ランダウの記号の使い方


  • オーダーを表す,Landau symbol (ランダウの記号)を紹介.
  • 具体例を紹介する.


微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよく現れます(カリグラフィー$\mathcal{O}$が使われることもあります).微積分学の教科書を開けば,至る所で使われているのがわかるでしょう.

また,統計力学においては$O(N)$といった記号を頻繁に見かけます($N$は粒子数).これは"オーダー"と呼ばれる記号ですが,$o$と$O$では異なる意味を持ちます.

同じ文脈で定義されることが多い記号に,漸近展開において使われる$\sim$があります.

この記事では,これらの定義や例について紹介します.

無限小と無限大

これらの記号は,無限小・無限大と呼ばれる性質を持つ関数の振る舞いを比較するための道具です.

【定義】無限小
関数$f$が$a$において無限小であるとは \begin{align} \lim_{x\to a}f(x)=0 \end{align} を満たすことである.

【定義】無限大
関数$f$が$a$において正の(負の)無限大であるとは \begin{align} \lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty \end{align} を満たすことである.


以下で見る$o(\cdot),\,O(\cdot),\,\sim$は,「点$a$において無限小・無限大となる関数」同士の挙動を比較する道具と言えます.
ここで言う「挙動」とは,「どの程度の速さで$0$あるいは$\pm\infty$に近づくのか」ということです.

こうした「挙動」を調べるためには,比較したい関数$f,g$の比を取ってみれば良いはずです.
そして,この比$f/g$の特徴を分類するのがLandauの記号なのです.

Landauの記号

$o(\cdot)$や$O(\cdot)$はLandauの記号と呼ばれます.
(※「理論物理学教程」の著者であるLandauとは別人です)

1.$o(\cdot)$の定義と例

【定義】$o(\cdot)$
\begin{align} &\;\;f=o(g)\quad(x\rightarrow a)\\ \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} &\;\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =0 \end{align}


例:
\begin{align}
x^2=o(x)\quad(x\rightarrow0),\qquad
x=o(1)\quad(x\rightarrow0)
\end{align}



2.$O(\cdot)$の定義と例

【定義】$O(\cdot)$
\begin{align} & \;\;f=O(g)\quad(x\rightarrow a)\\ \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}&\; {}^\exists M>0, {}^\exists V=\left\{x\,| \,0<|x-a|<\epsilon \right\} \,\mathrm{s.t.}\, \left|\dfrac{f(x)}{g(x)}\right| < M \quad \forall x\in V \end{align}

つまり,「$a$を除く近傍で,有界となるものが存在する」ことを意味しています.

定義から,以下が成り立つことがわかります:
\begin{align}
&f\sim g\quad(x\rightarrow a)\Rightarrow
f=O(g)\quad(x\rightarrow a),\quad
g=O(f)\quad(x\rightarrow a)\\
&f=o(g)\quad(x\rightarrow a)\Rightarrow
f=O(g)\quad(x\rightarrow a)
\end{align}

例:
有界であれば良いので,$\sin$のような振動する関数でもOKです:
\begin{align}
\sin x=O(1)\quad(x\rightarrow \infty)
\end{align}

3.$\sim$の定義と例

【定義】$\sim$
\begin{align} &\;\;f\sim g\quad(x\rightarrow a)\\ \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}&\; \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =1 \end{align}


$x\rightarrow 0$で$\sin x/x\rightarrow 1$ですから,
\begin{align}
\sin x\sim x\quad(x\rightarrow0).
\end{align}


また,スターリングの公式は
\begin{align}
\Gamma(s+1)\sim\sqrt{2\pi} s^{s+1/2}e^{-s}\qquad(s\rightarrow\infty)
\end{align}
とあらわせます.

スターリングの公式については,次の記事も参考にして下さい:
www.mynote-jp.com

漸近展開

【定義】漸近展開
$f$を$a$における無限小または無限大であるとする.条件
  1. $f=c_1 g_1+\cdots +c_n g_n +o(g_n)\quad (x\rightarrow a)$
  2. $k=1,...,n-1$に対し,$g_{k+1}=o(g_k)\quad (x\rightarrow a)$
を満たすとき,1. の式を「$f$の$\{g_k\}_{k=1}^n$による漸近展開」と呼ぶ. (ここで,$c_1 g_1$を$f$の主要部と呼ぶ.)

注意
漸近展開の定義から,
\begin{align}
f\sim c_1 g_1\quad(x\rightarrow a)
\end{align}
が成立します.

漸近展開の特別な場合に,「漸近曲線」や「漸近線」があります.
(高校生で学ぶ知識を言い換えたに過ぎません)

【定義】漸近曲線・漸近線
関数$f$が$x\rightarrow+\infty$において漸近展開 \begin{align} f=\varphi+o(1) \end{align} を持つとき,$\varphi$を$x\rightarrow+\infty$の近傍での漸近曲線と呼ぶ. 特に,$\varphi$が1次式であるとき漸近線と言う.

$x\rightarrow-\infty$の場合も同様に定義される.

例:$f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$の$x\rightarrow+\infty$における漸近展開

計算方法も含め,詳しく解説します.

まず,
\begin{align}
\left(x^2+x+1\right)^{1/2}
&=x\left(1+x^{-1}+x^{-2}\right)^{1/2}
\end{align}
と変形できることに注意しましょう (Taylor展開を知っている,$(1+\text{微小量})^{y}$の形を作り出しています).


この形であれば,Taylor展開 (或いは一般二項定理) が利用できます:

一般二項定理
$m\in\mathbb{C},n\in\mathbb{N},|z|<1$に対し,以下が成立する: \begin{align} (1+z)^n &=\sum_{n=0}^\infty \begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} z^n\\ \begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} &:=\dfrac{m(m-1)\cdots\left(m-(n-1)\right)}{n!}\quad(n\neq0), \qquad \begin{pmatrix} m\\ 0 \end{pmatrix} :=1 \end{align}


つまり,$g(x)=(1+x^{-1}+x^{-2}),\,h(x)=x^{-1}+x^{-2}$とするとき,十分大きな$x$に対し$\left|h(x)\right|<1$であるから一般二項定理が適用できます.
これにより,$x^{-1}$のベキに展開できることがわかります.
今回は,$f$の$x^{-1}$までの漸近展開をしてみます.このとき,$g$は$x^{-2}$まで展開する必要があります.


展開後の式は,$x\rightarrow+\infty$においてLandauの記号を用いれば
\begin{align}
g(x)=1+\frac{1}{2}h(x)-\frac{1}{8}h(x)^2+o\left(h(x)^2\right) \qquad(x\rightarrow+\infty)
\end{align}
と書くことができます (この式自体も漸近展開であることにも注意しましょう).

この式を整理すれば,
\begin{align}
g(x)=1+\frac{1}{2}x^{-1}+\frac{3}{8}x^{-2}+o\left(x^{-2}\right) \qquad(x\rightarrow+\infty)
\end{align}
となります.

以上より,
\begin{align}
f(x)&=x+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\qquad(x\rightarrow +\infty)
\end{align}
と漸近展開できることがわかりました.

参考文献

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