点と直線の距離・点と平面の距離

POINT

• 点と直線の距離，点と平面の距離を導く．

イメージ重視の説明にしています．
簡単に覚えて，いつでも思い出せる手法です．

法線ベクトル

法線ベクトル

曲面$f (\boldsymbol{x}) = 0$を考える．$\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x})$は曲面上の点$\boldsymbol{x}$における法線ベクトルである．特に，単位法線ベクトルは$\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) / \|\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) \|$となる．

【解説】
　点$\boldsymbol{x}$に十分近い領域では，曲面は平面とみなせる．この平面に垂直なベクトルが点$\boldsymbol{x}$における法線ベクトルである．
　$\Delta \boldsymbol{x}$を十分小さくとれば，曲面上の2点$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} + \Delta \boldsymbol{x}$は，この平面上にあるとみなせる．ここで，

\begin{aligned}
0
&= f(\boldsymbol{x} + \Delta \boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{x}) \\
&\simeq \boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) \cdot \Delta \boldsymbol{x}
\end{aligned}

であるから，$\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) $は$\Delta \boldsymbol{x}$に直交する．$\Delta \boldsymbol{x}$は平面上の任意の点であったから，$\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) $はこの平面に直交する．//

点と曲面の距離

　点$\boldsymbol{x}_{0}$（曲面上にあるとは限らない）と，曲面の最短距離を求める．最短距離$d$を与える曲面上の点を$\boldsymbol{x}$とすると，$d = \|\boldsymbol{x}_{0} - \boldsymbol{x}\|$である．

　ベクトル$\boldsymbol{x}_{0} - \boldsymbol{x}$は，法線ベクトル$\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x})$に平行であるから，$\alpha$を比例定数として

\begin{aligned}
\boldsymbol{x}_{0} - \boldsymbol{x}
&= \alpha \frac{\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x})}{\| \boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) \|}
\end{aligned}

と表せる．単位ベクトル$f(\boldsymbol{x}) / \| \boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) \|$との内積を取れば

\begin{aligned}
\alpha
&= (\boldsymbol{x}_{0} - \boldsymbol{x}) \cdot \frac{\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x})}{\| \boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) \|}
\end{aligned}

である．

　よって，点$\boldsymbol{x}_{0}$と曲面の最短距離$d$は

\begin{aligned}
& d=|\alpha| \\
&= \Biggl| (\boldsymbol{x}_{0} - \boldsymbol{x})
\cdot \frac{\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x})}{\| \boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) \|} \Biggl| \\
&= \frac{| \boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) \cdot (\boldsymbol{x}_{0} - \boldsymbol{x})|}{\| \boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) \|}
\end{aligned}

となる．

　この式では，点$\boldsymbol{x}$がわからないため，$d$が計算できないように思える．しかし，以下で見るように「点と直線の距離」，「点と平面の距離」の場合には，$\boldsymbol{x}$がうまく消えるため，計算できる．これらのケースでは，「$\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x})$」と「$\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{x}$」が$\boldsymbol{x}$に依存しない定数になるのである．

点と直線の距離

点と直線の距離

点$(x_{0}, y_{0})$と直線$f(x,y) = a x + by + c = 0$の距離は

\begin{aligned}
d
&=\frac{|a x_{0} + by_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \\
&=\frac{|f(x_{0} ,y_{0})|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}
\end{aligned}

【解説】
　$f(x,y)= a x + by + c$であるとき，

\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x})
&=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
\end{aligned}

より

\begin{aligned}
& \| \boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) \|
= \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\
& \boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) \cdot (\boldsymbol{x}_{0} - \boldsymbol{x}) \\
&= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{pmatrix}
- \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\
&= (a x_{0} + by_{0}) - \underbrace{(a x + by)}_{=-c} \\
&= a x_{0} + by_{0} + c
\end{aligned}

となる（$\boldsymbol{x}$が消えていることに注目）．

　よって，点と直線の距離は

\begin{aligned}
d
&= \frac{| \boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) \cdot (\boldsymbol{x}_{0} - \boldsymbol{x})|}{\| \boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) \|} \\
&=\frac{|a x_{0} + by_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}
\end{aligned}

となる．//

点と平面の距離

上の結果は，多次元（平面）の場合に簡単に一般化できる．

点と平面の距離

点$\boldsymbol{x}_{0}$と平面$f (\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x} + w_{0} = 0$の距離は

\begin{aligned}
d
&= \frac{|\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}_{0} + w_{0}|}{\| \boldsymbol{w} \|} \\
&= \frac{|f(\boldsymbol{x}_{0})|}{\| \boldsymbol{w} \|}
\end{aligned}

【解説】
　$f (\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x} + w_{0}$であるとき

\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x})
&= \boldsymbol{w}
\end{aligned}

である．

　曲面上の点$\boldsymbol{x}$に対して，$f (\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x} + w_{0} = 0$なので，

\begin{aligned}
d
&= \Biggl| (\boldsymbol{x}_{0} - \boldsymbol{x})
\cdot\frac{\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x})}{\| \boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}) \|}
\Biggr| \\
&= \frac{|\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}_{0} - \boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{x}|}{\| \boldsymbol{w} \|} \\
&= \frac{|\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}_{0} + w_{0}|}{\| \boldsymbol{w} \|} \\
&= \frac{|f(\boldsymbol{x}_{0})|}{\| \boldsymbol{w} \|}
\end{aligned}

となる．//