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等長変換：回転・反転・Lorentz変換

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POINT

  • ユークリッド空間の距離を保つ変換は「回転」と「反転」で表される．
  • ミンコフスキー空間の距離を保つ変換はLorentz変換となる．

距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることはよく知られています．但し，これは「ユークリッド空間」での話です．

特殊相対性理論で扱う「ミンコフスキー空間」での等距離変換は「Lorentz変換」と呼ばれ，運動する物体の長さが縮むことや，時間の経過が遅くなることが示されます．

この記事では，ユークリッド空間とミンコフスキー空間における等距離変換について考察します．

【関連記事】

ユークリッド空間

ユークリッド空間 (Euclidean space) における等距離変換が「回転」と「反転」で表されることを見てみましょう．

一般論

基本的な性質：

  • $x\cdot y=\dfrac{1}{4}\left(\left| x+y\right|^2 -\left| x-y\right|^2\right)$
    • 或いは，$x\cdot y=\dfrac{1}{2}\left(\left| x+y\right|^2 -\left| x \right|^2 - \left| y\right|^2\right)$
  • 任意の$x,y$に対し$x\cdot A_1y=x\cdot A_2y$が成立 $\Leftrightarrow A_1=A_2$
    • $(A)_{i,j}=e_i \cdot A e_j$が成り立つことからわかります．

を用いれば，

\begin{aligned}
\left| Ax\right|=\left| x\right|
&\Leftrightarrow Ax\cdot Ay=x\cdot y\\
&\Leftrightarrow {}^t\!A A=I
\end{aligned}
が成り立つことがわかります．つまり，$A$が

  • 距離(ノルム)を保つこと
  • 内積を保つこと
  • 直交すること

は同値であることがわかります．*1

2次元における表式（回転と反転）

距離を保つ任意の変換が，「回転」と「反転」で表せることを示しましょう．

行列$A$は単位ベクトル$e_1, e_2$を用いて$A=(Ae_1,Ae_2)$と表せます（理由：行列と単位ベクトルの関係）．

このとき，${}^t\!A A=I$は$Ae_i\cdot Ae_j=\delta_{i,j}$と同値です（$\delta_{i,j}$はクロネッカーのデルタ）．つまり，

  • $Ae_1$と$Ae_2$が単位ベクトルであること：$|Ae_1|=|Ae_2|=1$．
  • $Ae_1$と$Ae_2$が直行すること：$Ae_1\cdot Ae_2=0$．

がわかります．

まず，$|Ae_1|=1$であることから

\begin{aligned}
Ae_1=
\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta\\
\sin\theta
\end{array}
\right)
\end{aligned}
と表すことができます．これに直行する単位ベクトルは，$Ae_1$を「時計回り」或いは「反時計回り」に$\pi/2$回転させたベクトルなので，
\begin{aligned}
Ae_2&=
\left(
\begin{array}{cc}
0&1\\
-1&0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta\\
\sin\theta
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{c}
\sin\theta\\
-\cos\theta
\end{array}
\right)
\end{aligned}
または
\begin{aligned}
Ae_2&=
\left(
\begin{array}{cc}
0&-1\\
1&0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta\\
\sin\theta
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{c}
-\sin\theta\\
\cos\theta
\end{array}
\right)
\end{aligned}
であることがわかります（参考：回転行列の簡単な求め方）．

以上より，2次元の場合の距離を保つ変換$A=(Ae_1,Ae_2)$は

\begin{aligned}
1.&
\textcolor{red}{
\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta&\sin\theta\\
\sin\theta&-\cos\theta
\end{array}
\right)} \\
2.&
\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta&-\sin\theta\\
\sin\theta&\cos\theta
\end{array}
\right) \\
&=\textcolor{red}{
\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta&\sin\theta\\
\sin\theta&-\cos\theta
\end{array}
\right)}
\textcolor{blue}{
\left(
\begin{array}{cc}
1&0\\
0&-1
\end{array}
\right)}
\end{aligned}
の2つであることが示されました．ここで，

  • 前者は回転
  • 後者は，反転+回転

となっていることに注意しましょう．

ミンコフスキー空間

ミンコフスキー空間 (Minkowski space) での等距離変換は，Lorentz変換と呼ばれます．

一般論

4次元ミンコフスキー空間の内積は，
\begin{aligned}
\eta=
\left(
\begin{array}{cccc}
1&&&\\
&-1&&\\
&&-1&\\
&&&-1
\end{array}
\right)
\end{aligned}
を用いて
\begin{aligned}
x\cdot y={}^t\!x\eta y
\end{aligned}
と表されます．

$x\cdot y=y\cdot x$に注意すれば，ユークリッド空間での議論と同様にして

\begin{aligned}
\left| Ax\right|=\left| x\right|
&\Leftrightarrow Ax\cdot Ay=x\cdot y\\
&\Leftrightarrow {}^t\!A\eta A=I
\end{aligned}
が示されます．

2次元における表式（Lorentz変換）

時間1次元と空間1次元の場合に，具体的な表式を求めてみましょう（時間と空間の次元を分けて，$1+1$次元と表すこともあります）．
\begin{aligned}
Ae_1=
\left(
\begin{array}{c}
x^0\\
x^1
\end{array}
\right)
\end{aligned}
と表すとき，$\left| Ae_1 \right|=1$は$x_0^2-x_1^2=1$を意味します．従って，
\begin{aligned}
Ae_1=
\left(
\begin{array}{c}
\cosh\phi \\
\sinh\phi
\end{array}
\right)
\end{aligned}
と表すことができます．

次に，$Ae_1$と直行する単位ベクトルを求めます．

\begin{aligned}
x_i=
\left(
\begin{array}{c}
|x_i|\cos\theta_i \\
|x_i|\sin\theta_i
\end{array}
\right)
\qquad(i=1,2)
\end{aligned}
と極座標表示でベクトルを表すとき，内積は
\begin{aligned}
x_1\cdot x_2
&= |x_1||x_2|\left( \cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2 \right) \\
&= |x_1||x_2|\cos(\theta_1+\theta_2)
\end{aligned}
と表せます．従って
\begin{aligned}
&x_1\cdot x_2= 0 \\
\Leftrightarrow &
\theta_1+\theta_2=\frac{\pi}{2}+m\pi\qquad(m\in\mathbb{Z})
\end{aligned}
が直行する条件となります．

以上より，$Ae_2$は$Ae_1$を反転・$\pm\pi/2$回転させたベクトルとなるので，

\begin{aligned}
Ae_2&=
\left(
\begin{array}{cc}
0&1\\
1&0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\cosh\phi\\
\sinh\phi
\end{array}
\right) \\
& =
\left(
\begin{array}{c}
\sinh\phi\\
\cosh\phi
\end{array}
\right)
\end{aligned}
または
\begin{aligned}
Ae_2&=
\left(
\begin{array}{cc}
0&-1\\
-1&0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\cosh\phi\\
\sinh\phi
\end{array}
\right) \\
& =
\left(
\begin{array}{c}
-\sinh\phi\\
-\cosh\phi
\end{array}
\right)
\end{aligned}
です（参考：回転行列の簡単な求め方）．

よって，2次元の場合の距離を保つ変換$A=(Ae_1,Ae_2)$は

\begin{aligned}
1.&
\color{red}{
\left(
\begin{array}{cc}
\cosh\phi&\sinh\phi\\
\sinh\phi&\cosh\phi
\end{array}
\right)} \\
2.&
\left(
\begin{array}{cc}
\cosh\phi&-\sinh\phi\\
\sinh\phi&-\cosh\phi
\end{array}
\right) \\
&=\color{red}{
\left(
\begin{array}{cc}
\cosh\phi&\sinh\phi\\
\sinh\phi&\cosh\phi
\end{array}
\right)}\color{blue}{
\left(
\begin{array}{cc}
1&0\\
0&-1
\end{array}
\right) }
\end{aligned}
であることがわかりました．

参考文献/記事

[1]ヒルベルト空間と線型作用素 (数理情報科学シリーズ 10)
[2]場の古典論（原書第６版） (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)

*1:複素ヒルベルト空間への一般化も容易です．例えば，ヒルベルト空間と線型作用素 (数理情報科学シリーズ) の命題2.1.16を参照して下さい．

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