POINT
- ミラーの反射による偏光の変化をジョーンズベクトル・行列で計算する方法のメモ．
- 座標系の取り方は参考文献[1]に従う．
2つのミラー
図のように2つのミラーで電場の向きを変えるとき，ミラー1に対するp偏光，s偏光を入射したときにどのような電場が出射されるかを考える．（※以下でみるように，偏光が変化して出射される．）
図示による方法
2つの条件- 「p偏光方向，s偏光方向，波数ベクトル方向」が右手形をなす
- 検出器からみたときに，入射電場と出射電場の「p偏光方向，s偏光方向，波数ベクトル方向」が同じになる
このとき，ミラー1にp偏光を入射した場合と，ミラー1にs偏光を入射した場合をそれぞれ図示すると，下図のようになる（※ミラー1のp偏光はミラー2のs偏光になり，ミラー1のs偏光はミラー2のp偏光になることに注意）．
したがって，入射電場のp偏光，s偏光成分を
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
p \\
s
\end{pmatrix}
\end{aligned}
と表すとき，\begin{pmatrix}
p \\
s
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
p \\
0
\end{pmatrix} \mapsto
\begin{pmatrix}
0 \\
-p
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
0 \\
s
\end{pmatrix} \mapsto
\begin{pmatrix}
s \\
0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
となり，p偏光は（位相反転を伴って）s偏光に，s偏光はp偏光に変わることがわかる．\begin{pmatrix}
p \\
0
\end{pmatrix} \mapsto
\begin{pmatrix}
0 \\
-p
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
0 \\
s
\end{pmatrix} \mapsto
\begin{pmatrix}
s \\
0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
ジョーンズベクトルとジョーンズ行列を使う方法
上で図示したことを，行列計算で求める．ここでも，上と同様に，入射電場のp偏光，s偏光成分を
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
p \\
s
\end{pmatrix}
\end{aligned}
と表す．\begin{pmatrix}
p \\
s
\end{pmatrix}
\end{aligned}
座標系は，条件
- 「p偏光方向，s偏光方向，波数ベクトル方向」が右手形をなす
- 検出器からみたときに，入射電場と出射電場の「p偏光方向，s偏光方向，波数ベクトル方向」が同じになる
- 各ミラーのs偏光方向は，「ミラーへの入射方向×ミラーからの出射方向（ベクトルの外積）」に平行な方向にとる
以上を整理すると下図になる（※図中に書き込まれた矢印は「電場」ではなく，「座標系」であることに注意）．
ミラー1による反射波は
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
-1& 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p \\
s
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-p \\
s
\end{pmatrix}
\end{aligned}
となる（単に座標系の取り方の都合でp偏光の位相が反転している）．\begin{pmatrix}
-1& 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p \\
s
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-p \\
s
\end{pmatrix}
\end{aligned}
ミラー2への入射波は，座標系を$\pi/2$回転させるので，ベクトルは$-\pi/2$回転することになるから，
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
0& 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-p \\
s
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
s \\
p
\end{pmatrix}
\end{aligned}
となり，ミラー2による反射波は\begin{pmatrix}
0& 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-p \\
s
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
s \\
p
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&
\begin{pmatrix}
-1& 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
s \\
p
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-s \\
p
\end{pmatrix}
\end{aligned}
となる．&
\begin{pmatrix}
-1& 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
s \\
p
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-s \\
p
\end{pmatrix}
\end{aligned}
最終的な座標系では，座標が反転するので（あるいは座標系を$\pi$回転させるため，ベクトルは$-\pi$回転することになるので），
\begin{aligned}
&
\begin{pmatrix}
-1& 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-s \\
p
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
s \\
-p
\end{pmatrix}
\end{aligned}
となる．&
\begin{pmatrix}
-1& 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-s \\
p
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
s \\
-p
\end{pmatrix}
\end{aligned}
これは，上で図にp偏光とs偏光の正方向を書き込んで追跡した結果と整合している．
補足：ミラー間の座標回転角度の求め方
上では「ミラー1からの出射波の座標系」と「ミラー2への入射波の座標系」は図示によって簡単にわかってしまった．しかし，参考文献[1]のコーナーキューブの計算のように，図示が難しく計算で求めたい場合がある．これは，
- 座標系の取り方は「p偏光方向，s偏光方向，波数ベクトル方向」が右手形をなすと決めている
- この座標変換で電場の波数ベクトル方向は変わらない
座標系のs偏光方向が$\bm{n}_{1}$から$\bm{n}_{2}$に変換されるとすると，
- 回転角の絶対値：$\bm{n}_{1}\cdot\bm{n}_{2} = \cos\theta$
- 回転角の正負：$\bm{n}_{1}\times\bm{n}_{2}$が入射方向と同じなら正，逆向きなら負
例えば，上の例では，$\bm{n}_{1}\cdot\bm{n}_{2} = 0$より$\pm \pi/2$回転で，$\bm{n}_{1}\times\bm{n}_{2}$が入射方向を向くから，座標系が$\pi/2$回転することがわかる．
参考文献
- [1] Polarization properties of corner-cube retroreflectors: theory and experiment：同じ方法でコーナーキューブについての計算をしている．もう少し複雑になる．
- レトロリフレクターの実験データ
- Insights-ヒント集
