流体力学と無次元数

POINT

  • 無次元化の具体例.
  • 無次元化した方程式から「相似則」が導かれる.
  • 無次元化の際,レイノルズ数などの無次元数が現れる.

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Reynolds数

境界の形状が与えられたときの流れを求める問題を考えましょう.例えば,ある形のパイプ中の流れや,物体に当たる流れをイメージしてください.

縮まない流体の基礎方程式は,

\begin{aligned}
\begin{cases}
\,\displaystyle
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{v}}{\mathrm{D}t}
=- \frac{1}{\rho}\mathrm{grad\,}p +\nu\Delta\boldsymbol{v}
&(\text{Navier-Stokes方程式}) \\
\,\displaystyle
\mathrm{div\,}\boldsymbol{v} =0
&(\text{連続の方程式})
\end{cases}
\end{aligned}
です($\nu=\eta/\rho$は動粘度).

$\rho$が定数であるとき,方程式から求めるべき未知関数は

\begin{aligned}
\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t), \quad
p(\boldsymbol{x},t)/\rho
\end{aligned}
の2つです.

次元解析

定常流($\partial\boldsymbol{v}/\partial t = 0$)の場合,系の特徴量を
次元 意味
$L$ 長さ 境界を特徴づける長さ
$U$ 速さ 流れを特徴づける速さ
とすれば,方程式に現れるパラメータは$L,U,\nu$だけです.ここで,定常流を仮定したため,時間の次元を持つ特徴量は$L/U$以外にはないとします.$\nu$の次元は$(\text{長さ})^2 (\text{時間})^{-1}$なので,3つのパラメータ$L,U,\nu$を組み合わせてできる無次元量は
Reynolds数
\begin{aligned}
R=\frac{\rho U L}{\mu}
=\frac{UL}{\nu}
\end{aligned}
唯一つです.

よって,求める未知関数の次元を考えれば,無次元関数$\boldsymbol{v}^{\prime},p^{\prime}$を使って

\begin{aligned}
\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})
&=U\cdot \boldsymbol{v}^{\prime}(\boldsymbol{x}/L,R) \\
p(\boldsymbol{x})/\rho
&=U^{2}\cdot p^{\prime}(\boldsymbol{x}/L,R)
\end{aligned}
と表せます.つまり,
  1. 境界条件が幾何学的に相似
  2. Reynolds数$R$が等しい
という条件下では,流れの場$\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$が相似である(流れの場$\boldsymbol{v}^{\prime}(\boldsymbol{x}/L,R)$が同じ)ことがわかります.これを,Reynoldsの相似法則と呼びます.

方程式の無次元化

上では,Reynoldsの相似法則を「次元解析」によって導きました.同じことを方程式を無次元化することでも確かめてみましょう.

無次元量を

\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \boldsymbol{x}^{\prime}
=\boldsymbol{x}/L \\
\, \boldsymbol{v}^{\prime}
=\boldsymbol{v}/U \\
\, t^{\prime}
= t/(L/U) \\
\, p^{\prime}
= p/\rho U^{2}
\end{cases}
\end{aligned}
で定めると,上のNavier-Stokes方程式の各項は
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{v}}{\mathrm{D}t}
&=\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t}
+(\boldsymbol{v}\cdot\mathrm{grad\,}) \boldsymbol{v} \\
&=\frac{U}{L/U} \frac{\partial \boldsymbol{v}^{\prime}}{\partial t^{\prime}}
+\biggl(U\boldsymbol{v}^{\prime}\cdot \frac{1}{L}\mathrm{grad}^{\prime}\biggr)
(U\boldsymbol{v}^{\prime}) \\
&=\frac{U^{2}}{L} \frac{\mathrm{D}\boldsymbol{v}^{\prime}}{\mathrm{D}t^{\prime}} \\
\frac{1}{\rho}\mathrm{grad\,}p
&=\frac{1}{\rho}\frac{1}{L}\mathrm{grad}^{\prime}\,(\rho U^{2} p^{\prime}) \\
&=\frac{U^{2}}{L} \mathrm{grad}^{\prime}\,p^{\prime} \\
\nu\Delta\boldsymbol{v}
&=\nu \biggl(\frac{1}{L^{2}}\Delta^{\prime}\biggr) (U\boldsymbol{v}^{\prime}) \\
&=\frac{U^{2}}{L} \frac{1}{R}\Delta^{\prime} \boldsymbol{v}^{\prime}
\end{aligned}
なので,無次元化された方程式は
\begin{aligned}
\begin{cases}
\,\displaystyle
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{v}^{\prime}}{\mathrm{D}t^{\prime}}
=- \mathrm{grad}^{\prime}\,p^{\prime}
+\frac{1}{R}\Delta^{\prime} \boldsymbol{v}^{\prime}
&(\text{Navier-Stokes方程式}) \\
\,\displaystyle
\mathrm{div\,}\boldsymbol{v}^{\prime} =0
&(\text{連続の方程式})
\end{cases}
\end{aligned}
となります.

よって,

  1. 境界条件が幾何学的に相似
  2. Reynolds数$R$が等しい
という条件下で,無次元化された方程式の解$\boldsymbol{v}^{\prime}$が不変に保たれることがわかりました.

参考文献