POINT
記法は文献[1]に従います．- 示量性と示強性の定義．
- 示量性と示強性を用いた計算テクニック．
- 示量性関数の示量変数による導関数は示強変数になる．
【関連記事】
示量性
示量性 (extensive property)
系の大きさを$\lambda$倍したときに，$\lambda$倍される性質を「示量性」と呼ぶ．
示量変数 (extensive variable)
示量性をもつ変数を「示量変数」と呼ぶ．
【例】体積，物質量
【例】体積，物質量
さらに，よく使う性質として次があります：
示量性関数の性質
ある関数$f$が「示量性」をもつとする．このとき，全ての示量変数をまとめて$X$と表し，その他の変数を$I$で表すと
【証明】\begin{aligned}
f(I;\lambda X)=\lambda f(I; X)
\end{aligned}
が成り立つ．f(I;\lambda X)=\lambda f(I; X)
\end{aligned}
系を$\lambda$倍するとき，
- 示量性変数$X$は$\lambda X$となる．
- 示量性を持つ関数$f(I; X)$は$\lambda f(I; X)$となる．
示強性
示強性 (intensive property)
系の大きさを$\lambda$倍したときに，値を変えない性質を「示強性」と呼ぶ．
示強変数 (intensive variable)
示強性をもつ変数を「示強変数」と呼ぶ．
【例】温度，圧力
【例】温度，圧力
テクニック
よく使う計算テクニックがあります．まずは，示量性関数が「1つの」示量性変数で表せる場合を考えます．
示量性関数の示量性変数による微分
示量性を持つ関数$f(I; X)$が，変数として1つの示量変数$X$と示強変数$I$に依存する場合を考える．このとき，$f(I;X)=g(I)X$と表すことができる．
【補足】これより
【証明】【補足】これより
\begin{aligned}
g(I)
=\frac{\partial f}{\partial X}(I;X)
=\frac{f(I;X)}{X}
\end{aligned}
がわかる．つまり，$f$の$X$による偏導関数と$f/X$は示強性の関数である．g(I)
=\frac{\partial f}{\partial X}(I;X)
=\frac{f(I;X)}{X}
\end{aligned}
ある示量変数の値$X_0$を固定する．このとき，関数の示量性から
\begin{aligned}
f(I;X)= \frac{X}{X_0}f(I;X_0)
\end{aligned}
と表すことができる．よって，$g(I)=f(I;X_0)/X_0$とすれば良い．//f(I;X)= \frac{X}{X_0}f(I;X_0)
\end{aligned}
【例】
1成分系のGibbsの自由エネルギー$G[T,p;N]$は示量性関数であるから，示量変数である物質量$N$に対して
\begin{aligned}
\frac{G[T,p;N]}{N}=\frac{\partial G}{\partial N}[T,p;N]
\end{aligned}
が成り立つ．これは，化学ポテンシャル$\mu(T,p)$に等しい．\frac{G[T,p;N]}{N}=\frac{\partial G}{\partial N}[T,p;N]
\end{aligned}
示量性変数が増えた場合にも，次のように拡張できます．
示量性関数の示量性変数による微分
示量性を持つ関数$f(I; X)$が，変数として複数の示量変数$X=(X_1,X_2,\cdots X_n)$と示強変数$I$に依存する場合を考える．このとき，
【証明】- 任意の$i$に対して$\dfrac{\partial f}{\partial X_i}$は示強性関数．
- $\displaystyle f(I;X)=\sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial X_k}(I; X) \cdot X_k$.
関数の示量性から
\begin{aligned}
f(I;\lambda X)=\lambda f(I; X)
\end{aligned}
が成り立つ．両辺を$X_i$で微分するとf(I;\lambda X)=\lambda f(I; X)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial X_i}(I; X)\Biggl|_{X=\lambda X} \cdot\lambda
=\lambda \frac{\partial f}{\partial X_i} (I; X)
\end{aligned}
より\frac{\partial f}{\partial X_i}(I; X)\Biggl|_{X=\lambda X} \cdot\lambda
=\lambda \frac{\partial f}{\partial X_i} (I; X)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial X_i}(I; X)\Biggl|_{X=\lambda X}
=\frac{\partial f}{\partial X_i} (I; X)
\end{aligned}
となる．つまり，偏導関数\frac{\partial f}{\partial X_i}(I; X)\Biggl|_{X=\lambda X}
=\frac{\partial f}{\partial X_i} (I; X)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial X_i}
\end{aligned}
は示強性関数である．\frac{\partial f}{\partial X_i}
\end{aligned}
また，両辺を$\lambda$で微分した
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial X_i}(I; X)\Biggl|_{X=\lambda X} \cdot X_i
=f(I; X)
\end{aligned}
の$\lambda=1$における値は\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial X_i}(I; X)\Biggl|_{X=\lambda X} \cdot X_i
=f(I; X)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial X_i}(I; X) \cdot X_i
=f(I; X)
\end{aligned}
となる．//\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial X_i}(I; X) \cdot X_i
=f(I; X)
\end{aligned}
【例】
示量性関数であるHelmholtzの自由エネルギーを示量変数$V$で偏微分すると，示強性の関数である圧力
\begin{aligned}
p(T;V,N)=-\frac{\partial F}{\partial V}[T;V,N]
\end{aligned}
が得られる．p(T;V,N)=-\frac{\partial F}{\partial V}[T;V,N]
\end{aligned}
