常用対数から自然対数への変換（log10からlnへの変換）

$\log_{10} x$の導関数を計算できますか？
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常用対数から自然対数への変換

常用対数$\log_{10} x$はよく使われますが，例えば微分したいときに困ります．$\ln x = \log_{e}x$の導関数は

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln x
= \frac{1}{x}
\end{aligned}

ですが，常用対数については成り立たないからです．

まず，常用対数

\begin{aligned}
\log_{10} x
\end{aligned}

を，自然対数 $\ln x$を使って表すことを考えてみましょう．

手始めに

\begin{aligned}
\log_{10} x = y
\end{aligned}

とおくと，対数の定義から

\begin{aligned}
x = 10^{y}
\end{aligned}

です．$\ln x$が出てくる形にしたいので，両辺$\ln$をとると

\begin{aligned}
\ln x = \ln(10^{y}) = y\ln 10
\end{aligned}

となり，$y$について解くと

\begin{aligned}
y = \log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}
\end{aligned}

と，底が$e$に変換されました．

したがって，常用対数の導関数は

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \log_{10} x
&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\ln x}{\ln 10}
&= \frac{1}{x \ln 10}
\end{aligned}

と求めることができます．

一般的な底の変換

上で10を$a$，$e$を$b$と置き換えると，一般的な公式が得られます．

\begin{aligned}
\log_{a} x = y
\end{aligned}

の底を$b$に変換する公式を導いてみましょう．

まず，対数の定義から

\begin{aligned}
x =a^{y}
\end{aligned}

となり，両辺$\log_{b}$をとると

\begin{aligned}
\log_{b} x = \log_{b}(a^{y}) = y\log_{b} a
\end{aligned}

です．

したがって，$y$について解くと，底の変換公式が導かれます．

底の変換公式

\begin{aligned}
y = \log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}
\end{aligned}

一般的な微分公式

底の変換公式で，$b=e$とすると

\begin{aligned}
\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}
\end{aligned}

なので，導関数が以下であることがわかります．

対数の導関数

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \log_{a} x
&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\ln x}{\ln a}
&= \frac{1}{x \ln a}
\end{aligned}