スターリングの公式の表式について

POINT

• スターリングの公式の異なる2つの表式の関係．

統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考察します．

スターリングの公式の2つの表式

スターリングの公式（Stirling's approximation/Stirling's formula）は，ガンマ関数（階乗）に関する公式です．物理の教科書では

\begin{aligned}
&\log N! \\
&=N(\log N-1) +O(\log N)
\tag{1}
% \label{eq:st_phys}
\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(N\rightarrow\infty)
\end{aligned}

と書かれることが多く，数学の教科書では

\begin{aligned}
\lim_{s\to \infty}\frac{\Gamma(s+1)}{\sqrt{2\pi} s^{s+1/2}e^{-s}}
=1
\tag{2}
% \label{eq:st_math}
\end{aligned}

と書かれることが多いです．

ここで，式 (1)の$O(\cdot)$はLandauの記号と呼ばれるものです ．詳しくは次の記事を参照して下さい：ランダウの記号の使い方 - Notes_JP

式 (1)の導出

式 (1)を示しましょう．以下に再掲します：

スターリングの公式

\begin{aligned}
&\log N! \\
&=N(\log N-1) +O(\log N) \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(N\rightarrow\infty)
\end{aligned}

【証明】
よく$\log x$のグラフを図示して説明されるように，以下の不等式

\begin{aligned}
& \int_1^N\log x\,\mathrm{d}x \\
& \qquad \leq\log N!=\sum_{n=1}^N\log n \\
& \qquad\qquad \leq\int_1^N\log x\,\mathrm{d}x+\log N
\end{aligned}

が成立します．

---

これは，（よく図を書いてされる説明からわかるように）ほとんどRiemann積分の定義から示されます：
区間$I$上でRiemann可積分な関数$f(x)$は

\begin{aligned}
& \sum_{k} \inf\{f(x)|x\in I_k\} \\
& \qquad \leq \int_I f(x)\,\mathrm{d}x
\leq \sum_{k} \sup\{f(x)|x\in I_k\}
\end{aligned}

を満たします（$\{I_k\}_k$は$I$の分割）．これを$f(x)=\log x$に適用すれば，最初の不等式より

\begin{aligned}
\int_1^N \log x\,\mathrm{d}x
\geq \sum_{n=1}^{N-1} \min_{[n,n+1]}\log x
=\sum_{n=1}^{N-1}\log n
\end{aligned}

が，２つ目の不等式より

\begin{aligned}
\int_1^N \log x\,\mathrm{d}x
\leq \sum_{n=1}^{N-1} \max_{[n,n+1]}\log x
=\sum_{n=1}^{N}\log n
\end{aligned}

がわかります．

---

部分積分により

\begin{aligned}
\int_1^N\log x\,\mathrm{d}x
=N(\log N-1)+1
\end{aligned}

なので，上の不等式は

\begin{aligned}
&\frac{1}{\log N} \\
&\qquad \leq\frac{\log N!-N(\log N-1)}{\log N} \\
&\qquad\qquad \leq\frac{1}{\log N}+1
\end{aligned}

と変形できます．

この式から，任意の$M>0$をfixするとき，$N>M$において

\begin{aligned}
\Biggl|\frac{\log N!-N(\log N-1)}{\log N}\Biggr|
< \frac{1}{\log M}+1
\end{aligned}

が成立することがわかりました．

よって，$O(\cdot)$の定義（ランダウの記号の使い方 - Notes_JP参照）から，式 (1)が成立します．//

2式の関係について

式 (2)から式 (1)が導かれることを示します．2つの式を再掲しておきます：

\begin{aligned}
&\log N! \\
&=N(\log N-1) +O(\log N) \tag{1}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(N\rightarrow\infty) \\
&\lim_{s\to \infty}\frac{\Gamma(s+1)}{\sqrt{2\pi} s^{s+1/2}e^{-s}}
=1
\tag{2}
\end{aligned}

証明の概要

$f(s)=\Gamma(s+1)$, $g(s)=\sqrt{2\pi} s^{s+1/2}e^{-s}$とおきます（つまり，式 (2)は$f(s)\sim g(s) \quad(s\rightarrow\infty)$と表せる）．このとき，

• $s\rightarrow\infty$において，$f(s)\sim g(s)$ $\Rightarrow \log f(s)- \log g(s)=o(1)$

が示されれば，

\begin{aligned}
&\log \Gamma(s+1) \\
&= \log \bigl[\sqrt{2\pi} s^{s+1/2}e^{-s}\bigr]+o(1) \\
&= s(\log s -1)+\frac{1}{2}\log s +\log\sqrt{2\pi}+o(1) \\
&= s(\log s -1)+O(\log s)
\end{aligned}

がわかります．特に，$s=N$（$N$は自然数）の場合には$\Gamma(N+1)=N!$となることから式 (1)が導かれます．

それでは，上の性質を導いてみましょう：
【証明】
$\displaystyle\lim_{s\to\infty} \bigl[f(s)/g(s)\bigr]=1$が成り立つとき，

\begin{aligned}
&\log f(s) - \log g(s) \\
&=\log \bigl[f(s)/g(s)\bigr]
\rightarrow 0 \qquad(s\rightarrow\infty).
\end{aligned}

なので，示された．//

付録

計算メモ

上の証明で使わなかったのですが，ちょっと面白いと思ったのでメモしておきます：

性質

$f(s)\sim g(s) \quad(s\rightarrow\infty)$, $\displaystyle\lim_{s\to\infty}|\log g(s)|=\infty$ $\Rightarrow \log f(s)\sim \log g(s)$

つまり，$log$をとっても同じ関係が保たれるということです．
【証明】
$\displaystyle\lim_{s\to\infty} \bigl[f(s)/g(s)\bigr]=1$と，$\displaystyle\lim_{s\to\infty}|\log g(s)|=\infty$により

\begin{aligned}
&\Biggl|\frac{\log f(s)}{\log g(s)}-1\Biggr| \\
&=\Biggl|\frac{\log \bigl|f(s)/g(s)\bigr|}{\log g(s)}\Biggr|
\rightarrow 0 \qquad(s\rightarrow\infty).
\end{aligned}

よって，$\log f(s)\sim \log g(s)$//