POINT
ベクトルのとても基本的，かつ便利な考え方です．この記事で紹介するのは，慣れればどれも当たり前に感じられる性質です．- 射影の基本的性質．
この考え方は，フーリエ級数などでも役に立ちます．
射影
「ベクトル$\boldsymbol{a}$のベクトル$\boldsymbol{b}$方向の成分」は，「$\boldsymbol{a}$と，$\boldsymbol{b}$方向の単位ベクトルの内積」を取れば良いので\begin{aligned}
\boldsymbol{a} \cdot \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}
\end{aligned}
と計算できます．\boldsymbol{a} \cdot \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}
\end{aligned}
基底による展開
長さ1のベクトルからなる基底$\{\boldsymbol{e}_{1},...,\boldsymbol{e}_{n}\}$があるとしましょう．このとき，任意のベクトル$\boldsymbol{v}$は各基底の方向に射影を取ったものの和として表せるので，\begin{aligned}
\boldsymbol{v}
&=\sum_{i=1}^{n} (\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}_{i})\boldsymbol{e}_{i} \\
&=\sum_{i=1}^{n} v_{i} \boldsymbol{e}_{i} \quad(v_{i}=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}_{i})
\end{aligned}
と展開できます．\boldsymbol{v}
&=\sum_{i=1}^{n} (\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}_{i})\boldsymbol{e}_{i} \\
&=\sum_{i=1}^{n} v_{i} \boldsymbol{e}_{i} \quad(v_{i}=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}_{i})
\end{aligned}
同じ式を表す他の表記として
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \displaystyle \boldsymbol{v}
=\sum_{i=1}^{n} \langle\boldsymbol{e}_{i},\boldsymbol{v}\rangle \boldsymbol{e}_{i}
&(\text{数学でよく使う記法}) \\
\, \displaystyle |\boldsymbol{v}\rangle
=\sum_{i=1}^{n} |\boldsymbol{e}_{i} \rangle \langle\boldsymbol{e}_{i} |\boldsymbol{v}\rangle
&(\text{物理でよく使う記法})
\end{cases}
\end{aligned}
があります．\begin{cases}
\, \displaystyle \boldsymbol{v}
=\sum_{i=1}^{n} \langle\boldsymbol{e}_{i},\boldsymbol{v}\rangle \boldsymbol{e}_{i}
&(\text{数学でよく使う記法}) \\
\, \displaystyle |\boldsymbol{v}\rangle
=\sum_{i=1}^{n} |\boldsymbol{e}_{i} \rangle \langle\boldsymbol{e}_{i} |\boldsymbol{v}\rangle
&(\text{物理でよく使う記法})
\end{cases}
\end{aligned}
2つ目の物理でよく使う記法は「ブラ-ケット記法」と呼ばれます．上の式は，ベクトル$|\boldsymbol{v}\rangle$の左から恒等演算子$\displaystyle 1=\sum_{i=1}^{n} |\boldsymbol{e}_{i} \rangle \langle\boldsymbol{e}_{i}|$を作用させたと解釈できます．慣れると計算上の利便性が高いです．
直交成分
ベクトル$\boldsymbol{a}$から「$\boldsymbol{a}$の$\boldsymbol{b}$方向の成分」を除けば，「$\boldsymbol{a}$の$\boldsymbol{b}$方向と直交する成分」だけが残ります．直感的には明らかですが，これを計算で確かめてみましょう．まず
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \displaystyle \boldsymbol{a}_{(\parallel \boldsymbol{b})}
= \biggl(\boldsymbol{a} \cdot \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}\biggr)\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}
&(\boldsymbol{b} \text{に平行なベクトル}) \\
\, \displaystyle \boldsymbol{a}_{(\perp \boldsymbol{b})}
= \boldsymbol{a} - \boldsymbol{a}_{(\parallel \boldsymbol{b})}
&(\boldsymbol{b} \text{に垂直なベクトル (のはず)})
\end{cases}
\end{aligned}
という記号を導入すれば，記号の定義から\begin{cases}
\, \displaystyle \boldsymbol{a}_{(\parallel \boldsymbol{b})}
= \biggl(\boldsymbol{a} \cdot \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}\biggr)\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}
&(\boldsymbol{b} \text{に平行なベクトル}) \\
\, \displaystyle \boldsymbol{a}_{(\perp \boldsymbol{b})}
= \boldsymbol{a} - \boldsymbol{a}_{(\parallel \boldsymbol{b})}
&(\boldsymbol{b} \text{に垂直なベクトル (のはず)})
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{a}
=\boldsymbol{a}_{(\parallel \boldsymbol{b})} + \boldsymbol{a}_{(\perp \boldsymbol{b})}
\end{aligned}
が成り立ちます．また，直行することは2つのベクトルの内積がゼロとなること\boldsymbol{a}
=\boldsymbol{a}_{(\parallel \boldsymbol{b})} + \boldsymbol{a}_{(\perp \boldsymbol{b})}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{a}_{(\parallel \boldsymbol{b})} \cdot \boldsymbol{a}_{(\perp \boldsymbol{b})}
&=\boldsymbol{a}_{(\parallel \boldsymbol{b})} \cdot \boldsymbol{a}
- \boldsymbol{a}_{(\parallel \boldsymbol{b})} \cdot \boldsymbol{a}_{(\parallel \boldsymbol{b})} \\
&=\biggl(\boldsymbol{a} \cdot \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}\biggr)^{2}
-\biggl(\boldsymbol{a} \cdot \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}\biggr)^{2} \\
&=0
\end{aligned}
から確かめられます．\boldsymbol{a}_{(\parallel \boldsymbol{b})} \cdot \boldsymbol{a}_{(\perp \boldsymbol{b})}
&=\boldsymbol{a}_{(\parallel \boldsymbol{b})} \cdot \boldsymbol{a}
- \boldsymbol{a}_{(\parallel \boldsymbol{b})} \cdot \boldsymbol{a}_{(\parallel \boldsymbol{b})} \\
&=\biggl(\boldsymbol{a} \cdot \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}\biggr)^{2}
-\biggl(\boldsymbol{a} \cdot \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}\biggr)^{2} \\
&=0
\end{aligned}
この考え方を何度も使ったものが，「グラム・シュミットの直交化」です．
グラム・シュミットの直交化
1次独立なベクトル$\{\boldsymbol{x}_{1},...,\boldsymbol{x}_{n}\}$から，長さ1の直交した$n$個のベクトル$\{\boldsymbol{e}_{1},...,\boldsymbol{e}_{n}\}$をつくる方法です．これは，上の考え方を何度も使えばよいわけです．まず，
\begin{aligned}
\boldsymbol{e}_{1}
&=\frac{\boldsymbol{x}_{1}}{|\boldsymbol{x}_{1}|}
\end{aligned}
とすれば長さ1の1つ目のベクトルができます．次に\boldsymbol{e}_{1}
&=\frac{\boldsymbol{x}_{1}}{|\boldsymbol{x}_{1}|}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{y}_{2}
&=\boldsymbol{x}_{2}
- (\boldsymbol{x}_{2}\cdot \boldsymbol{e}_{1}) \boldsymbol{e}_{1}
\end{aligned}
とすれば，$\boldsymbol{y}_{2}$は$\boldsymbol{e}_{1}$と直交するので\boldsymbol{y}_{2}
&=\boldsymbol{x}_{2}
- (\boldsymbol{x}_{2}\cdot \boldsymbol{e}_{1}) \boldsymbol{e}_{1}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{e}_{2}
=\frac{\boldsymbol{y}_{2}}{|\boldsymbol{y}_{2}|}
\end{aligned}
とすれば長さ1の2つ目のベクトルができます．同様に，3つ目のベクトルは$\boldsymbol{e}_{1}$にも$\boldsymbol{e}_{2}$にも直交させれば良いので\boldsymbol{e}_{2}
=\frac{\boldsymbol{y}_{2}}{|\boldsymbol{y}_{2}|}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{y}_{3}
=\boldsymbol{x}_{3}
- (\boldsymbol{x}_{3}\cdot \boldsymbol{e}_{1}) \boldsymbol{e}_{1}
- (\boldsymbol{x}_{3}\cdot \boldsymbol{e}_{2}) \boldsymbol{e}_{2}
\end{aligned}
を用いて\boldsymbol{y}_{3}
=\boldsymbol{x}_{3}
- (\boldsymbol{x}_{3}\cdot \boldsymbol{e}_{1}) \boldsymbol{e}_{1}
- (\boldsymbol{x}_{3}\cdot \boldsymbol{e}_{2}) \boldsymbol{e}_{2}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{e}_{3}
=\frac{\boldsymbol{y}_{3}}{|\boldsymbol{y}_{3}|}
\end{aligned}
とすればよいことになります．\boldsymbol{e}_{3}
=\frac{\boldsymbol{y}_{3}}{|\boldsymbol{y}_{3}|}
\end{aligned}
以上より，一般的な$k$個目の長さ1のベクトルは，
\begin{aligned}
&\boldsymbol{e}_{k}
=\frac{\boldsymbol{y}_{k}}{|\boldsymbol{y}_{k}|} \\
&\boldsymbol{y}_{k}
=\begin{cases}
\, \boldsymbol{x}_{1} & (k=1) \\
\,\displaystyle \boldsymbol{x}_{k}
- \sum_{j=1}^{k-1} (\boldsymbol{x}_{k}\cdot \boldsymbol{e}_{j}) \boldsymbol{e}_{j}
& (k\neq 1)
\end{cases}
\end{aligned}
となります．//&\boldsymbol{e}_{k}
=\frac{\boldsymbol{y}_{k}}{|\boldsymbol{y}_{k}|} \\
&\boldsymbol{y}_{k}
=\begin{cases}
\, \boldsymbol{x}_{1} & (k=1) \\
\,\displaystyle \boldsymbol{x}_{k}
- \sum_{j=1}^{k-1} (\boldsymbol{x}_{k}\cdot \boldsymbol{e}_{j}) \boldsymbol{e}_{j}
& (k\neq 1)
\end{cases}
\end{aligned}
参考文献/記事
- Vector projection - Wikipedia
- Gram–Schmidt process - Wikipedia
- ヒルベルト空間と線型作用素 (数理情報科学シリーズ)：命題1.1.10 (グラム-シュミットの直交化)
