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ランダウの記号の使い方

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POINT

  • ランダウの記号は，無限小や無限大を議論する際に現れる．

微小量の高次項を表す際，$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号が現れます（カリグラフィー$\mathcal{O}$が使われることもあります）．例えば，微積分学の教科書の中には，証明の中でこの記号を積極的に使っているものがあります．また，統計力学では$O(N)$といった記号を頻繁に見かけることでしょう（$N$は粒子数）．

これらは"オーダー"と呼ばれる記号ですが，$o$と$O$では異なる意味を持ちます．また，同じ文脈で現れる記号に，漸近展開などにおいて使われる$\sim$があります．

無限小と無限大

$o(\cdot)$, $O(\cdot)$, $\sim$といった記号は，「ある点$a$において無限小・無限大となる関数」の挙動を比較する道具と言えます．ここで言う「挙動」とは，「どの程度の速さで$0$あるいは$\pm\infty$に近づくか」という性質を指します．

こうした「挙動」を調べるためには，比較したい関数$f,g$の比を取ってみれば良いはずです．そして，この比$f/g$の特徴を分類するのがLandauの記号なのです．


まずは，「無限小・無限大」といった言葉を定義しておきます：

【定義】無限小
関数$f$が$a$において無限小であるとは
\begin{aligned}
\lim_{x\to a}f(x)=0
\end{aligned}
を満たすことである．

【定義】無限大
関数$f$が$a$において正の(負の)無限大であるとは
\begin{aligned}
\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty
\end{aligned}
を満たすことである．

Landauの記号

$o(\cdot)$や$O(\cdot)$はLandauの記号と呼ばれます（注：「理論物理学教程」の著者であるLandauとは別人です）．

１．$o(\cdot)$の定義と例

【定義】$o(\cdot)$
$o(\cdot)$は以下で定義されます：
\begin{aligned}
&\;\;f=o(g)\quad(x\rightarrow a)\\
\overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}
&\;\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
=0
\end{aligned}

【例】

\begin{aligned}
x^2&=o(x)\quad(x\rightarrow0) \\
x&=o(1)\quad(x\rightarrow0)
\end{aligned}

２．$O(\cdot)$の定義と例

【定義】$O(\cdot)$
$O(\cdot)$は以下で定義されます：
\begin{aligned}
& \;\;f=O(g)\quad(x\rightarrow a)\\
\overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}&\;
{}^\exists M>0, {}^\exists V=\left\{x\,| \,0<|x-a|<\epsilon \right\} \\
&\qquad \,\mathrm{s.t.}\,
\left|\dfrac{f(x)}{g(x)}\right| < M
\quad \forall x\in V
\end{aligned}
つまり，「$a$を除く近傍で，有界となるものが存在する」ことを意味しています．

定義から，以下が成り立つことがわかります：

\begin{aligned}
1.\:&f\sim g\quad(x\rightarrow a) \\
&\Rightarrow
f=O(g)\quad(x\rightarrow a), \\
&\quad\:\:\: g=O(f)\quad(x\rightarrow a).\\
2.\:&f=o(g)\quad(x\rightarrow a) \\
&\Rightarrow
f=O(g)\quad(x\rightarrow a)
\end{aligned}

【例】
有界であれば良いので，$\sin$のような振動する関数でもOKです：

\begin{aligned}
\sin x=O(1)\quad(x\rightarrow \infty)
\end{aligned}

３．$\sim$の定義と例

【定義】$\sim$
$\sim$は以下で定義されます：
\begin{aligned}
&\;\;f\sim g\quad(x\rightarrow a)\\
\overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}&\;
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
=1
\end{aligned}

【例1】
$x\rightarrow 0$で$\sin x/x\rightarrow 1$ですから，

\begin{aligned}
\sin x\sim x\quad(x\rightarrow0).
\end{aligned}

【例2】
統計力学でよく現れるスターリングの公式は

\begin{aligned}
\Gamma(s+1)\sim\sqrt{2\pi} s^{s+1/2}e^{-s}\qquad(s\rightarrow\infty)
\end{aligned}
とあらわせます．

スターリングの公式については，次の記事も参考にして下さい：スターリングの公式の表式について - Notes_JP

漸近展開

【定義】漸近展開
$f$を$a$における無限小または無限大であるとする．条件

  1. $f=c_1 g_1+\cdots +c_n g_n +o(g_n)$$\quad (x\rightarrow a)$
  2. $k=1,...,n-1$に対し，$g_{k+1}=o(g_k)$$\quad (x\rightarrow a)$

を満たすとき，1. の式を「$f$の$\{g_k\}_{k=1}^n$による漸近展開」と呼ぶ（また，$c_1 g_1$を$f$の主要部と呼ぶ）．

【注意】
漸近展開の定義から，

\begin{aligned}
f\sim c_1 g_1\quad(x\rightarrow a)
\end{aligned}
が成立します．

漸近展開の特別な場合に，「漸近曲線」や「漸近線」があります（高校数学の内容を言い換えているだけです）．

【定義】漸近曲線・漸近線
関数$f$が$x\rightarrow+\infty$において漸近展開
\begin{aligned}
f=\varphi+o(1)
\end{aligned}
を持つとき，$\varphi$を$x\rightarrow+\infty$の近傍での漸近曲線と呼ぶ．特に，$\varphi$が1次式であるとき漸近線と言う．

【注】$x\rightarrow-\infty$の場合も同様に定義される．

例：$f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$の$x\rightarrow+\infty$における漸近展開

計算方法も含め，詳しく解説します．

まず，

\begin{aligned}
f(x)
&=\left(x^2+x+1\right)^{1/2} \\
&=x\left(1+x^{-1}+x^{-2}\right)^{1/2}
\end{aligned}
と変形できることに注意しましょう（Taylor展開の結果を知っている「$(1+\text{微小量})^{y}$の形」を作り出しています）．


この形であれば，Taylor展開（或いは一般二項定理）が利用できます：

一般二項定理
$m\in\mathbb{C},n\in\mathbb{N},|z|<1$に対し，以下が成立する：
\begin{aligned}
(1+z)^n
&=\sum_{n=0}^\infty
\begin{pmatrix}
m\\
n
\end{pmatrix}
z^n
\end{aligned}
但し，
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
m\\
n
\end{pmatrix}
&:=\dfrac{m(m-1)\cdots\left(m-(n-1)\right)}{n!} , \\
\begin{pmatrix}
m\\
0
\end{pmatrix}
&:=1 .
\end{aligned}


つまり，$g(x)=(1+x^{-1}+x^{-2})$, $h(x)=x^{-1}+x^{-2}$とするとき，十分大きな$x$に対し$|h(x)|<1$となるため，$g(x)$に対して一般二項定理が適用できます．これにより，$g$は$x^{-1}$のベキで展開できます．

今回は，$f(x)=x\cdot g(x)$を$x^{-1}$のオーダーまで漸近展開してみます．そのためには，$g$を$x^{-2}$まで展開する必要があります．


展開後の式は，Landauの記号を用いて

\begin{aligned}
g(x)=1+\frac{1}{2}h(x)-\frac{1}{8}h(x)^2+o\left(h(x)^2\right)& \\
(x\rightarrow+\infty)&
\end{aligned}
と書くことができます（この式自体も漸近展開であることにも注意しましょう）．

この式を整理すれば，

\begin{aligned}
g(x)=1+\frac{1}{2}x^{-1}+\frac{3}{8}x^{-2}+o\left(x^{-2}\right)& \\
(x\rightarrow+\infty)&
\end{aligned}
となります．

以上より，

\begin{aligned}
f(x)=x+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)& \\
(x\rightarrow +\infty)&
\end{aligned}
と漸近展開できることがわかりました．

参考文献

[1]微分積分学 (サイエンスライブラリ―数学)
[2]解析入門 Ⅰ(基礎数学2)

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