【高校物理】力学〜微積分を使おう

POINT

微積分を使えば公式を覚えずに済む．
質点の運動に関する公式は，運動方程式から自然に導かれる．

高校で学ぶ物理では，たくさんの公式や解法を覚えなくてはなりません．しかし，高校数学で習う「微積分」と結びつけるだけで，覚えなければならないことはほとんどなくなります（ただし，「受験」という観点から見れば，公式を覚えていたほうが早く解くことができ有利です）．

ここでは，高校生が知っていれば

公式を忘れたときに導出できる
物理についての理解が深まる

方法についてまとめてみます．

記法
- 時間微分
- ベクトル
運動方程式からなんでもわかる

記法

まずは，この記事で使う記号について決めておきます．

時間微分

物理では，時間微分を点で表す習慣があります．例えば，

\begin{aligned}
\dot{x}(t)=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t}(t),\quad
\ddot{x}(t)=\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}(t)
\end{aligned}

のように，1階微分なら点1個，2階微分なら点2個で表現します．これらは，「エックス・ドット」，「エックス・ツードット」と呼ぶ事が多いです．点が多くなりすぎると見にくいのですが，3階微分くらいまでは使われます．

ここで，$x(t)$が運動する物体の「位置」を表すとすれば，$\dot{x}(t)$は「速度」を表し，$\ddot{x}(t)$は「加速度」を表すことになります．

ベクトル

高校の教科書では，ベクトルを$\vec{x}$と「文字の上に矢印を付けて」表すことになっています．しかし，一般には$\boldsymbol{x}$と「太字」でベクトルを表したり，文脈で分かる場合には$x$と「何も修飾しないで」表したりします．この記事では，ベクトルは「太字」

\begin{aligned}
\boldsymbol{x}
\end{aligned}

で表すことにします（上に矢印をつけて表すと，時間微分の「ドット」と被ってしまって書きにくいため）．

運動方程式からなんでもわかる

質点の運動は，運動方程式から決定されます．剛体になると話は別で，これはそのうち追記予定です．

高校物理では運動方程式は$ma=F$と表しますが，$a$は加速度のことなので$a=\ddot{x}$です．したがって，運動方程式は

運動方程式

\begin{aligned}
m\ddot{ \boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{F}
\end{aligned}

と書くことができます．ここで，$\boldsymbol{x}$と$ \boldsymbol{F}$はベクトルです．つまり，

\begin{aligned}
\boldsymbol{x}(t) & =
\left(
\begin{array}{c}
x(t)\\
y(t)\\
z(t)
\end{array}
\right), \\
\ddot{ \boldsymbol{x}}(t) &=
\left(
\begin{array}{c}
\ddot{x}(t)\\
\ddot{y}(t)\\
\ddot{z}(t)
\end{array}
\right), \\
\boldsymbol{F}&=
\left(
\begin{array}{c}
F_x\\
F_y\\
F_z
\end{array}
\right) ,\cdots
\end{aligned}

といった具合です．

物体が等速度運動をする→物体に働く力は釣り合う

これは，物体が動かない（速度ゼロ）の場合も含んでいることに注意しましょう．$\dot{ \boldsymbol{x} }(t)$が定数であることから，$\ddot{ \boldsymbol{x} }(t) = \boldsymbol{0}$です．したがって，運動方程式は

\begin{aligned}
\boldsymbol{0}
=\boldsymbol{F}
\end{aligned}

です．これは，物体に働く力が釣り合っているを意味しています．

物体に働く力が釣り合う→物体が等速度運動をする

上とは逆の状況を考えてみましょう．$\boldsymbol{F}=\boldsymbol{0}$のとき，運動方程式は

\begin{aligned}
m\ddot{ \boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{0}
\end{aligned}

なので，$\ddot{ \boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{0}$となります．両辺を時間で積分すれば$\boldsymbol{C}_1$を任意定数（ベクトル）として

\begin{aligned}
\boldsymbol{0}
&= \int_{t_0}^t \ddot{ \boldsymbol{x}}(t^\prime) \,\mathrm{d}t^\prime \\
&= \int_{t_0}^t \frac{\mathrm{d} \dot{ \boldsymbol{x}}}{\mathrm{d}t^\prime}(t^\prime) \,\mathrm{d}t^\prime \\
&= \dot{ \boldsymbol{x}}(t) - \dot{ \boldsymbol{x}}(t_0).
\end{aligned}

したがって，$\boldsymbol{v}_0=\dot{ \boldsymbol{x}}(t_0)$と書くことにすれば

\begin{aligned}
\dot{ \boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{v}_0
\end{aligned}

となります．つまり，等速度運動することがわかりました．

もう一度$t$で積分すれば，$\boldsymbol{x}$を求めることができます．つまり，

左辺：$\displaystyle \int_{t_0}^t \dot{ \boldsymbol{x}}(t^\prime) \,\mathrm{d}t^\prime = \boldsymbol{x}(t) - \boldsymbol{x}(t_0)$
右辺：$\displaystyle \int_{t_0}^t \boldsymbol{v}_0 \,\mathrm{d}t^\prime = \boldsymbol{v}_0 (t-t_0)$

なので，$\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{x}(t_0)$と書くことにすれば

\begin{aligned}
\boldsymbol{x}(t) = \boldsymbol{x}_0 + \boldsymbol{v}_0 (t-t_0)
\end{aligned}

となります．等速直線運動しているので，位置が単位時間あたり$\boldsymbol{v}_0$変化するという当然の結果が得られました．

一様な重力

物体に一様な重力が働く状況を考察します．例えば，斜方投射の問題で扱われます．

\begin{aligned}
m \ddot{ \boldsymbol{x} }(t) = m\boldsymbol{g}
\end{aligned}

です．この場合には，一定の加速度$\ddot{ \boldsymbol{x} }(t) = \boldsymbol{g}$がかかることになります．

時間積分により速度を求めると，

\begin{aligned}
\int_{t_0}^t \ddot{ \boldsymbol{x} }(t^\prime)\,\mathrm{d}t^\prime
= \int_{t_0}^t \boldsymbol{g}\,\mathrm{d}t^\prime
\end{aligned}

から

\begin{aligned}
\dot{ \boldsymbol{x}}(t) - \dot{ \boldsymbol{x}}(t_0)
= \boldsymbol{g} (t-t_0)
\end{aligned}

です．これまで同様に，$\boldsymbol{v}_0=\dot{ \boldsymbol{x}}(t_0)$と書くことにすれば

\begin{aligned}
\dot{ \boldsymbol{x}}(t)
= \boldsymbol{v}_0 + \boldsymbol{g} (t-t_0)
\end{aligned}

となります．

もう一度積分すれば，

\begin{aligned}
\boldsymbol{x}(t) - \boldsymbol{x}(t_0)
= \boldsymbol{v}_0(t-t_0) + \frac{1}{2}\boldsymbol{g} (t-t_0)^2
\end{aligned}

となる．$\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{x}(t_0)$と書くことにすれば

\begin{aligned}
\boldsymbol{x}(t)
= \boldsymbol{x}_0 + \boldsymbol{v}_0(t-t_0) + \frac{1}{2}\boldsymbol{g} (t-t_0)^2
\end{aligned}

です．

これら2つは，高校物理では公式として覚えますが，運動方程式さえ知っていれば簡単に計算できるのです．