POINT
- フーリエ変換〜DTFT〜DFTのつながりを整理する．
- サンプリングデータから，元の連続信号のスペクトルを得るにはどうすればよいか，という視点で考える．
- DFTと元の連続信号のフーリエ変換はどういう関係にあるのか？
- サンプリング信号は，どうしてインパルス列で定義するのか？
【関連記事】
アナログ信号のフーリエ変換（スペクトル）を求めたい！
我々が解析したい，実世界のデータはアナログ（連続）信号です．しかし，全ての時間で信号のデータを取得するのは不可能で，一定時間ごとにデータをサンプリングすることになります．こうして得た離散的なデータから，「元のアナログ信号のフーリエ変換（スペクトル）」を求めるにはどうしたら良いでしょうか？
サンプリングデータが無限個の場合
元のアナログ信号$g(t)$をサンプリング周期$T_{\mathrm{s}}$で「無限個」サンプリングしたデータ列$\{g(k T_{\mathrm{s}})\}_{k=-\infty}^{\infty}$を考えます．ここで，サンプリングデータを基につくった「連続」信号
\begin{aligned}
g_{\mathrm{s}} (t)
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}}) \\
&=g(t) \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - kT_{\mathrm{s}})
\end{aligned}
を考えると，そのフーリエ変換はg_{\mathrm{s}} (t)
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}}) \\
&=g(t) \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - kT_{\mathrm{s}})
\end{aligned}
\begin{aligned}
& G_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[g_{\mathrm{s}}] (f) \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \underbrace{g_{\mathrm{s}}(t)}_{\mathrlap{\displaystyle = \sum_{k=-\infty}^{\infty} g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}})}} e^{-i 2\pi f t} \,\mathrm{d} t \\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} g(k T_{\mathrm{s}}) e^{-i 2\pi f k T_{\mathrm{s}}}
\end{aligned}
あるいは，& G_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[g_{\mathrm{s}}] (f) \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \underbrace{g_{\mathrm{s}}(t)}_{\mathrlap{\displaystyle = \sum_{k=-\infty}^{\infty} g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}})}} e^{-i 2\pi f t} \,\mathrm{d} t \\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} g(k T_{\mathrm{s}}) e^{-i 2\pi f k T_{\mathrm{s}}}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&G_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[g_{\mathrm{s}}] (f) \\
&=G(f) \otimes \underbrace{\mathcal{F}\Biggl[\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - kT_{\mathrm{s}}) \Biggr] (f)}_{\!\!\! \mathrlap{\displaystyle = \frac{1}{T_{\mathrm{s}}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (f - n/T_{\mathrm{s}}) }} \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} g(\phi) \cdot \frac{1}{T_{\mathrm{s}}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (f - n/T_{\mathrm{s}} - \phi) \, \mathrm{d}\phi\\
&= \frac{1}{T_{\mathrm{s}}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} G (f - n f_{\mathrm{s}} )
\end{aligned}
となります（離散時間フーリエ変換（DTFT）と呼ぶ）．ここで，$f_{\mathrm{s}} = 1/T_{\mathrm{s}}$はサンプリング周波数であり，$G = \mathcal{F}[g]$は「元のアナログ信号$g$のフーリエ変換」です．&G_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[g_{\mathrm{s}}] (f) \\
&=G(f) \otimes \underbrace{\mathcal{F}\Biggl[\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - kT_{\mathrm{s}}) \Biggr] (f)}_{\!\!\! \mathrlap{\displaystyle = \frac{1}{T_{\mathrm{s}}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (f - n/T_{\mathrm{s}}) }} \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} g(\phi) \cdot \frac{1}{T_{\mathrm{s}}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (f - n/T_{\mathrm{s}} - \phi) \, \mathrm{d}\phi\\
&= \frac{1}{T_{\mathrm{s}}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} G (f - n f_{\mathrm{s}} )
\end{aligned}
よって，サンプリングデータから$g_{\mathrm{s}}$をつくってフーリエ変換すれば，もとのアナログ信号$g$のフーリエ変換$G$を周期$f_{s}$で平行移動させながら足し合わせた$G_{\mathrm{s}}$を得られます．これを上手く使って，$G(f)$を求められないでしょうか？
もし，$G(f)$が限られた範囲でだけゼロでない値をとる場合には，$f_{s}$を十分大きく取ることで上式の各項の和が重ならないようにでき，$G_{\mathrm{s}}$から$G$を求められます．具体的には，
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, G(f) \neq 0 & (|f| < w / 2) \\
\, G(f) = 0 & (|f| \geq w / 2)
\end{cases}
\end{aligned}
のときに，$f_{s} \geq w$となるようにサンプリング周波数を選べば，和は重なりません．$w$はナイキスト周波数と呼ばれます．\begin{cases}
\, G(f) \neq 0 & (|f| < w / 2) \\
\, G(f) = 0 & (|f| \geq w / 2)
\end{cases}
\end{aligned}
サンプリングデータが有限個の場合
現実的には，無限回サンプリングすることはできず，有限個（$N$個）のサンプリングデータ$\{g(k T_{\mathrm{s}})\}_{k=0}^{N - 1}$を扱う必要があります．そこで，サンプリングデータが有限個の場合の議論を，無限個の場合の議論に帰着させることを考えます．アナログ信号$g$に矩形窓
\begin{aligned}
w (t) &=
\begin{cases}
\, 1 & (0 \leq t \leq (N - 1) T_{\mathrm{s}} ) \\
\, 0 & (\mathrm{otherwise})
\end{cases} \\
&=\mathrm{rect} \bigl(t - (N - 1) T_{\mathrm{s}} / 2 \bigr)
\end{aligned}
を掛た信号$h = w \cdot g$をサンプリングすれば，上の$g_{\mathrm{s}}$に対応する信号はw (t) &=
\begin{cases}
\, 1 & (0 \leq t \leq (N - 1) T_{\mathrm{s}} ) \\
\, 0 & (\mathrm{otherwise})
\end{cases} \\
&=\mathrm{rect} \bigl(t - (N - 1) T_{\mathrm{s}} / 2 \bigr)
\end{aligned}
\begin{aligned}
h_{\mathrm{s}} (t)
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} w(k T_{\mathrm{s}}) g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}}) = w(t) g_{\mathrm{s}} (t) \\
&= \sum_{k=0}^{N - 1} g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}})
\end{aligned}
となります．これは，$g_{\mathrm{s}}$を有限個（$N$個）のサンプリングデータ$\{g(k T_{\mathrm{s}})\}_{k=0}^{N - 1}$で打ち切った形になっています．つまり，我々が扱える表式になっていますh_{\mathrm{s}} (t)
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} w(k T_{\mathrm{s}}) g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}}) = w(t) g_{\mathrm{s}} (t) \\
&= \sum_{k=0}^{N - 1} g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}})
\end{aligned}
そこで，
- $h_{\mathrm{s}}$のフーリエ変換$H_{\mathrm{s}}$がどのような式で表されるのか
- $H_{\mathrm{s}}$は$g$の連続フーリエ変換$G = \mathcal{F}[g]$とどのような関係にあるのか
DFT
まず，$H_{\mathrm{s}}$がどのような式で表されるのかを調べます．$h_{\mathrm{s}}$の連続フーリエ変換は
\begin{aligned}
& H_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[h_{\mathrm{s}}] (f) \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} h_{\mathrm{s}}(t) e^{-i 2\pi f t} \,\mathrm{d} t \\
&= \sum_{k=0}^{N - 1} g(k T_{\mathrm{s}}) e^{-i 2\pi f k T_{\mathrm{s}}}
\end{aligned}
となり，これも$G_{\mathrm{s}} (f)$を有限個（$N$個）のサンプリングデータ$\{g(k T_{\mathrm{s}})\}_{k=0}^{N - 1}$で打ち切った形になります．& H_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[h_{\mathrm{s}}] (f) \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} h_{\mathrm{s}}(t) e^{-i 2\pi f t} \,\mathrm{d} t \\
&= \sum_{k=0}^{N - 1} g(k T_{\mathrm{s}}) e^{-i 2\pi f k T_{\mathrm{s}}}
\end{aligned}
$H_{\mathrm{s}} (f)$は$f$に関する連続信号なので，やはり現実では扱うことができません．計算できるのは有限個の$f$の値だけです．そこで，$t$と同様に$f$も離散化することを考えます．上の表式から，$H_{\mathrm{s}} (f)$は$f_{\mathrm{s}}$を基本周期とする周期関数なので，$[0, f_{\mathrm{s}}]$を$N$等分して
\begin{aligned}
H_{\mathrm{s}} (n f_{\mathrm{s}} / N) = \sum_{k=0}^{N - 1} g(k T_{\mathrm{s}}) e^{-i 2\pi n k / N} \\
(n = 0,...,N-1)
\end{aligned}
を考えます．これを離散フーリエ変換（DFT）と呼びます．H_{\mathrm{s}} (n f_{\mathrm{s}} / N) = \sum_{k=0}^{N - 1} g(k T_{\mathrm{s}}) e^{-i 2\pi n k / N} \\
(n = 0,...,N-1)
\end{aligned}
連続フーリエ変換との関係
まず，$H_{\mathrm{s}} (f)$と$G (f) $の関係を調べます．すでに，連続フーリエ変換$G (f) = \mathcal{F}[g] (f) $とDTFT $G_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[g_{\mathrm{s}}] (f) $との間の関係を調べました．したがって，$H_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[h_{\mathrm{s}}] (f)$と$G_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[g_{\mathrm{s}}] (f) $との関係がわかれば，$H_{\mathrm{s}} (f)$と$G (f) $との関係がわかります．
$h_{\mathrm{s}} (t)$は
\begin{aligned}
h_{\mathrm{s}} (t)
= w(t) g_{\mathrm{s}} (t)
\end{aligned}
なので，その連続フーリエ変換はh_{\mathrm{s}} (t)
= w(t) g_{\mathrm{s}} (t)
\end{aligned}
\begin{aligned}
& H_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[h_{\mathrm{s}}] (f) \\
&= \mathcal{F}[w] (f) \otimes \underbrace{\mathcal{F}[g_{\mathrm{s}}] (f) }_{=G_{\mathrm{s}}(f)}
\end{aligned}
となります．& H_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[h_{\mathrm{s}}] (f) \\
&= \mathcal{F}[w] (f) \otimes \underbrace{\mathcal{F}[g_{\mathrm{s}}] (f) }_{=G_{\mathrm{s}}(f)}
\end{aligned}
DFTは，これをサンプリングしたものでした．したがって，DFTで得られるのは$G_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[g_{\mathrm{s}}] (f) $そのものではなく，矩形窓関数のフーリエ変換
\begin{aligned}
\mathcal{F}[w] (f)
&=\mathcal{F}[\mathrm{rect} \bigl(t - (N - 1) T_{\mathrm{s}} / 2 \bigr)] (f) \\
&=\mathcal{F}[\mathrm{rect} (t)] (f)
\cdot \exp[-i2\pi f (N - 1) T_{\mathrm{s}} / 2] \\
&= \mathrm{sinc}(f) \exp[-i\pi f (N - 1) T_{\mathrm{s}}]
\end{aligned}
を畳み込んだものになります．\mathcal{F}[w] (f)
&=\mathcal{F}[\mathrm{rect} \bigl(t - (N - 1) T_{\mathrm{s}} / 2 \bigr)] (f) \\
&=\mathcal{F}[\mathrm{rect} (t)] (f)
\cdot \exp[-i2\pi f (N - 1) T_{\mathrm{s}} / 2] \\
&= \mathrm{sinc}(f) \exp[-i\pi f (N - 1) T_{\mathrm{s}}]
\end{aligned}
窓関数
ここまでは，窓関数に「矩形窓」\begin{aligned}
w (t) &=
\begin{cases}
\, 1 & (0 \leq t \leq (N - 1) T_{\mathrm{s}} ) \\
\, 0 & (\mathrm{otherwise})
\end{cases} \\
&=\mathrm{rect} \bigl(t - (N - 1) T_{\mathrm{s}} / 2 \bigr)
\end{aligned}
を採用していました．w (t) &=
\begin{cases}
\, 1 & (0 \leq t \leq (N - 1) T_{\mathrm{s}} ) \\
\, 0 & (\mathrm{otherwise})
\end{cases} \\
&=\mathrm{rect} \bigl(t - (N - 1) T_{\mathrm{s}} / 2 \bigr)
\end{aligned}
しかし，よく考えてみれば，有限個のデータを扱うために必要な条件は，DTFTが有限和で切れることです．つまり，
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, w (t) \neq 1 & (0 \leq t \leq (N - 1) T_{\mathrm{s}} ) \\
\, w (t) = 0 & (\mathrm{otherwise})
\end{cases}
\end{aligned}
さえ満たしていれば窓関数として使えます．したがって，DFTでは，この条件を満たす関数（窓関数）の中から「DFTで連続スペクトルを知る」目的に適したものを選ぶ必要があります．\begin{cases}
\, w (t) \neq 1 & (0 \leq t \leq (N - 1) T_{\mathrm{s}} ) \\
\, w (t) = 0 & (\mathrm{otherwise})
\end{cases}
\end{aligned}
窓関数 - Wikipedia
DFTで得られるのは，サンプリングデータに窓関数を掛けた
\begin{aligned}
h_{\mathrm{s}} (t)
&= w(t) g_{\mathrm{s}} (t)
\end{aligned}
の連続フーリエ変換h_{\mathrm{s}} (t)
&= w(t) g_{\mathrm{s}} (t)
\end{aligned}
\begin{aligned}
& H_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[h_{\mathrm{s}}] (f) \\
&= \mathcal{F}[w] (f) \otimes \mathcal{F}[g_{\mathrm{s}}] (f)
\end{aligned}
の$f = nf_{\mathrm{s}} / N\, (n = 0, 1, ..., N - 1)$における値でした．ここで，$\otimes$は畳込み& H_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[h_{\mathrm{s}}] (f) \\
&= \mathcal{F}[w] (f) \otimes \mathcal{F}[g_{\mathrm{s}}] (f)
\end{aligned}
\begin{aligned}
(G_{1} \otimes G_{2}) (f)
&= \int_{-\infty}^{\infty} G_{1}(\phi) G_{2}(f-\phi) \,\mathrm{d} \phi
\end{aligned}
を意味します．(G_{1} \otimes G_{2}) (f)
&= \int_{-\infty}^{\infty} G_{1}(\phi) G_{2}(f-\phi) \,\mathrm{d} \phi
\end{aligned}
この式は，DFTの枠組みで表現することもできます．まず，
\begin{aligned}
h_{\mathrm{s}} (t)
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} w(k T_{\mathrm{s}}) g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}}) = w(t) g_{\mathrm{s}} (t) \\
&= \sum_{k=0}^{N - 1} w(k T_{\mathrm{s}}) g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}})
\end{aligned}
であり，DFTはh_{\mathrm{s}} (t)
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} w(k T_{\mathrm{s}}) g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}}) = w(t) g_{\mathrm{s}} (t) \\
&= \sum_{k=0}^{N - 1} w(k T_{\mathrm{s}}) g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}})
\end{aligned}
\begin{aligned}
H_{\mathrm{s}} (n f_{\mathrm{s}} / N) = \sum_{k=0}^{N - 1} w(k T_{\mathrm{s}}) g(k T_{\mathrm{s}}) e^{-i 2\pi n k / N} \\
(n = 0,...,N-1)
\end{aligned}
と表されます．したがって，$w,g$のDFTをそれぞれ$\mathcal{F}_{\mathrm{DFT}}[w],\mathcal{F}_{\mathrm{DFT}}[g]$で表せば，積のDFTの表式（離散フーリエ変換（DFT） - Notes_JP）からH_{\mathrm{s}} (n f_{\mathrm{s}} / N) = \sum_{k=0}^{N - 1} w(k T_{\mathrm{s}}) g(k T_{\mathrm{s}}) e^{-i 2\pi n k / N} \\
(n = 0,...,N-1)
\end{aligned}
\begin{aligned}
& H_{\mathrm{s}} (n f_{\mathrm{s}} / N) \\
& = \frac{1}{N} \bigl(\mathcal{F}_{\mathrm{DFT}}[w] \otimes \mathcal{F}_{\mathrm{DFT}}[g] \bigr) (n f_{\mathrm{s}} / N)
\end{aligned}
が成り立ちます．ただし，$\otimes$は巡回畳込み& H_{\mathrm{s}} (n f_{\mathrm{s}} / N) \\
& = \frac{1}{N} \bigl(\mathcal{F}_{\mathrm{DFT}}[w] \otimes \mathcal{F}_{\mathrm{DFT}}[g] \bigr) (n f_{\mathrm{s}} / N)
\end{aligned}
\begin{aligned}
(G_{1} \otimes G_{2}) (n)
&=\sum_{m = 0}^{N-1} G_{1}(m) G_{2}(n - m)
\end{aligned}
を意味します．(G_{1} \otimes G_{2}) (n)
&=\sum_{m = 0}^{N-1} G_{1}(m) G_{2}(n - m)
\end{aligned}
まとめ
アナログ信号$g(t)$の連続フーリエ変換$G(f)$を知りたいとします．ただし，フィルタをかけるなどして\begin{aligned}
\begin{cases}
\, G(f) \neq 0 & (|f| < w / 2) \\
\, G(f) = 0 & (|f| \geq w / 2)
\end{cases}
\end{aligned}
になっているとします（帯域制限）．\begin{cases}
\, G(f) \neq 0 & (|f| < w / 2) \\
\, G(f) = 0 & (|f| \geq w / 2)
\end{cases}
\end{aligned}
仮に，サンプリング周期$T_{\mathrm{s}}$（サンプリング周波数$f_{\mathrm{s}} = 1/T_{\mathrm{s}}$）の無限個のデータ$\{g(k T_{\mathrm{s}})\}_{k=-\infty}^{\infty}$からつくった信号
\begin{aligned}
g_{\mathrm{s}} (t)
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}})
\end{aligned}
の連続フーリエ変換（DTFT）g_{\mathrm{s}} (t)
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}})
\end{aligned}
\begin{aligned}
&G_{\mathrm{s}} (f)
&= \frac{1}{T_{\mathrm{s}}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} G (f - n f_{\mathrm{s}} )
\end{aligned}
を求められるとします（実際は計算できない！）．この場合，$f_{\mathrm{s}} \geq w$となるようにサンプリング周波数を選べば，右辺の和は重ならないので，$G_{\mathrm{s}}$から目的の$G (f)$を求められます．&G_{\mathrm{s}} (f)
&= \frac{1}{T_{\mathrm{s}}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} G (f - n f_{\mathrm{s}} )
\end{aligned}
しかし，現実で得られるのは有限個のデータ$\{g(k T_{\mathrm{s}})\}_{k=0}^{N - 1}$だけです．そこで，
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, w (t) \neq 1 & (0 \leq t \leq (N - 1) T_{\mathrm{s}} ) \\
\, w (t) = 0 & (\mathrm{otherwise})
\end{cases}
\end{aligned}
を満たす関数（窓関数）をサンプリングデータに掛けた関数\begin{cases}
\, w (t) \neq 1 & (0 \leq t \leq (N - 1) T_{\mathrm{s}} ) \\
\, w (t) = 0 & (\mathrm{otherwise})
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
h_{\mathrm{s}} (t)
& =w(t) g_{\mathrm{s}} (t) \\
&= \sum_{k=0}^{N - 1} w(k T_{\mathrm{s}}) g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}})
\end{aligned}
を考えます．この関数は有限個のデータ$\{g(k T_{\mathrm{s}})\}_{k=0}^{N - 1}$だけしか必要ない上，この関数の連続フーリエ変換の$f = nf_{\mathrm{s}} / N\, (n = 0, 1, ..., N - 1)$における値（DFT）h_{\mathrm{s}} (t)
& =w(t) g_{\mathrm{s}} (t) \\
&= \sum_{k=0}^{N - 1} w(k T_{\mathrm{s}}) g(k T_{\mathrm{s}}) \delta(t - kT_{\mathrm{s}})
\end{aligned}
\begin{aligned}
H_{\mathrm{s}} (n f_{\mathrm{s}} / N)
= \sum_{k=0}^{N - 1} w(k T_{\mathrm{s}}) g(k T_{\mathrm{s}}) e^{-i 2\pi n k / N} \\
(n = 0,...,N-1)
\end{aligned}
はコンピュータで計算できます（FFT）．H_{\mathrm{s}} (n f_{\mathrm{s}} / N)
= \sum_{k=0}^{N - 1} w(k T_{\mathrm{s}}) g(k T_{\mathrm{s}}) e^{-i 2\pi n k / N} \\
(n = 0,...,N-1)
\end{aligned}
さらに，
\begin{aligned}
& H_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[h_{\mathrm{s}}] (f) \\
&= \mathcal{F}[w] (f) \otimes G_{\mathrm{s}} (f)
\end{aligned}
という関係があるので，性質のよい窓関数を選べば，$G_{\mathrm{s}} (f) $のスペクトルを推測できます．したがって，目的の$G (f)$を推測できます．& H_{\mathrm{s}} (f) = \mathcal{F}[h_{\mathrm{s}}] (f) \\
&= \mathcal{F}[w] (f) \otimes G_{\mathrm{s}} (f)
\end{aligned}
参考文献
- [1] 信号とシステム (斉藤洋一)：6. アナログ信号のディジタル化，7.3. 信号のスペクトル解析
