「ペニーのゲーム」は，連続したコイントスを行い，自分が選んだ3連続のパターンが相手より先に出現するかを競う，確率が絡むゲームである．一見公平に見えるが，実は数学的に後攻が有利であることを示せる．本記事では，ゲームのルール，戦略，マルコフ連鎖…

コイントスを繰り返して，あるパターンが初めて現れるまでには，平均して何回かかるだろうか？一見，表 (H - Head) と裏 (T - Tail) がそれぞれ確率$\dfrac{1}{2}$で出るコインなら，すべてのパターンの期待値は同じだと思うかもしれないが，実は大きく異な…

表（H：Head）と裏（T：Tail）がそれぞれ確率$\frac{1}{2}$で出るコインを繰り返し投げるとき，特定のパターン（例：HHHやTTT）が初めて出現するまでの回数の期待値を考えます．各パターンはどれも同じ確率（$1/8$）で出るのに，なぜか現れるまでの平均回数…

確率の例題で「同じクラスに，同じ誕生日の人が高確率で存在すること」（誕生日のパラドックス - Wikipedia）を題材とした問題がよく取り上げられます．誕生日ならちょっとびっくりする例で済むのですが，生体認証やDNA鑑定で同じことが起きるため，問題とな…

正規分布の畳み込み・相関関数を以下の方法で計算してみる． ➡フーリエ変換を使った相関関数と畳み込みの計算方法 - Notes_JP 準備 畳み込み 相関関数 別解 特性関数を使う 畳み込み 準備この記事では，関数$f$のフーリエ変換を\begin{aligned} \mathcal{F}[…

正規分布の半値幅を計算する（半値幅 - Wikipedia）．正規分布は以下で与えられる（正規分布の覚え方 - Notes_JP）：平均$\mu$，分散$\sigma^{2}$の正規分布\begin{aligned} N(\mu, \sigma^{2}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{- (x-\mu)^{2}/2\sigma^{2}…

【関連記事】 主成分回帰（PCR）・部分最小二乗法（PLS） - Notes_JP 主成分分析（PCA）とは あらすじ 考え方（分散の最大化） 考え方（対角化） 元データの分解 データ行列を使った表現 特異値分解との関係 参考文献 主成分分析（PCA）とはあらすじ1回の測…

POINT PCAとPLSの導出に関する計算メモ． 【関連記事】 主成分分析（PCA） - Notes_JP 次の書籍の計算メモです．スモールデータ解析と機械学習作者:藤原 幸一オーム社Amazon 用語 PCR - 主成分回帰 PLS - 部分最小二乗法 PLS1 - 目的変数が1つの場合 Python…

計算メモ．とても楽しい本です． 以下の書籍で知りました．この数学書がおもしろい 増補新版数学書房Amazon 【目次】 第 1 章 ヴィエトから統計的独立性の概念へ 第 2 章 ボレルとその後 第 3 章 正規法則 第 4 章 素数は賽を振る 第 5 章 気体分子運動論か…

POINT プールされた分散が現れる背景について． 【関連記事】 【統計的仮説検定】手順と例を1ページにまとめる - Notes_JP 2標本問題 問題設定 それぞれの母分散が既知の場合 母分散が未知だが等しい場合 参考文献 2標本問題問題設定独立な確率変数\begin{al…

ベイズの定理は，条件付き確率の計算において頻繁に使われます．しかし，実は状況を表に整理することで，ベイズの定理の公式を覚えなくても簡単に同じ結果が得られます．この記事では，表を使った「ベイズの定理」の簡単な理解と計算方法を解説します．POINT…

POINT 確率分布の期待値・分散 【関連記事】 事象が起こるまでの試行回数 - Notes_JP：幾何分布 ベルヌーイ分布 期待値 分散 二項分布 期待値 分散 幾何分布 期待値 分散 参考文献 ベルヌーイ分布母比率（信頼区間・検定） - Notes_JP \begin{aligned} \begi…

POINT 両側か片側かを決めるのは，主張したい「対立仮説$H_{1}$」である． 両側検定か，片側検定かはどうやって決まるのか？という話です．「母平均の検定」を例に，両側検定と片側検定を整理します．【関連記事】 【統計的仮説検定】手順と例を1ページにま…

POINT 分散分析（Analysis of variance (ANOVA)）についてのメモ． 都度更新．【関連記事】 1元配置 問題設定 平方和 自由度 分散分析表 効果の検定 2元配置 参考文献 1元配置問題設定要因$A$の水準$A_{1}, A_{2}, ..., A_{a}$について，それぞれ$r$個の観測…

POINT 線形単回帰，線形重回帰の概説． 性質を全て調べるのはなかなか大変です．【関連記事】 最小二乗法の計算（理論） - Notes_JP 分散分析 - Notes_JP 線形回帰 問題設定 標準的仮定 パラメータの推定方法 用語 単回帰 重回帰 最小2乗法 最尤法 回帰係数…

POINT 母集団に知りたい性質を持つものが「ある比率」で含まれるときに，無作為標本で比率を推定する方法． 母比率（知りたい真の値）を$p$とするとき，すべての標本が確率$p$で性質をもつと考えれば，「ベルヌーイ母集団からの無作為標本」と考えることがで…

POINT 正規分布の性質について． 忘れたときに，順に導く方法． 忘れたときに，どのような順序で考えればよいかを整理します． 【関連記事】 [A] ガウス積分と派生公式 - Notes_JP：ガウス積分に慣れていない場合はこの記事を参考にしてください． 正規分布…

賭ケグルイ双というマンガに「スリーヒットダイス」というゲームがあります．賭ケグルイ双 1巻 (デジタル版ガンガンコミックスJOKER)作者:河本ほむら,斎木桂スクウェア・エニックスAmazon このゲームを単純にすると，ゲーム内容 2プレーヤーが「連続する3回…

POINT 条件付き期待値とは，「ある事象が起きたという条件のもとでの期待値」のことです． 計算を事象ごとに分割することで，複雑な期待値の問題を簡単に解けます． この記事では，「条件付き期待値とは何か？」を直感的に理解できるように具体例を使って丁…

成功するまでの試行回数の期待値（幾何分布の期待値）を複数の方法で解説．確率pの試行やコンプガチャ問題の計算方法を大学生や競技プログラマー向けに丁寧に紹介します．

条件付き期待値とは，「ある事象が起きたという条件の下での期待値」です．この記事では，条件付き期待値の意味や公式の導出方法を，サイコロを使った具体例を交えて丁寧に解説します．また，条件付き期待値を活用することで複雑な確率問題を簡単に解くコツ…

以下の書籍のメモです．目的は， 見通しが良い形で書き換えたい：かなり丁寧に解説してくれている分，後から見返したときに見通しが悪い部分があるため． 省略されている計算・ロジックのフォロー． です．1, 2章は必要になったときに参照し，3章から読むと…

POINT ベルヌーイ分布を一般化し，多項分布を得る． 末尾の参考文献[1]の行間を埋めた記事です．ベルヌーイ分布を一般化して多項分布へ至る方法として，2通りの方法 ベルヌーイ分布→二項分布→多項分布 ベルヌーイ分布：コイン（2面サイコロ）を1回投げる． …

POINT 最小二乗法の計算を解説． 最小二乗法の計算について紹介します．微分法による極値問題の一例としても良い題材です．この記事では細かい部分を詰めることはせず，ざっくりとした計算の流れを整理することを目的とします．【関連記事】 線形回帰 - Note…

POINT 統計的仮説検定についての最低限の知識をまとめました． 具体例として，「コイントス」，「母平均についての$Z$検定」を考えます． 統計的仮説検定の考え方は，ポイントさえ抑えてしまえば難しくありません．確率分布の図を描けば，簡単に理解できます…

POINT ベン図を使えば，条件付き確率・ベイズの定理を簡単に理解できる． ベイズの定理の応用例を紹介． 結論：下図より，$A$が起こったときに$B$が起こる確率は$P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$である！ ベイズの定理 とっつき…

POINT チェビシェフの不等式（Chebyshev’s inequality）の導出と応用例の紹介． チェビシェフの不等式から，標準偏差がバラツキの尺度となることがわかる． チェビシェフの不等式から，「標準偏差がバラツキの尺度として用いられる」理由がわかります． 【覚…

モンティ・ホール問題を高校生でも簡単に理解できるよう条件付き確率なしで解説．ドアを変えると当たる確率が2倍になる理由を，数学が苦手でもスッキリ理解できます．