高校物理（力学）の公式を微積分でスッキリ理解しませんか？この記事では高校数学で習った微積分を活用し，力学の公式を丸暗記せずに運動方程式から丁寧に導きます．公式を忘れても困らず，物理の本質的な理解が深まります．受験対策にも最適です．
- 微積分を使えば公式を覚えずに済む．
- 質点の運動に関する公式は，運動方程式から自然に導かれる．
高校物理で学ぶ多くの公式は，実は微積分を使うことで自然に導けます．重要なのは，公式ではなく運動方程式をしっかり理解することです．
この記事では，特に，「加速度」「速度」「等速直線運動」「斜方投射」など，高校物理（力学）の重要なトピックを微積分の視点で詳しく説明しています．公式を導く手順をマスターすれば，入試の物理問題でも焦らずに対応できます．
記法
まずは，この記事で使う記号について決めておきます．時間微分
物理では，時間微分を点で表す習慣があります．例えば，\dot{x}(t)=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t}(t),\quad
\ddot{x}(t)=\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}(t)
\end{aligned}
ここで，$x(t)$が運動する物体の「位置」を表すとすれば，$\dot{x}(t)$は「速度」を表し，$\ddot{x}(t)$は「加速度」を表すことになります．
ベクトル
高校の教科書では，ベクトルを$\vec{x}$と「文字の上に矢印を付けて」表すことになっています．しかし，一般には$\boldsymbol{x}$と「太字」でベクトルを表したり，文脈で分かる場合には$x$と「何も修飾しないで」表したりします．この記事では，ベクトルは「太字」\boldsymbol{x}
\end{aligned}
微積分を使って高校物理（力学）の公式を導こう
質点の運動は，運動方程式から決定されます（剛体になると話は別で，これはそのうち追記予定です）．運動方程式を微分方程式として捉える
高校物理では運動方程式は$ma=F$と表しますが，$a$は加速度のことなので$a=\ddot{x}$です．したがって，運動方程式はm\ddot{ \boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{F}
\end{aligned}
\boldsymbol{x}(t) & =
\left(
\begin{array}{c}
x(t)\\
y(t)\\
z(t)
\end{array}
\right), \\
\ddot{ \boldsymbol{x}}(t) &=
\left(
\begin{array}{c}
\ddot{x}(t)\\
\ddot{y}(t)\\
\ddot{z}(t)
\end{array}
\right), \\
\boldsymbol{F}&=
\left(
\begin{array}{c}
F_x\\
F_y\\
F_z
\end{array}
\right) ,\cdots
\end{aligned}
等速度運動と力の釣り合いの関係を微積分から導出する方法
物体が等速度運動するのは，物体に働く力が釣り合っているときです．逆に，力が釣り合っているならば，物体は必ず等速度運動をします．これらは運動方程式から微積分で自然に導けます．まず，「物体が等速度運動をする$\Rightarrow$物体に働く力は釣り合う」を導きます．
物体が等速度運動をすることは，物体が動かない（速度ゼロ）の場合も含んでいることに注意しましょう．$\dot{ \boldsymbol{x} }(t)$が定数であることから，$\ddot{ \boldsymbol{x} }(t) = \boldsymbol{0}$です．したがって，運動方程式は
\boldsymbol{0}
=\boldsymbol{F}
\end{aligned}
次に，上の逆である「物体に働く力が釣り合う$\Rightarrow$物体が等速度運動をする」を導きます．
$\boldsymbol{F}=\boldsymbol{0}$のとき，運動方程式は
m\ddot{ \boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{0}
\end{aligned}
\boldsymbol{0}
&= \int_{t_0}^t \ddot{ \boldsymbol{x}}(t^\prime) \,\mathrm{d}t^\prime \\
&= \int_{t_0}^t \frac{\mathrm{d} \dot{ \boldsymbol{x}}}{\mathrm{d}t^\prime}(t^\prime) \,\mathrm{d}t^\prime \\
&= \dot{ \boldsymbol{x}}(t) - \dot{ \boldsymbol{x}}(t_0).
\end{aligned}
\dot{ \boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{v}_0
\end{aligned}
もう一度$t$で積分すれば，$\boldsymbol{x}$を求めることができます．つまり，
- 左辺：$\displaystyle \int_{t_0}^t \dot{ \boldsymbol{x}}(t^\prime) \,\mathrm{d}t^\prime = \boldsymbol{x}(t) - \boldsymbol{x}(t_0)$
- 右辺：$\displaystyle \int_{t_0}^t \boldsymbol{v}_0 \,\mathrm{d}t^\prime = \boldsymbol{v}_0 (t-t_0)$
なので，$\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{x}(t_0)$と書くことにすれば
\boldsymbol{x}(t) = \boldsymbol{x}_0 + \boldsymbol{v}_0 (t-t_0)
\end{aligned}
微積分による一様な重力場（斜方投射）の公式導出方法
物体に一様な重力が働く状況を考察します．例えば，斜方投射の問題で扱われます．
重力加速度ベクトル$\displaystyle \boldsymbol{g} =\left(0,0,-g\right)$を用いる．
運動方程式は
m \ddot{ \boldsymbol{x} }(t) = m\boldsymbol{g}
\end{aligned}
時間積分により速度を求めると，
\int_{t_0}^t \ddot{ \boldsymbol{x} }(t^\prime)\,\mathrm{d}t^\prime
= \int_{t_0}^t \boldsymbol{g}\,\mathrm{d}t^\prime
\end{aligned}
\dot{ \boldsymbol{x}}(t) - \dot{ \boldsymbol{x}}(t_0)
= \boldsymbol{g} (t-t_0)
\end{aligned}
\dot{ \boldsymbol{x}}(t)
= \boldsymbol{v}_0 + \boldsymbol{g} (t-t_0)
\end{aligned}
もう一度積分すれば，
\boldsymbol{x}(t) - \boldsymbol{x}(t_0)
= \boldsymbol{v}_0(t-t_0) + \frac{1}{2}\boldsymbol{g} (t-t_0)^2
\end{aligned}
\boldsymbol{x}(t)
= \boldsymbol{x}_0 + \boldsymbol{v}_0(t-t_0) + \frac{1}{2}\boldsymbol{g} (t-t_0)^2
\end{aligned}
これら2つは，高校物理では公式として覚えますが，運動方程式さえ知っていれば簡単に計算できるのです．
よくある質問｜高校物理（力学）と微積分の活用法
高校物理の力学で微積分を使うメリットは？
高校物理（力学）の公式を丸暗記せず，運動方程式から自然に導出できるようになります．公式を忘れても自力で導けるため，物理の理解が深まり，受験対策としても有効です．
微積分が苦手でも高校物理を理解できますか？
高校数学で習った基本的な微積分の知識で十分です．この記事を読めば，微積分が苦手でも高校物理を本質から理解できます．
入試の物理では公式の丸暗記が必要ですか？
覚えていたほうが解答が早くなりますが，運動方程式を理解し微積分を使えると，初見の問題にも対応できます．また，大学物理を学ぶ際にも戸惑うことなく移行できます．
