【等長変換】回転・反転・Lorentz変換

POINT

  • ユークリッド空間の距離を保つ変換は「回転」と「反転」で表される.
  • ミンコフスキー空間の距離を保つ変換はLorentz変換となる.

距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることはよく知られています.但し,これは「ユークリッド空間」での話です.

特殊相対性理論で扱う「ミンコフスキー空間」での等距離変換は「Lorentz変換」と呼ばれ,運動する物体の長さが縮むことや,時間の経過が遅くなることが示されます.

この記事では,ユークリッド空間とミンコフスキー空間における等距離変換について考察します.

ユークリッド空間

ユークリッド空間 (Euclidean space) における等距離変換が「回転」と「反転」で表されることを見てみましょう.

一般論

基本的な性質:

  • $x\cdot y=\dfrac{1}{4}\left(\left| x+y\right|^2 -\left| x-y\right|^2\right)$
    • 或いは,$x\cdot y=\dfrac{1}{2}\left(\left| x+y\right|^2 -\left| x \right|^2 - \left| y\right|^2\right)$
  • 任意の$x,y$に対し$x\cdot A_1y=x\cdot A_2y$が成立 $\Leftrightarrow A_1=A_2$
    • $(A)_{i,j}=e_i \cdot A e_j$が成り立つことからわかります.

を用いれば,

\begin{align} \left| Ax\right|=\left| x\right| &\Leftrightarrow Ax\cdot Ay=x\cdot y\\ &\Leftrightarrow {}^t\!A A=I \end{align}

が成り立つことがわかります.つまり,$A$が

  • 距離(ノルム)を保つこと
  • 内積を保つこと
  • 直交すること

は同値であることがわかります.*1

2次元における表式(回転と反転)

距離を保つ任意の変換が,「回転」と「反転」で表せることを示しましょう.

行列$A$は単位ベクトル$e_1, e_2$を用いて$A=(Ae_1,Ae_2)$と表せます(理由:行列と単位ベクトルの関係).

このとき,${}^t\!A A=I$は$Ae_i\cdot Ae_j=\delta_{i,j}$と同値です($\delta_{i,j}$はクロネッカーのデルタ).つまり,

  • $Ae_1$と$Ae_2$が単位ベクトルであること:$|Ae_1|=|Ae_2|=1$.
  • $Ae_1$と$Ae_2$が直行すること:$Ae_1\cdot Ae_2=0$.

がわかります.

まず,$|Ae_1|=1$であることから
\begin{align}
Ae_1=
\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta\\
\sin\theta
\end{array}
\right)
\end{align}
と表すことができます.これに直行する単位ベクトルは,$Ae_1$を「時計回り」或いは「反時計回り」に$\pi/2$回転させたベクトルなので,
\begin{align}
Ae_2&=
\left(
\begin{array}{cc}
0&1\\
-1&0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta\\
\sin\theta
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{c}
\sin\theta\\
-\cos\theta
\end{array}
\right)
\end{align}
または
\begin{align}
Ae_2&=
\left(
\begin{array}{cc}
0&-1\\
1&0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta\\
\sin\theta
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{c}
-\sin\theta\\
\cos\theta
\end{array}
\right)
\end{align}
であることがわかります(参考:回転行列の簡単な求め方).

以上より,2次元の場合の距離を保つ変換$A=(Ae_1,Ae_2)$は

  1. $\displaystyle\color{red}{
    \left(
    \begin{array}{cc}
    \cos\theta&\sin\theta\\
    \sin\theta&-\cos\theta
    \end{array}
    \right)
    }$
  2. $\displaystyle
    \left(
    \begin{array}{cc}
    \cos\theta&-\sin\theta\\
    \sin\theta&\cos\theta
    \end{array}
    \right)$$\displaystyle
    =\color{red}{
    \left(
    \begin{array}{cc}
    \cos\theta&\sin\theta\\
    \sin\theta&-\cos\theta
    \end{array}
    \right)}\color{blue}{
    \left(
    \begin{array}{cc}
    1&0\\
    0&-1
    \end{array}
    \right)
    }$
の2つであることが示されました.ここで,

  • 前者は回転
  • 後者は,反転+回転

となっていることに注意しましょう.

ミンコフスキー空間

ミンコフスキー空間 (Minkowski space) での等距離変換は,Lorentz変換と呼ばれます.

一般論

4次元ミンコフスキー空間の内積は,
\begin{align}
\eta=
\left(
\begin{array}{cccc}
1&&&\\
&-1&&\\
&&-1&\\
&&&-1
\end{array}
\right)
\end{align}
を用いて
\begin{align}
x\cdot y={}^t\!x\eta y
\end{align}
と表されます.

$x\cdot y=y\cdot x$に注意すれば,ユークリッド空間での議論と同様にして

\begin{align} \left| Ax\right|=\left| x\right| &\Leftrightarrow Ax\cdot Ay=x\cdot y\\ &\Leftrightarrow {}^t\!A\eta A=I \end{align}

が示されます.

2次元における表式(Lorentz変換)

時間1次元と空間1次元の場合に,具体的な表式を求めてみましょう(時間と空間の次元を分けて,$1+1$次元と表すこともあります).
\begin{align}
Ae_1=
\left(
\begin{array}{c}
x^0\\
x^1
\end{array}
\right)
\end{align}
と表すとき,$\left| Ae_1 \right|=1$は$x_0^2-x_1^2=1$を意味します.
従って,
\begin{align}
Ae_1=
\left(
\begin{array}{c}
\cosh\phi \\
\sinh\phi
\end{array}
\right)
\end{align}
と表すことができます.

次に,$Ae_1$と直行する単位ベクトルを求めます.
\begin{align}
x_i=
\left(
\begin{array}{c}
|x_i|\cos\theta_i \\
|x_i|\sin\theta_i
\end{array}
\right)
\qquad(i=1,2)
\end{align}
と極座標表示でベクトルを表すとき,内積は
\begin{align}
x_1\cdot x_2
&= |x_1||x_2|\left( \cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2 \right) \\
&= |x_1||x_2|\cos(\theta_1+\theta_2)
\end{align}
と表せます.従って
\begin{align}
&x_1\cdot x_2= 0 \\
\Leftrightarrow &
\theta_1+\theta_2=\frac{\pi}{2}+m\pi\qquad(m\in\mathbb{Z})
\end{align}
が直行する条件となります.

以上より,$Ae_2$は$Ae_1$を反転・$\pm\pi/2$回転させたベクトルとなるので,
\begin{align}
Ae_2&=
\left(
\begin{array}{cc}
0&1\\
1&0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\cosh\phi\\
\sinh\phi
\end{array}
\right) \\
& =
\left(
\begin{array}{c}
\sinh\phi\\
\cosh\phi
\end{array}
\right)
\end{align}
または
\begin{align}
Ae_2&=
\left(
\begin{array}{cc}
0&-1\\
-1&0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\cosh\phi\\
\sinh\phi
\end{array}
\right) \\
& =
\left(
\begin{array}{c}
-\sinh\phi\\
-\cosh\phi
\end{array}
\right)
\end{align}
です(参考:回転行列の簡単な求め方).

よって,2次元の場合の距離を保つ変換$A=(Ae_1,Ae_2)$は

  1. $\displaystyle
    \color{red}{
    \left(
    \begin{array}{cc}
    \cosh\phi&\sinh\phi\\
    \sinh\phi&\cosh\phi
    \end{array}
    \right)
    }$
  2. $\displaystyle
    \left(
    \begin{array}{cc}
    \cosh\phi&-\sinh\phi\\
    \sinh\phi&-\cosh\phi
    \end{array}
    \right)$$\displaystyle
    =\color{red}{
    \left(
    \begin{array}{cc}
    \cosh\phi&\sinh\phi\\
    \sinh\phi&\cosh\phi
    \end{array}
    \right)}\color{blue}{
    \left(
    \begin{array}{cc}
    1&0\\
    0&-1
    \end{array}
    \right) }
    $
であることがわかりました.

参考文献/記事

ヒルベルト空間と線型作用素 (数理情報科学シリーズ)

ヒルベルト空間と線型作用素 (数理情報科学シリーズ)

場の古典論―電気力学,特殊および一般相対性理論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)

場の古典論―電気力学,特殊および一般相対性理論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)

*1:複素ヒルベルト空間への一般化も容易です.例えば,ヒルベルト空間と線型作用素 (数理情報科学シリーズ) の命題2.1.16を参照して下さい.