- 面積・体積の計算を丁寧に解説．
- 同じ例を複数の方法で計算する方法を紹介．
公式として覚えているものも，同じプロセスで導かれることを見てみましょう．いつでも導出できるようになると便利です．とりあえずは球を中心に作成しました．他の例も，これらの計算を参考にすれば計算できるはずです．今回は実用例が中心です．別記事で，一般論についても書きたいと思っています．
良い例を思いついたら，随時追加予定です．
2次元平面内の図形の面積
つまり「2次元体積」です．$x$-$y$平面における面$S$の面積は，以下で定義されます：\begin{align}
\int_S \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y.
\end{align}
円の面積
半径$a$の円の面積．極座標に変数変換すると簡単に計算できます：\begin{align}
&\int_S \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \\
&=\int_{0}^{2\pi} \,\mathrm{d}\theta \int_{0}^{a} r \,\mathrm{d}r \\
&=2\pi\cdot \frac{a^2}{2}\\
&=\pi a^2.
\end{align}
極座標に変数変換しないで求めていましょう．$y>0$の範囲（半円の面積）を2倍すれば求めることができます：
\begin{align}
&\int_S \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \\
&=2\int_{-a}^a \,\mathrm{d}x \int_0^{\sqrt{a^2-x^2}} \,\mathrm{d}y \\
&=2\int_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x.
\end{align}
ここで，$x=a\cos \theta$とすれば$\sqrt{a^2-x^2}=a|\sin\theta|$，$\mathrm{d}x=-a\sin\theta\,\mathrm{d}\theta$なので
\begin{align}
&=-2a^2 \int_{\pi}^0 \sin^2\theta \,\mathrm{d}\theta \\
&= 2a^2\int_0^\pi \frac{1-\cos 2\theta}{2} \,\mathrm{d}\theta \\
&= \pi a^2
\end{align}
となります（$\cos 2\theta$は$[0,\pi]$で1周期の積分となるので計算するまでもなく$0$です！）．
注意：単位円$a=1$の面積を求めれば，半径$a$の円の面積は（相似比が$a$であることから）$a^2$を掛けることで求めることができます．
3次元空間内の曲面積
ここでは，2次元平面に収まらない面の面積を扱います．以下の記事方法で計算が可能です：球の表面積
半径$a$の球の表面積を計算しましょう．相似比の考え方を用いて，単位球の表面積を$a^2$倍するほうがラクですが，ここでは直接計算してみます．極座標に変数変換します．つまり
\begin{align}
\boldsymbol{X}(\theta,\phi)
&=
\begin{pmatrix}
x(\theta,\phi) \\
y(\theta,\phi) \\
z(\theta,\phi)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a\sin\theta \cos\phi \\
a\sin\theta \sin\phi \\
a\cos\theta
\end{pmatrix}
\end{align}
です．したがって
\begin{align}
&\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \theta}
\times
\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \phi} \\
=&
\begin{pmatrix}
a\cos\theta \cos\phi \\
a\cos\theta \sin\phi \\
-a\sin\theta
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
-a\sin\theta \sin\phi \\
a\sin\theta \cos\phi \\
0
\end{pmatrix} \\
=&
\begin{pmatrix}
a^2\sin^2\theta \cos\phi \\
a^2\sin^2\theta \sin\phi \\
a^2\sin\theta \cos\theta
\end{pmatrix}
\end{align}
となり，
\begin{align}
&
\left|
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \theta}
\times
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \phi}
\right|^2 \\
=&a^4\left(\sin^4\theta+\sin^2\theta \cos^2\theta \right) \\
=& a^4\sin^2\theta
\end{align}
です（最後の等式は$\cos^2=1-\sin^2\theta$を使う）．それでは，上半球面を2倍することで計算してみましょう：
\begin{align}
&2
\int\int_{[0,\pi/2]\times [0,2\pi]}
\left|
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \theta}
\times
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \phi}
\right|
\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi \\
=&2 \int_0^{2\pi} \,\mathrm{d}\phi\, \int_0^{\pi/2} a^2\sin\theta \,\mathrm{d}\theta \\
=&4\pi a^2\left[-\cos\theta \right]_{0}^{\pi/2} \\
=&4\pi a^2.
\end{align}
回転体の表面積
具体的な例は，次の記事にまとめてあります．体積
3次元領域$V$の体積は，以下で定義されます：\begin{align}
\int_V \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z
\end{align}
球の体積
半径$a$の級の体積を計算します．これも相似比の考え方を用いて，単位球の体積を$a^3$倍すればより簡単に計算できます．極座標に変数変換して計算します：
\begin{align}
&\int_V \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z \\
&=\int_0^{2\pi} \,\mathrm{d}\phi \int_0^\pi \,\mathrm{d}\theta \int_0^a r^2\sin\theta \,\mathrm{d}r \\
&=2\pi \int_0^\pi \frac{a^3}{3}\sin\theta \,\mathrm{d}\theta \\
&=\frac{2}{3}\pi a^3 \left[-\cos\theta \right]_0^\pi \\
&=\frac{4}{3}\pi a^3.
\end{align}
回転体の体積
高校数学ではバームクーヘン積分と呼ばれている方法です．
\begin{align}
&\int_V \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z \\
&=\int_{0}^{2\pi} \,\mathrm{d}\theta \int_a^b \,\mathrm{d}r \int_0^{f(r)}r \,\mathrm{d}z \\
&= 2 \pi \int_a^b r f(r) \,\mathrm{d}r\\
&= 2\pi
\cdot \frac{\int_a^b x f(x) \,\mathrm{d}x}{\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x}
\cdot \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x
\end{align}
最後の等号では，領域の面積$\displaystyle\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x$で割ったあとに，同じものを掛けています．
つまり，体積は「$2\pi\times$(回転させる面の重心の$x$成分)$\times$(回転させる面の面積)」で計算することができます．
図形の「面積・重心」を教えてくれるソフトウェアがあれば，回転体の体積を簡単に求めることができます．
重心（幾何中心）となる理由：
質量密度分布が図形上で一様であるときに力のモーメントが釣り合う点$x_c$が重心の定義なので，
\begin{align}
0&=\int_a^b \left(x- x_c\right)f(x)\,\mathrm{d}x.
\end{align}
したがって，
\begin{align}
x_c&=\frac{\int_a^b xf(x)\,\mathrm{d}x}{\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x}.
\end{align}