Maxwell方程式の意味

POINT

  • Maxwell方程式は,積分形で考えれば高校物理の電磁気の知識に帰着できる.
  • 流体力学の方程式なども,同様に考えることができる.

Maxwell方程式

Maxwell方程式(静止物体)
\begin{align}
\mathrm{rot\,}\boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}&=0 \\
\mathrm{div\,}\boldsymbol{B}&=0 \\
\mathrm{rot\,}\boldsymbol{H} - \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}&=\boldsymbol{i} \\
\mathrm{div\,}\boldsymbol{D}&=\rho
\end{align}

ファラデーの法則(電磁誘導)

$\displaystyle \mathrm{rot\,}\boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}=0$の両辺を面積分$\displaystyle \int_S \Box \cdot \boldsymbol{n}\,\mathrm{d}S$すると,
\begin{align}
\int_S\mathrm{rot\,}\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
+ \int_S\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=0.
\end{align}第1項に対してストークスの定理(付録参照)を用いると
ファラデーの法則(電磁誘導)
\begin{align}
&\int_C \boldsymbol{E} \cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{s}
+ \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
=0.
\end{align}
ここで,
\begin{align}
\Phi=\int_S \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
\end{align}は面$S$を貫く磁束を表している.

クーロンの法則(磁気)

$\mathrm{div\,}\boldsymbol{B}=0$の両辺を体積分$\displaystyle \int_V \Box \,\mathrm{d}V$すると,
\begin{align}
\int_V\mathrm{div\,}\boldsymbol{B}\,\mathrm{d}V
=0.
\end{align}左辺に対してガウスの発散定理(付録参照)を用いると
クーロンの法則(磁気)
\begin{align}
\int_S \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=0
\end{align}
となる.但し,$S$は領域$V$の表面を表し,$\boldsymbol{n}$は$S$の各点における法線ベクトルを表す.


これは領域$V$の中に磁場を発生させるもの(磁荷)が存在しないことを示している.

アンペールの法則

$\displaystyle \mathrm{rot\,}\boldsymbol{H} - \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}=\boldsymbol{i}$の両辺を面積分$\displaystyle \int_S \Box \cdot \boldsymbol{n}\,\mathrm{d}S$すると,
\begin{align}
\int_S \mathrm{rot\,}\boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
- \int_S \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=\int_S \boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S.
\end{align}ストークスの定理(付録参照)を用いると
アンペールの法則
\begin{align}
&\int_C \boldsymbol{H} \cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{s}
- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_S \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=\int_C \boldsymbol{i} \cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{s}.
\end{align}
ここで,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_S \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
\end{align}は変位電流と呼ばれる.

ガウスの法則

$\mathrm{div\,}\boldsymbol{D}=\rho$の両辺を体積分$\displaystyle \int_V \Box \,\mathrm{d}V$すると,
\begin{align}
\int_V\mathrm{div\,}\boldsymbol{D}\,\mathrm{d}V
=\int_V \rho\,\mathrm{d}V.
\end{align}右辺は領域$V$に含まれる全電荷$Q$を意味している.左辺に対してガウスの発散定理(付録参照)を用いると
ガウスの法則
\begin{align}
\int_S \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=Q
\end{align}
となる.但し,$S$は領域$V$の表面を表し,$\boldsymbol{n}$は$S$の各点における法線ベクトルを表す.

付録

ガウスの発散定理

ガウスの発散定理
ベクトル場$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$に対して
\begin{align}
\int_V\mathrm{div\,}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}V
&=\int_{\partial V} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}S
\end{align}が成立する.ここで,$\partial V$は領域$V$の表面を表し,$\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})$は$\partial V$の各点での外向き法線ベクトルを表す.

ストークスの定理

ストークスの定理
ベクトル場$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$に対して
\begin{align}
\int_S \mathrm{rot\,}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}S
&=\int_{\partial S} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) \cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{s}
\end{align}が成立する.ここで,$\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})$は$S$の各点での外向き法線ベクトルをし,$\partial S$は領域$S$の境界線を表す.

参考文献

第3章$\S 2$「物質中のMaxwellの方程式」
理論電磁気学

理論電磁気学

  • 作者:砂川 重信
  • 出版社/メーカー: 紀伊國屋書店
  • 発売日: 1999/09/01
  • メディア: 単行本