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【関連記事】
- 無次元化の具体例．
- 無次元化した方程式から「相似則」が導かれる．
- 無次元化の際，レイノルズ数などの無次元数が現れる．
Reynolds数
境界の形状が与えられたときの流れを求める問題を考えましょう．例えば，ある形のパイプ中の流れや，物体に当たる流れをイメージしてください．縮まない流体の基礎方程式は，
\begin{aligned}
\begin{cases}
\,\displaystyle
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{v}}{\mathrm{D}t}
=- \frac{1}{\rho}\mathrm{grad\,}p +\nu\Delta\boldsymbol{v}
&(\text{Navier-Stokes方程式}) \\
\,\displaystyle
\mathrm{div\,}\boldsymbol{v} =0
&(\text{連続の方程式})
\end{cases}
\end{aligned}
です（$\nu=\eta/\rho$は動粘度）．\begin{cases}
\,\displaystyle
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{v}}{\mathrm{D}t}
=- \frac{1}{\rho}\mathrm{grad\,}p +\nu\Delta\boldsymbol{v}
&(\text{Navier-Stokes方程式}) \\
\,\displaystyle
\mathrm{div\,}\boldsymbol{v} =0
&(\text{連続の方程式})
\end{cases}
\end{aligned}
$\rho$が定数であるとき，方程式から求めるべき未知関数は
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t), \quad
p(\boldsymbol{x},t)/\rho
\end{aligned}
の2つです．\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t), \quad
p(\boldsymbol{x},t)/\rho
\end{aligned}
次元解析
定常流（$\partial\boldsymbol{v}/\partial t = 0$）の場合，系の特徴量を| 次元 | 意味 | |
|---|---|---|
| $L$ | 長さ | 境界を特徴づける長さ |
| $U$ | 速さ | 流れを特徴づける速さ |
Reynolds数
\begin{aligned}
R=\frac{\rho U L}{\mu}
=\frac{UL}{\nu}
\end{aligned}
R=\frac{\rho U L}{\mu}
=\frac{UL}{\nu}
\end{aligned}
よって，求める未知関数の次元を考えれば，無次元関数$\boldsymbol{v}^{\prime},p^{\prime}$を使って
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})
&=U\cdot \boldsymbol{v}^{\prime}(\boldsymbol{x}/L,R) \\
p(\boldsymbol{x})/\rho
&=U^{2}\cdot p^{\prime}(\boldsymbol{x}/L,R)
\end{aligned}
と表せます．つまり，\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})
&=U\cdot \boldsymbol{v}^{\prime}(\boldsymbol{x}/L,R) \\
p(\boldsymbol{x})/\rho
&=U^{2}\cdot p^{\prime}(\boldsymbol{x}/L,R)
\end{aligned}
- 境界条件が幾何学的に相似
- Reynolds数$R$が等しい
方程式の無次元化
上では，Reynoldsの相似法則を「次元解析」によって導きました．同じことを方程式を無次元化することでも確かめてみましょう．無次元量を
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \boldsymbol{x}^{\prime}
=\boldsymbol{x}/L \\
\, \boldsymbol{v}^{\prime}
=\boldsymbol{v}/U \\
\, t^{\prime}
= t/(L/U) \\
\, p^{\prime}
= p/\rho U^{2}
\end{cases}
\end{aligned}
で定めると，上のNavier-Stokes方程式の各項は\begin{cases}
\, \boldsymbol{x}^{\prime}
=\boldsymbol{x}/L \\
\, \boldsymbol{v}^{\prime}
=\boldsymbol{v}/U \\
\, t^{\prime}
= t/(L/U) \\
\, p^{\prime}
= p/\rho U^{2}
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{v}}{\mathrm{D}t}
&=\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t}
+(\boldsymbol{v}\cdot\mathrm{grad\,}) \boldsymbol{v} \\
&=\frac{U}{L/U} \frac{\partial \boldsymbol{v}^{\prime}}{\partial t^{\prime}}
+\biggl(U\boldsymbol{v}^{\prime}\cdot \frac{1}{L}\mathrm{grad}^{\prime}\biggr)
(U\boldsymbol{v}^{\prime}) \\
&=\frac{U^{2}}{L} \frac{\mathrm{D}\boldsymbol{v}^{\prime}}{\mathrm{D}t^{\prime}} \\
\frac{1}{\rho}\mathrm{grad\,}p
&=\frac{1}{\rho}\frac{1}{L}\mathrm{grad}^{\prime}\,(\rho U^{2} p^{\prime}) \\
&=\frac{U^{2}}{L} \mathrm{grad}^{\prime}\,p^{\prime} \\
\nu\Delta\boldsymbol{v}
&=\nu \biggl(\frac{1}{L^{2}}\Delta^{\prime}\biggr) (U\boldsymbol{v}^{\prime}) \\
&=\frac{U^{2}}{L} \frac{1}{R}\Delta^{\prime} \boldsymbol{v}^{\prime}
\end{aligned}
なので，無次元化された方程式は\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{v}}{\mathrm{D}t}
&=\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t}
+(\boldsymbol{v}\cdot\mathrm{grad\,}) \boldsymbol{v} \\
&=\frac{U}{L/U} \frac{\partial \boldsymbol{v}^{\prime}}{\partial t^{\prime}}
+\biggl(U\boldsymbol{v}^{\prime}\cdot \frac{1}{L}\mathrm{grad}^{\prime}\biggr)
(U\boldsymbol{v}^{\prime}) \\
&=\frac{U^{2}}{L} \frac{\mathrm{D}\boldsymbol{v}^{\prime}}{\mathrm{D}t^{\prime}} \\
\frac{1}{\rho}\mathrm{grad\,}p
&=\frac{1}{\rho}\frac{1}{L}\mathrm{grad}^{\prime}\,(\rho U^{2} p^{\prime}) \\
&=\frac{U^{2}}{L} \mathrm{grad}^{\prime}\,p^{\prime} \\
\nu\Delta\boldsymbol{v}
&=\nu \biggl(\frac{1}{L^{2}}\Delta^{\prime}\biggr) (U\boldsymbol{v}^{\prime}) \\
&=\frac{U^{2}}{L} \frac{1}{R}\Delta^{\prime} \boldsymbol{v}^{\prime}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\begin{cases}
\,\displaystyle
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{v}^{\prime}}{\mathrm{D}t^{\prime}}
=- \mathrm{grad}^{\prime}\,p^{\prime}
+\frac{1}{R}\Delta^{\prime} \boldsymbol{v}^{\prime}
&(\text{Navier-Stokes方程式}) \\
\,\displaystyle
\mathrm{div\,}\boldsymbol{v}^{\prime} =0
&(\text{連続の方程式})
\end{cases}
\end{aligned}
となります．\begin{cases}
\,\displaystyle
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{v}^{\prime}}{\mathrm{D}t^{\prime}}
=- \mathrm{grad}^{\prime}\,p^{\prime}
+\frac{1}{R}\Delta^{\prime} \boldsymbol{v}^{\prime}
&(\text{Navier-Stokes方程式}) \\
\,\displaystyle
\mathrm{div\,}\boldsymbol{v}^{\prime} =0
&(\text{連続の方程式})
\end{cases}
\end{aligned}
よって，
- 境界条件が幾何学的に相似
- Reynolds数$R$が等しい
参考文献
- 流体力学 (前編) (今井 功)：$\text{\sect} 62.$ Reynoldsの相似法則
- Fluid Mechanics (L. D. Landau, E. M. Lifshitz)：$\text{\sect} 19.$ The law of similarity
