Maxwell方程式の意味

POINT

• Maxwell方程式は，積分形で考えれば高校物理の電磁気の知識に帰着できる．
• 流体力学の方程式なども，同様に考えることができる．

Maxwell方程式

Maxwell方程式（静止物体）

\begin{aligned}
\mathrm{rot\,}\boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}&=0 \\
\mathrm{div\,}\boldsymbol{B}&=0 \\
\mathrm{rot\,}\boldsymbol{H} - \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}&=\boldsymbol{i} \\
\mathrm{div\,}\boldsymbol{D}&=\rho
\end{aligned}

ファラデーの法則（電磁誘導）

$\displaystyle \mathrm{rot\,}\boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}=0$の両辺を面積分$\displaystyle \int_S \Box \cdot \boldsymbol{n}\,\mathrm{d}S$すると，

\begin{aligned}
\int_S\mathrm{rot\,}\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
+ \int_S\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=0.
\end{aligned}

第1項に対してストークスの定理（付録参照）を用いると

ファラデーの法則（電磁誘導）

\begin{aligned}
&\int_C \boldsymbol{E} \cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{s}
+ \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
=0.
\end{aligned}

ここで，

\begin{aligned}
\Phi=\int_S \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
\end{aligned}

は面$S$を貫く磁束を表している．

クーロンの法則（磁気）

$\mathrm{div\,}\boldsymbol{B}=0$の両辺を体積分$\displaystyle \int_V \Box \,\mathrm{d}V$すると，

\begin{aligned}
\int_V\mathrm{div\,}\boldsymbol{B}\,\mathrm{d}V
=0.
\end{aligned}

左辺に対してガウスの発散定理（付録参照）を用いると

クーロンの法則（磁気）

\begin{aligned}
\int_S \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=0
\end{aligned}

となる．但し，$S$は領域$V$の表面を表し，$\boldsymbol{n}$は$S$の各点における法線ベクトルを表す．

これは領域$V$の中に磁場を発生させるもの（磁荷）が存在しないことを示している．

アンペールの法則

$\displaystyle \mathrm{rot\,}\boldsymbol{H} - \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}=\boldsymbol{i}$の両辺を面積分$\displaystyle \int_S \Box \cdot \boldsymbol{n}\,\mathrm{d}S$すると，

\begin{aligned}
\int_S \mathrm{rot\,}\boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
- \int_S \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=\int_S \boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S.
\end{aligned}

ストークスの定理（付録参照）を用いると

アンペールの法則

\begin{aligned}
&\int_C \boldsymbol{H} \cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{s}
- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_S \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=\int_C \boldsymbol{i} \cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{s}.
\end{aligned}

ここで，

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_S \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
\end{aligned}

は変位電流と呼ばれる．

ガウスの法則

$\mathrm{div\,}\boldsymbol{D}=\rho$の両辺を体積分$\displaystyle \int_V \Box \,\mathrm{d}V$すると，

\begin{aligned}
\int_V\mathrm{div\,}\boldsymbol{D}\,\mathrm{d}V
=\int_V \rho\,\mathrm{d}V.
\end{aligned}

右辺は領域$V$に含まれる全電荷$Q$を意味している．左辺に対してガウスの発散定理（付録参照）を用いると

ガウスの法則

\begin{aligned}
\int_S \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=Q
\end{aligned}

となる．但し，$S$は領域$V$の表面を表し，$\boldsymbol{n}$は$S$の各点における法線ベクトルを表す．

付録

ガウスの発散定理

ガウスの発散定理

ベクトル場$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$に対して

\begin{aligned}
\int_V\mathrm{div\,}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}V
&=\int_{\partial V} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}S
\end{aligned}

が成立する．ここで，$\partial V$は領域$V$の表面を表し，$\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})$は$\partial V$の各点での外向き法線ベクトルを表す．

ストークスの定理

ストークスの定理

ベクトル場$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$に対して

\begin{aligned}
\int_S \mathrm{rot\,}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}S
&=\int_{\partial S} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) \cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{s}
\end{aligned}

が成立する．ここで，$\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})$は$S$の各点での外向き法線ベクトルをし，$\partial S$は領域$S$の境界線を表す．

参考文献

第3章$\S 2$「物質中のMaxwellの方程式」

理論電磁気学