- 微積分を使えば公式を覚えずに済む．
- 質点の運動に関する公式は，運動方程式から自然に導かれる．
高校で学ぶ物理では，たくさんの公式や解法を覚えなくてはなりません．しかし，高校数学で習う「微積分」と結びつけるだけで，覚えなければならないことはほとんどなくなります．
ここでは，高校生が知っていれば
- ラクができる
- 物理についての理解が深まる
ことについてまとめてみます．これからも順次追記予定です．
記法
まずは，この記事で使う記号について決めておきます．時間微分
物理では，時間微分を点で表す習慣があります．例えば，\begin{align}
\dot{x}(t)=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t}(t),\quad
\ddot{x}(t)=\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}(t)
\end{align}
のように，1階微分なら点1個，2階微分なら点2個で表現します．これらは，「エックス・ドット」，「エックス・ツードット」と呼ぶ事が多いです．点が多くなりすぎると見にくいのですが，3階微分くらいまでは使われます．
ベクトル
高校の教科書では，ベクトルを$\vec{x}$と「文字の上に矢印を付けて」表すことになっています．しかし，一般には$\boldsymbol{x}$と「太字」でベクトルを表したり，文脈で分かる場合には$x$と「何も修飾しないで」表したりします．この記事では，ベクトルは「太字」\begin{align}
\boldsymbol{x}
\end{align}
で表すことにします（上に矢印をつけて表すと，時間微分の「ドット」と被ってしまって書きにくいため）．
運動方程式からなんでもわかる
質点の運動は，運動方程式から決定されます．剛体になると話は別で，これはそのうち追記予定です．高校物理では運動方程式は$ma=F$と表しますが，$a$は加速度のことなので$a=\ddot{x}$です．したがって，運動方程式は
と書くことができます．ここで，$\boldsymbol{x}$と$ \boldsymbol{F}$はベクトルです．つまり，
\boldsymbol{x}(t) =
\left(
\begin{array}{c}
x(t)\\
y(t)\\
z(t)
\end{array}
\right),\quad
$$\displaystyle
\ddot{ \boldsymbol{x}}(t) =
\left(
\begin{array}{c}
\ddot{x}(t)\\
\ddot{y}(t)\\
\ddot{z}(t)
\end{array}
\right),\quad
$$\displaystyle
\boldsymbol{F}=
\left(
\begin{array}{c}
F_x\\
F_y\\
F_z
\end{array}
\right) ,\quad\cdots
$
といった具合です．
物体が等速度運動をする→物体に働く力は釣り合う
これは，物体が動かない（速度ゼロ）の場合も含んでいることに注意しましょう．$\dot{ \boldsymbol{x} }(t)$が定数であることから，$\ddot{ \boldsymbol{x} }(t) = \boldsymbol{0}$です．したがって，運動方程式はです．これは，物体に働く力が釣り合っているを意味しています．
物体に働く力が釣り合う→物体が等速度運動をする
上とは逆の状況を考えてみましょう．$\boldsymbol{F}=\boldsymbol{0}$のとき，運動方程式は\begin{align}
m\ddot{ \boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{0}
\end{align}
なので，$\ddot{ \boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{0}$となります．両辺を時間で積分すれば$\boldsymbol{C}_1$を任意定数（ベクトル）として
\begin{align}
\boldsymbol{0}
&= \int_{t_0}^t \ddot{ \boldsymbol{x}}(t^\prime) \,\mathrm{d}t^\prime \\
&= \int_{t_0}^t \frac{\mathrm{d} \dot{ \boldsymbol{x}}}{\mathrm{d}t^\prime}(t^\prime) \,\mathrm{d}t^\prime \\
&= \dot{ \boldsymbol{x}}(t) - \dot{ \boldsymbol{x}}(t_0).
\end{align}
したがって，$\boldsymbol{v}_0=\dot{ \boldsymbol{x}}(t_0)$と書くことにすれば
となります．つまり，等速度運動することがわかりました．
もう一度$t$で積分すれば，$\boldsymbol{x}$を求めることができます．つまり，
- 左辺：$\displaystyle \int_{t_0}^t \dot{ \boldsymbol{x}}(t^\prime) \,\mathrm{d}t^\prime = \boldsymbol{x}(t) - \boldsymbol{x}(t_0)$
- 右辺：$\displaystyle \int_{t_0}^t \boldsymbol{v}_0 \,\mathrm{d}t^\prime = \boldsymbol{v}_0 (t-t_0)$
なので，$\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{x}(t_0)$と書くことにすれば
となります．等速直線運動しているので，位置が単位時間あたり$\boldsymbol{v}_0$変化するという当然の結果が得られました．
一様な重力
\boldsymbol{g} =
\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
-g
\end{array}
\right).
$
です．この場合には，一定の加速度$\ddot{ \boldsymbol{x} }(t) = \boldsymbol{g}$がかかることになります．
時間積分により速度を求めると，$\displaystyle \int_{t_0}^t \ddot{ \boldsymbol{x} }(t^\prime)\,\mathrm{d}t^\prime = \int_{t_0}^t \boldsymbol{g}\,\mathrm{d}t^\prime$から$\dot{ \boldsymbol{x}}(t) - \dot{ \boldsymbol{x}}(t_0) = \boldsymbol{g} (t-t_0)$．これまで同様に，$\boldsymbol{v}_0=\dot{ \boldsymbol{x}}(t_0)$と書くことにすれば
となります．
もう一度積分すれば，$\displaystyle\boldsymbol{x}(t) - \boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{v}_0(t-t_0) + \frac{1}{2}\boldsymbol{g} (t-t_0)^2$．$\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{x}(t_0)$と書くことにすれば
です．
これら2つは，高校物理では公式として覚えますが，運動方程式さえ知っていれば簡単に計算できるのです．