行列の性質

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  • 行列の性質

対称行列

${}^t \!A = A$($a_{ji}=a_{ij}$)を満たす行列を「対称行列」と呼びます.

逆行列

対称行列の逆行列
対称行列が正則であるとき,その逆行列も対称行列となる.
【証明】
対称行列$A$とその逆行列$A^{-1}$を考えます.
\begin{align}
A^{-1} A = A A^{-1} = 1
\end{align}の各辺の転置をとれば
\begin{align}
{}^t \!A \, {}^t \!(A^{-1}) = {}^t \!(A^{-1})\, {}^t \!A = 1
\end{align}です.これは,$({}^t \!A)^{-1} = {}^t \!(A^{-1})$を意味しています.したがって,
\begin{align}
{}^t \!(A^{-1})
&=({}^t \!A)^{-1} \\
&=A^{-1}
\end{align}であることがわかります.//