【反例】Riemann積分可能でも，Lebesgue積分は不可能な例：sinx/x

POINT

• 「Riemann可積分であり，Lebesgue可積分でない」有名な例の紹介．

関数$\dfrac{\sin x}{x}$は，広義Riemann積分可能でも，Lebesgue積分は不可能な有名な例として知られています．じゃあ，「Lebesgue積分はRiemann積分よりも計算できる関数が少ないのか？」といえばそうではありません．なぜなら，広義Riemann積分と同じものをLebesgue積分で計算することは可能であるからです．

RiemannとLebesgue積分の関係

RiemannとLebesgue積分の間には，以下のような関係があります：

1. (狭義) Riemann積分可能な関数は，Lebesgue積分も可能．このとき，両者の積分は一致する．
2. $f$が広義Riemann積分可能 (有限) でも，$f\geq 0$でないときには，Lebesgue積分可能とは限らない

2. の例として挙げられるのが，$\dfrac{\sin x}{x}$です．この関数は，$[0,\infty)$上で広義Riemann積分可能ですが，Lebesgue積分は不可能です．

以下で，詳しく見ていきましょう．

広義Riemann積分の計算方法

この広義積分

\begin{aligned}
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x
=\lim_{\epsilon\to 0}\lim_{R\to \infty}\int_{\epsilon}^R\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x
\end{aligned}

は，例えば以下の方法で計算できます．

1. 複素積分
   • これは複素解析の本でよく見る，お馴染みの方法ですね．
2. Lebesgue積分論を用いて広義Riemann積分を計算
   • 極限をとるまえの積分は，「Lebesgue積分の結果＝Riemann積分の結果」になることを利用するわけです．

Lebesgue可積分でないこと

$f(x)=\sin x/x$とする．

\begin{aligned}
f^+(x)
&=\max\{f(x),0\} \\
&=\begin{cases}
\, \sin x/x & (x\in [2k\pi,(2k+1)\pi] ) \\
\, 0 & (\text{otherwise})
\end{cases}\\
f^-(x)
&=\max\{-f(x),0\} \\
&=\begin{cases}
\, -\sin x/x & (x\in [(2k+1)\pi,(2k+2)\pi] ) \\
\, 0 & (\text{otherwise})
\end{cases}
\end{aligned}

に対して

\begin{aligned}
\int_0^\infty f^+(x)\,\mathrm{d}x &= \infty \\
\int_0^\infty f^-(x)\,\mathrm{d}x &= \infty
\end{aligned}

を示す（$k\in\mathbb{N}$）．

$f(x)=\sin x/x$は，$k\in\mathbb{N}$に対して

\begin{aligned}
&\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{\sin x}{x} \,\mathrm{d}x \\
&\geq \frac{1}{(2k+1)\pi}\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\sin x\,\mathrm{d}x\\
&= \frac{2}{(2k+1)\pi}
\end{aligned}

が成り立つ．この式から，任意の$n\in\mathbb{N}$に対して

\begin{aligned}
\int_{[0,\infty)} f^+ \,\mathrm{d}x
&\geq \sum_{k=0}^n\int_{[2k\pi,(2k+1)\pi]}f^+ \,\mathrm{d}x\\
&\geq \sum_{k=0}^n \frac{2}{(2k+1)\pi}
\end{aligned}

となる．よって$n\rightarrow \infty$とすれば

\begin{aligned}
\int_{[0,\infty)} f^+ \,\mathrm{d}x
=+\infty.
\end{aligned}

同様に，$k\in\mathbb{N}$に対して

\begin{aligned}
&\int_{(2k+1)\pi}^{(2k+2)\pi} \biggl(-\frac{\sin x}{x}\biggr) \,\mathrm{d}x \\
&\geq \frac{1}{(2k+2) \pi}\int_{(2k+1)\pi}^{(2k+2)\pi} (-\sin x) \,\mathrm{d}x\\
&=\frac{2}{(2k+2)\pi}
\end{aligned}

が成り立つから

\begin{aligned}
\int_{[0,\infty)} f^- \,\mathrm{d}x
=+\infty
\end{aligned}

が示せる．したがって，$f$はLebesgue可積分ではない．//

注意：広義Riemann積分は，Lebesgue積分を使っても計算できる

Lebesgue積分では，広義Riemann積分の意味での

\begin{aligned}
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x
\end{aligned}

を計算出来ないわけではありません！

というのも，$\dfrac{\sin x}{x}$はLebesgue可積分でないですが，Lebesgue積分論を用いて広義Riemann積分

\begin{aligned}
\underbrace{\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x}_{\text{広義Riemann積分}}
=\lim_{\epsilon\to 0}\lim_{R\to \infty}
\underbrace{\int_{\epsilon}^R\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x}_{\substack{\text{Lebesgue積分}\\ \text{=Riemann積分}}}
\end{aligned}

を計算することはできるわけです．

この混乱の原因は，

\begin{aligned}
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x
\end{aligned}

と書いただけではLebesgue積分なのか，広義Riemann積分なのか区別できないことにあります．

つまり，$\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x$が広義Riemann積分を表す場合は

\begin{aligned}
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x
&\textcolor{red}{=}
\lim_{\epsilon\to 0}\lim_{R\to \infty}\int_{\epsilon}^R\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x
\end{aligned}

であるのに対し，$\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x$がLebesgue積分を表す場合には

\begin{aligned}
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x
&\textcolor{red}{\neq}
\lim_{\epsilon\to 0}\lim_{R\to \infty}\int_{\epsilon}^R\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x
\end{aligned}

であることに注意しなくてはなりません！