Pythonの切り捨て除算演算と剰余演算

POINT

ドキュメント

//(切り捨て除算: floor division)：floor関数と同じ．
- 整数の切り捨て除算結果は整数．
%(剰余: modulo)：第一引数を第二引数で除算したときの剰余．
- 剰余演算子は常に第二引数と同じ符号 (またはゼロ)．
- 剰余演算の結果の絶対値は、常に第二引数の絶対値よりも小さい．
切り捨て除算演算と剰余演算は、恒等式: x == (x//y)*y + (x%y) の関係にある．

切り捨て除算演算について，

print(-5//2)    # -3
print(5//(-2))  # -3

となる．これは

\begin{aligned}
\biggl\lfloor -\frac{5}{2} \biggr\rfloor
= -3
\end{aligned}

に対応している．

つぎに，剰余演算について

print(-5%2)    # 1
print(5%(-2))  # -1

となる．これは

\begin{aligned}
& -5 \equiv 1 \pmod{2} \\
& -5 \equiv -1 \pmod{-2}
\end{aligned}

に対応していて，結果を第2引数の符号に合わせたものになっている．

また，

print(-5 == (-5//2)*2 + (-5%2))        # True
print(5 == (5//(-2))*(-2) + (5%(-2)))  # True

となる．

記事を書いたきっかけ：B - Christmas Trees．数直線上の原点を基準に距離$M$おきにクリスマスツリーが置かれるとき，座標$x$以下の地点にあるツリーの座標の最大値は$\lfloor x/M \rfloor$と表せる（$x$の符号によらない）．