$\log_{10} x$の導関数を計算できますか？ 常用対数から自然対数への変換 一般的な底の変換 一般的な微分公式 常用対数から自然対数への変換常用対数$\log_{10} x$はよく使われますが，例えば微分したいときに困ります．$\ln x = \log_{e}x$の導関数は\begin…

POINT 三角関数の公式は指数関数を使って導くことができる． オイラーの公式を使わない方法は，次の記事を参照してください． 三角関数と公式 - Notes_JP オイラーの公式 加法定理 和積公式 三角関数の合成 オイラーの公式指数関数を使って三角関数の公式を…

$x^{3} = 1$の解は$x = \omega, \omega^{2}, \omega^{3}( = 1)$と表せる（下図）．但し，$\omega$の選び方には図a), b)の2通りがある．さらに，図で3つのベクトルの和を考えれば，図a), b)のどちらでも\begin{aligned} \omega^{2} + \omega + 1 = 0 \end{ali…

複素数を使う：ド・モアブルの定理 加法定理を使う 回転行列を使う 複素数を使う：ド・モアブルの定理ド・モアブルの定理 - Wikipediaを使う．$e^{i3\theta} = (e^{i\theta})^{3}$だから\begin{aligned} e^{i3\theta} & = \cos 3\theta + i \sin 3\theta \\ …

三角不等式以下の関係式を「三角不等式」と呼びます：三角不等式\begin{aligned} |\vec{x}+\vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \end{aligned} 三角不等式を使うと，次の派生公式を導くことができます．\begin{aligned} |\vec{x}| &= \bigl|(\vec{x} + \vec…

POINT 二項定理のポイントは「場合の数」． 式の展開に「組み合わせ」を表す$\displaystyle {}_n\mathrm{C}_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$が現れる理由を理解することが重要． 多項定理も全く同じように理解できる． 二項定理 多項定理 二項定理二項定理\begin{ali…

POINT 三角形の重心をベクトルで表す方法． 内分点と外分点 重心 内分点と外分点2点$\rm{A}$, $\rm{B}$を結ぶ直線上の点を$\rm{P}$とするとき，\begin{aligned} \overrightarrow{\rm{OP}} &=\overrightarrow{\rm{OA}} + t\cdot\overrightarrow{\rm{AB}} \\ &…

POINT 平方完成を使うことで，2次方程式の解の公式が導ける． 「平方完成」は2次方程式を解くときだけでなく，数式を扱う際には（大学でも）よく現れます． 単なる計算テクニックなので，何度かやって慣れてしまいましょう．平方完成を使う例として，ガウス…

POINT 回転体の体積を計算する「バームクーヘン積分」を解説． 回転体の体積をバームクーヘンのような薄皮に分割して足し上げることで計算する方法は「バームクーヘン積分」と呼ばれます．英語だとShell integrationと呼ばれているようです．立体をShell（殻…

POINT 整数の最大公約数の求め方． 繰り返し2数の割り算を計算することで，最大公約数がわかる． 整数$a$と$b$の最大公約数を求める方法に「ユークリッドの互除法」と呼ばれる方法があります．名前は難しそうですが，やっていることはとても簡単です．実際，…

POINT 三角関数の公式のほとんどは，単位円やグラフを描けば導ける． 例外的に「加法定理（3つ）」だけは暗記が必要．他の公式は加法定理から簡単に計算できる． オイラーの公式を通して複素指数関数とも深い関係があります． 三角関数の公式をオイラーの公…

POINT 0.999・・・=1という式の意味について解説する． 10進法では同じ数が2通りの方法で表せることがわかる． 2進数を始め，N進数でも同じことが起こる． 0.999・・・=1という式は「正しい式」として教えられますが，納得できている人は多くないのではない…

POINT 因数分解の手順を紹介． 方法さえ理解できれば，公式を覚えずに済む． 高校に入ってすぐに因数分解の公式に苦しんだ人，結構いるんじゃないでしょうか？ この記事では，因数分解のコツを紹介します．マスターできれば，複雑な公式を覚えずに済ますこと…

POINT 関数$y=f(x)$の$x$軸，$y$軸方向の平行移動を表す方法． 波動現象（例えば，音や光）を扱う際，「速度$V$で進む波」を関数で表す必要があります．これは，「関数の平行移動」を用いて表現することができます． 関数の平行移動 x方向 y方向 波 関数の平…