ドル・コスト平均法のリターン

POINT

• ドル・コスト平均法のリターンを計算する．
• ドル・コスト平均法では，取得単価が平均化されることがわかる．
• ドル・コスト平均法は，毎回一定数買い付ける方法よりもハイリターンであることが示される．

最近，積立投資 (確定拠出年金や積立NISA) において，「ドル・コスト平均法」で取得単価が下げられるメリットについて触れられることが多いですね．これは，一体どういうことなのでしょうか？

実際に確かめるために，「ドル・コスト平均法のリターン」を計算してみましょう．四則演算ができればわかる計算です！

ドル・コスト平均法

ドル・コスト平均法とは？

ドル・コスト平均法の効果があるとされる，積立投資とは，

株式や投資信託などの金融商品を，定期的に毎回同じ金額だけ購入する投資方法

のことです．

よく，投信や金の投資に関する記事で見かけますね．このように投資することにより，金融商品の購入価格が平均化されることが知られています．これを，ドル・コスト平均法と言います．

リターン

ここではまず，英語版Wikipediaにあるリターンを表す式

ドル・コスト平均法のリターン

\begin{aligned}
r=\frac{p_\mathrm{F}}{\tilde{p}_\mathrm{P}}-1
\end{aligned}

を導出しましょう．

以下では，金融商品を「株式」と呼ぶことにします．

まず，以下のように記号を決めましょう：

• $p_n$：$n$ステップ目($n$回目の購入時点)の株価
• 毎回$m$ (定額)の金額を投資する

このとき，$n$ステップ目において，

• 保有株式数：
  \begin{aligned}
  S_n
  &=m/p_n+S_{n-1} \\
  &=m(1/p_1+\cdots +1/p_n)
  \end{aligned}
• 利益(株式の価値−投資金額)：
  \begin{aligned}
  P_n
  &=p_n\cdot S_n-mn \\
  &=mn\left(p_n\cdot \frac{1/p_1+\cdots +1/p_n}{n}-1\right) \\
  &=mn\left(\frac{p_\mathrm{n}}{\tilde{p}_\mathrm{P}}-1\right)
  \end{aligned}

となります．ただし，$p_1,...,p_n$の調和平均を$\tilde{p}_\mathrm{P}$で表しました．即ち，

\begin{aligned}
\tilde{p}_\mathrm{P}:=\frac{n}{1/p_1+\cdots +1/p_n}
\end{aligned}