POINT
- 選出公理（選択公理，Axiom of choice）の主張と例を紹介．
どこで使われているのかわかりにくい，選出公理．その適用例を紹介します．
選出公理
まずは，「集合族の直積」の定義を復習します：直積
$(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を集合族とする．このとき，集合
\begin{aligned}
\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda:=
\left\{a:\Lambda\rightarrow \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\,
\biggl|\,\forall\lambda\in\Lambda,a(\lambda)=a_\lambda\in A_\lambda\right\}
\end{aligned}
を集合族$(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$の直積という.\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda:=
\left\{a:\Lambda\rightarrow \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\,
\biggl|\,\forall\lambda\in\Lambda,a(\lambda)=a_\lambda\in A_\lambda\right\}
\end{aligned}
選出公理は，「集合族の直積」に関する公理です：
選出公理 (Axiom of choice)
\begin{aligned}
\forall\lambda\in\Lambda,
A_\lambda\neq\emptyset
\Rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\neq\emptyset
\end{aligned}
\forall\lambda\in\Lambda,
A_\lambda\neq\emptyset
\Rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\neq\emptyset
\end{aligned}
選出公理の適用例
例１：任意の無限集合は, 可算無限集合を部分集合として含む．
証明：$M$を無限集合とし，$\mathfrak{M}=2^{M} \setminus\{\emptyset\}$とおく．
$\forall A\in\mathfrak{M}$に対し$A\neq \emptyset$であるから，選出公理により$\displaystyle\prod_{A\in\mathfrak{M}}A\neq\emptyset$である．つまり，$\forall A\in\mathfrak{M}$に対して$a_{A} \in A$であるような元の族$(a_A)_{A\in\mathfrak{M}}$が存在する.
このような族$(a_A)_{A\in\mathfrak{M}}$をひとつとり，
\begin{aligned}
\begin{cases}
\,a_0=a_M \in M\\
\,a_i= a_{M\setminus \{a_k\}_{k=0}^{i-1}} \in M\setminus \{a_k\}_{k=0}^{i-1}&(i\geq 1)
\end{cases}
\end{aligned}
で$a_i\in M\,(i\in\mathbb{N})$を定めれば，$a_i\neq a_j\,(i\neq j)$を満たす．\begin{cases}
\,a_0=a_M \in M\\
\,a_i= a_{M\setminus \{a_k\}_{k=0}^{i-1}} \in M\setminus \{a_k\}_{k=0}^{i-1}&(i\geq 1)
\end{cases}
\end{aligned}
従って，$\{a_i\}_{i=0}^\infty$は$M$の可算無限な部分集合となる．//
