録． 各章が短くて進めやすい（第9週は2ページ！） 【関連】読書メモ - Notes_JP．東大教養学部のゼミ「群論と微分方程式」の講義録だそうです．出席した学生の中から，数学者になった方もいるそうです．…
POINT 点と直線の距離，点と平面の距離を導く． イメージ重視の説明にしています． 簡単に覚えて，いつでも思い出せる手法です． 法線ベクトル 点と曲面の距離 点と直線の距離 点と平面の距離 法線ベクトル法線ベクトル曲面$f (\boldsymbol{x}) = 0$を考える…
POINT 確率$0 確率$p$の$n$種類の当たりくじを全て当てるまでの試行回数の期待値は$\displaystyle \frac{1}{p}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$． 様々な計算方法があります．中でも，条件付き期待値による方法は，直感を利用して計算を省略できるメリットがあり…
POINT 離散フーリエ変換（DFT）に関するまとめ． 計算機では有限子の離散データしか扱えない．そこで，有限子の離散データを周期的に拡張して扱う． 非周期的なデータは扱えず，周期的なデータとなる． フーリエ変換は離散フーリエ変換（DFT）として扱い，高…
POINT 鞍点法（鞍部点法，最急降下（線）法）の計算について． 解析関数と鞍点 鞍点法 例 参考記事/文献 解析関数と鞍点解析関数（正則関数）$f$の実部と虚部をそれぞれ$u$, $v$と表す（$f=u+iv$）ときCauchy-Riemannの方程式\begin{aligned} \frac{\partial…
POINT 二項定理のポイントは「場合の数」． 式の展開に「組み合わせ」を表す$\displaystyle {}_n\mathrm{C}_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$が現れる理由を理解することが重要． 多項定理も全く同じように理解できる． 【関連記事】 二項定理 多項定理 二項定理二項…
POINT 複数の三角関数の和を計算する． 物理的には，単振動を複数合成することを意味する． オイラーの公式を用いて導出することもできる． 【関連記事】 三角関数の合成 複数の三角関数 複素指数関数を使う方法 参考文献 三角関数の合成まずは，$\sin$と$\c…
POINT フーリエ変換の関係式とその導出． 【関連記事】 定義 逆変換 性質 よく使う関係式 偶関数・奇関数の場合 計算例 指数関数 ガウス関数 デルタ関数 2πの付け方の違い 全体の定数倍 係数の定数倍 参考文献 定義関数$f$のフーリエ変換$\hat{f}=\mathcal{F…
POINT 回転体の体積を計算する「バームクーヘン積分」を解説． 回転体の体積をバームクーヘンのような薄皮に分割して足し上げることで計算する方法は「バームクーヘン積分」と呼ばれます．英語だとShell integrationと呼ばれているようです．立体をShell（殻…
POINT ガウス積分の計算をまとめました． ガウス積分とは，ガウス関数$e^{-x^2}$の積分のことです．ガウス関数は正規分布を始めとして様々な場面で現れることから，ガウス積分の計算に出くわす機会は頻繁にあります．派生する公式が多いことも特徴の一つです…
POINT 三角関数の公式のほとんどは，単位円やグラフを描けば導ける． 例外的に「加法定理（3つ）」だけは暗記が必要．他の公式は加法定理から簡単に計算できる． 三角関数はあらゆる分野で現れます．ベクトルなどと同様に，ツールとしての役割が大きいです．…
POINT 面積・体積の計算を丁寧に解説． 同じ例を複数の方法で計算する方法を紹介． 公式として覚えているものも，同じプロセスで導かれることを見てみましょう．いつでも導出できるようになると便利です．とりあえずは球を中心に作成しました．他の例も，こ…
POINT 極限操作（lim,微分,積分）を入れ替えられない例の紹介． 一様収束や微分，積分をグラフで理解しておけば簡単に反例をつくることができる． 絵（グラフ）で考えるとわかりやすいです．次のポイントさえ掴んでいれば，反例を考えることは簡単です： 微…
POINT 数学的に収束因子が正当化される例の紹介． 物理においては，実験との比較によって正当化される． 物理では，広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし，最後に収束因子の影響を除く操作を行うことがあります．この操作が正当化されるの…
POINT 定義さえ理解しておけば，（派生）公式を覚えなくても計算できる． 具体例として，回転体の表面積の派生公式などを導く． 曲面積の定義 派生公式 球の表面積 グラフの曲面積（$X=x$, $Y=y$, $Z=f(x,y)$） $y=f(x)$の回転体（$X=x$, $Y=f(x)\cos\theta$…
POINT 0.999・・・=1という式の意味について解説する． 10進法では同じ数が2通りの方法で表せることがわかる． 2進数を始め，N進数でも同じことが起こる． 0.999・・・=1という式は「正しい式」として教えられますが，納得できている人は多くないのではない…
POINT 複素数の平方根で有名な1＝−1となるパラドックスを紹介． 実数の平方根と異なり，符号を一意に決められないことが原因． 高校生や大学の複素解析を学んだとき，「平方根」で混乱したことはないでしょうか？一見正しそうな計算により，1＝−1 が導かれる…
POINT ランダウの記号は，無限小や無限大を議論する際に現れる． 微小量の高次項を表す際，$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号が現れます（カリグラフィー$\mathcal{O}$が使われることもあります）．例えば，微積分学の教科書の中には，証明の中でこの記号…
POINT 優収束定理（limと積分の順序交換）と応用例の解説． 優収束定理とその適用例を紹介します．微分・積分の順序交換については，以下の記事を参照して下さい： 【Lebesgue積分】微積分の順序交換 - Notes_JP 優収束定理 例 参考文献 優収束定理優収束定…
POINT 微積分の順序交換に関する定理の紹介． 応用例としてGauss積分について解説する． 微積分の順序交換に関する定理と，応用例を紹介します． 極限記号$\lim$と，積分$\displaystyle\int$の順序交換（優収束定理）については，次の記事を参照して下さい：…
POINT 「Riemann可積分であり，Lebesgue可積分でない」有名な例の紹介． 関数$\dfrac{\sin x}{x}$は，広義Riemann積分可能でも，Lebesgue積分は不可能な有名な例として知られています．じゃあ，「Lebesgue積分はRiemann積分よりも計算できる関数が少ないのか…
