コイントスの確率｜特定パターンが初めて出るまでの回数の期待値を計算

性質1：どのパターンも確率$1/8$で現れる
何度もコイントスしてできたH, Tのパターンの列を$a_{1}a_{2}a_{3}\cdots $で表す．このとき，どの連続する3つの出目$a_{i}a_{i+1}a_{i+2}$に着目しても，特定のパターンが出る確率は$1/2^{3} = 1/8$である．

性質2：特定パターンの再出現の期待値は常に8回
さて，上で定めた列$a_{1}a_{2}a_{3}\cdots $を，3つごとにまとめてできた列$b_{1} b_{2} b_{3} \cdots$を$b_{1} = a_{1}a_{2}a_{3}, b_{2} = a_{2}a_{3}a_{4},\ldots$を考える．すると，性質1より，$2^{3} = 8$個のパターンは列$b_{1} b_{2} b_{3} \cdots$に一様に分布する．つまり，あるパターンが$b_{i}$で現れたとすると，次に同じパターンが現れるまでの回数の期待値は$2^{3} = 8$である．列$a_{1}a_{2}a_{3}\cdots $で考えれば，あるパターンが完成してから次に同じパターンが現れるまでのコイントスの回数が$2^{3} = 8$回ということを意味する．

記法

パターン$X$の長さを$|X|$と表す．例えば，$|HHT| = 3$．
コインを$|X|$回投げて，パターン$X$がでる確率を$P(X)$と表す．
初めてパターン$Y$が出たあと，1回以上コインをトスして，初めてパターン$X$が現れるまでの回数の期待値を$E[X|Y]$と表す（注：$Y$の一部または全部を使ってパターン$X$が完成すれば良い）．

パターン別の具体的な期待値の計算方法

HHH（14回）

TTTも同じ．

結論から言うと，$2^{3} + 2^{2} + 2^{1} = 14$回と計算できる．

これは，以下のように3つの期待値を順に計算することで得られる．

期待値1)
「初めてHHが現れてから」次にHHHが現れるまでの回数の期待値は，HHHが現れてから次にHHHが現れるまでの回数の期待値に等しく，「性質2」から$E[HHH|HH] = E[HHH|HHH] = 2^{3}=8$回．

期待値2)
「初めてHが現れてから」次にHHHが現れるまでの回数の期待値と，期待値1)の差を考える．

初めてHHが出た状態では，Hが出るとHHHが完成する
「初めてHが現れてから」Hが出ると，初めてHHが出た状態に移行する（パターンが完成しない）

という2つの性質に着目すると，期待値2)のほうが期待値1)より$P(H)\times$期待値1)だけ大きくなる．つまり，

\begin{aligned}
E[HHH | H]
&= E[HHH | HH] + P(H) \cdot E[HHH|HH]
\end{aligned}

となる（下図）．

期待値3)
「コインを1度も投げていない状態から」HHHが現れるまでの回数の期待値と，期待値2)の差を考える．
期待値2)と全く同様にして

初めてHが出た状態では，HHが出るとHHHが完成する
「コインを1度も投げていない状態から」初めてHHが出ると，初めてHHが出た状態に移行する

だから，

\begin{aligned}
E[HHH | \{\}]
&= E[HHH | H] + P(HH) \cdot E[HHH|HH]
\end{aligned}

が成り立つ（下図）．

以上をまとめると，求める期待値は

\begin{aligned}
& E[HHH | \{\}] \\
&= E[HHH | HH] \\
&\quad + P(H) \cdot E[HHH|HH] \\
&\quad + P(HH) \cdot E[HHH|HH] \\
&= 2^{3} + 2^{3}/2 + 2^{3}/2^{2} \\
&= 14
\end{aligned}

となる．

HTH（8回）

THTも同じ．

まず，「性質2」から$E[THT|T] = E[THT|HT] = E[THT|THT] = 2^{3} = 8$となる．

また，

初めてTが出た状態では，HTが出るとTHTが完成する
「コインを1度も投げていない状態から」初めてHTが出ると，初めてTが出た状態に移行する

から

\begin{aligned}
& E[HTH|\{\}] \\
&= E[HTH|T] + P(HT) \cdot E[HTH|T]
\end{aligned}

が成り立つ．

以上をまとめると，求める期待値は

\begin{aligned}
& E[HTH|\{\}] \\
&= E[HTH|T] + P(HT) \cdot E[HTH|T] \\
&= 2^{3} + 2^{3}/2^{2} \\
&= 10
\end{aligned}

となる．

HHT, HTT, THH, TTH（8回）

「性質2」から，$2^{3} = 8$回とわかる．
注：上記いずれのパターン$X$についても，$E[X|\{\}] = E[X| X\text{のラスト1文字 or 2文字}]$であるため．

まとめ

本記事では，コイントスで特定のパターンが初めて出るまでの回数（期待値）を具体的に計算した．

一見不思議な結果も，「HHH」など連続するパターンの完成にはより厳しい条件があるため，期待値が大きくなると理解できる．

平均回数（期待値）	パターン
14回	HHH, TTT
10回	HTH, THT
8回	HHT, HTT, THH, TTH

このような問題をさらに深く理解したい場合は，以下の2つの記事もご覧ください．
マルコフ連鎖を使った計算方法：
➡ コイントスとマルコフ連鎖｜長さ3のパターンが出るまでの期待値を計算

条件付き期待値を使った計算方法：
➡ スリーヒットダイス | 条件付き期待値による計算法