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速度の変換則（ローレンツ変換）

物理学 物理学-相対性理論

POINT

  • ローレンツ変換をもとに速度の変換則を導く．
  • 粒子運動を異なる慣性系で観測すると，粒子の運動「方向」が異なって見える．
  • 光を異なる慣性系で観測すると，光線の角度がずれて見える（光行差）．

【関連記事】

ローレンツ変換

ローレンツ変換については，概要だけ説明する．

「慣性系$K^{\prime}$」が「慣性系$K$」に対して$x$軸方向に速度$V$で移動しているとする．

2つの慣性系
慣性系$K$から慣性系$K^{\prime}$を見たときの様子．$K$系の空間軸を$(x,y,z)$，時間軸を$t$で表す．$K^{\prime}$系の空間軸を$(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$，時間軸を$t^{\prime}$で表す．

まず，

\begin{aligned}
\begin{cases}
\, y=y^{\prime} \\
\, z=z^{\prime} \\
\end{cases}
\end{aligned}
であることは認めるとする．

座標変換則は，恒等変換でない$(t,x)$と$(t^{\prime},x^{\prime})$間の関係だけを考察すれば良い．関連記事[A]から，座標反転がないときのローレンツ変換は

\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
ct \\
x
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\cosh\psi&\sinh\psi\\
\sinh\psi&\cosh\psi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct^{\prime} \\
x^{\prime}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
ct^{\prime} \cosh\psi + x^{\prime} \sinh\psi \\
ct^{\prime} \sinh\psi + x^{\prime} \cosh\psi
\end{pmatrix}
\end{aligned}
で与えられる．

ここで，$x^{\prime}=0\Rightarrow x=Vt$だから

\begin{aligned}
V/c=x/ct=\tanh\psi
\end{aligned}
の関係がわかる．

したがって，

\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \beta=V/c=\tanh\psi \\
\, \gamma=1/\sqrt{1-\beta^{2}}=\cosh\psi
\end{cases}
\end{aligned}
とおくと
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
ct^{\prime} \\
x^{\prime} \\
y^{\prime} \\
z^{\prime}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\cosh\psi & -\sinh\psi & 0 & 0 \\
-\sinh\psi & \cosh\psi & 0 & 0 \\
0& 0 & 1 & 0 \\
0& 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct \\
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\
-\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\
0& 0 & 1 & 0 \\
0& 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct \\
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\end{aligned}

逆変換は，$V$を$-V$に置き換えることで得られる．

速度の変換則

「慣性系$K^{\prime}$」が「慣性系$K$」に対して$x$軸方向に速度$V$で移動しているとする．

$K$系と$K^{\prime}$系での粒子運動が，それぞれ$x^{\mu}=(ct,\boldsymbol{x}(t)), x^{\prime \mu}=(ct^{\prime},\boldsymbol{x}^{\prime}(t^{\prime}))$で表されるとして，粒子速度の変換則を導く．

合成関数の微分法より

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}t}
=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\prime \nu}}
\frac{\mathrm{d} x^{\prime \nu}}{\mathrm{d} t^{\prime}}
\frac{\mathrm{d} t^{\prime}}{\mathrm{d}t}
\end{aligned}
であるから，行列で表すと
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
\begin{pmatrix}
ct \\
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\gamma & \gamma\beta & 0 & 0 \\
\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\
0& 0 & 1 & 0 \\
0& 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c \\
v^{\prime}_{x} \\
v^{\prime}_{y} \\
v^{\prime}_{z}
\end{pmatrix}
\cdot \frac{\mathrm{d} t^{\prime}}{\mathrm{d}t}
\end{aligned}
となる．ここで，
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}t^{\prime}}{\mathrm{d} t}
&=\frac{\mathrm{d} (ct^{\prime})}{\mathrm{d} (ct)} \\
&=\frac{\partial (ct^{\prime})}{\partial x^{\mu}} \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d} (ct)} \\
&=\gamma - \gamma\beta\cdot \frac{1}{c}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \\
&=\gamma[1-(v_{x}/c) \beta]
\end{aligned}
である．

整理すれば

\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
c \\
v^{\prime}_{x} \\
v^{\prime}_{y} \\
v^{\prime}_{z}
\end{pmatrix}
&=\frac{1}{\gamma[1-(v_{x}/c) \beta]}
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\
-\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\
0& 0 & 1 & 0 \\
0& 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c \\
v_{x} \\
v_{y} \\
v_{z}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
c \\
\frac{v_{x} - \beta c}{1-(v_{x}/c) \beta} \\
\frac{v_{y}}{\gamma[1-(v_{x}/c) \beta]} \\
\frac{v_{z}}{\gamma[1-(v_{x}/c) \beta]}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
となる．

運動方向の変換則

特に，粒子が$xy$平面内で運動する場合を考える．

$K$系で$x$軸と粒子の運動方向の成す角を$\theta$，$K^{\prime}$系で$x^{\prime}$軸と粒子の運動方向の成す角を$\theta^{\prime}$とする．つまり，

\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
v_{x} \\
v_{y} \\
v_{z}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
v \cos\theta \\
v \sin\theta \\
0
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
v^{\prime}_{x} \\
v^{\prime}_{y} \\
v^{\prime}_{z}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
v^{\prime} \cos\theta^{\prime} \\
v^{\prime} \sin\theta^{\prime} \\
0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
である（$v=|\boldsymbol{v}|$，$v^{\prime}=|\boldsymbol{v}^{\prime}|$）．

上で導いた「速度の合成則」から

\begin{aligned}
\cos\theta^{\prime}
&=\frac{(v/c) \cos\theta - \beta}{ (v^{\prime}/c)[1-(v/c) \beta \cos\theta]} \\
\sin\theta^{\prime}
&=\frac{(v/c) \sin\theta}{\gamma(v^{\prime}/c)[1-(v/c) \beta \cos\theta]}
\end{aligned}
となる．また，
\begin{aligned}
\tan \theta^{\prime}
=v^{\prime}_{y} / v^{\prime}_{x}
=\frac{(v/c) \sin\theta}{\gamma [(v/c) \cos\theta - \beta ]} \\
\end{aligned}
もわかる．


$\beta=V/c\ll 1$のときに$O(\beta)$までの近似式を求めると

\begin{aligned}
\cos\theta^{\prime}
&=\frac{(v/c) \cos\theta - \beta + \beta(v/c)^{2} \cos^{2}\theta}{(v^{\prime}/c)} \\
\sin\theta^{\prime}
&=\frac{(v/c) \sin\theta + \beta (v/c)^{2} \sin\theta\cos\theta}{(v^{\prime}/c)}
\end{aligned}
となる．

光行差

上を光について考えるには$v=v^{\prime}=c$とすれば良い．特に，$\beta=V/c\ll 1$のときに$O(\beta)$まで考えれば
\begin{aligned}
\sin(\theta^{\prime} - \theta)
&=\sin\theta^{\prime}\cos\theta - \cos\theta^{\prime}\sin\theta \\
&=\frac{\beta\sin\theta}{1-\beta \cos\theta} \\
&\simeq \beta\sin\theta
\simeq \beta\sin\theta^{\prime}
\end{aligned}

したがって，

\begin{aligned}
\theta^{\prime} - \theta
& \simeq \sin(\theta^{\prime} - \theta) \\
& \simeq \beta\sin\theta^{\prime}
\end{aligned}
となる．

参考文献

IsThisAPen


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