POINT
- 複素数の平方根で有名な1＝−1となるパラドックスを紹介．
- 実数の平方根と異なり，符号を一意に決められないことが原因．
高校生や大学の複素解析を学んだとき，「平方根」で混乱したことはないでしょうか？一見正しそうな計算により，1＝−1 が導かれる原因について解説します．
パラドックス？
複素数の平方根を用いた，こんな計算をご存知でしょうか？\begin{aligned}
1=\sqrt{1}
=\sqrt{-1\cdot -1}
=\sqrt{-1}\sqrt{-1}
=-1
\tag{1}
% \label{eq:20160508_paradox}
\end{aligned}
1=\sqrt{1}
=\sqrt{-1\cdot -1}
=\sqrt{-1}\sqrt{-1}
=-1
\tag{1}
% \label{eq:20160508_paradox}
\end{aligned}
・・・なんと，$1=-1$が導かれてしまいました．
種明かし
そもそも，「実数の平方根ではなぜ値が一意に決まるのか」を思い出してみましょう．非負実数の平方根の定義を思い出してみる
非負の実数$a$に対しては\begin{aligned}
x^2=a
\tag{2}
% \label{eq:20160508_realsqrt}
\end{aligned}
を満たす$x\textcolor{red}{\geq0}$を$a$の平方根と呼び，$\sqrt{a}$と書く
のでした．
しかし，改めて考えてみると，$x=-\sqrt{a}$も式(2)を満たしますね．平方根の値を一意に定めるため，我々が勝手ににルールを定めているわけです．
・・・さて，複素数の平方根はこういうルールは設けていたでしょうか？このあたりに，式(1)の矛盾を解決する糸口がありそうです．
複素数の平方根の定義
複素数 $\gamma$ の平方根は$z^2=\gamma$ を満たす複素数 $z$
として定義されます(先ほどの非負整数の平方根とは違って，他に条件はありません)．
この平方根が非負整数の平方根$\sqrt{~~}$と同じ保証は無いので，複素数の平方根を${}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{~~}$と書きましょう：$z={}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{\gamma}$
さて，$z=x+iy$, $\gamma=\alpha+i\beta$ ($x,y,\alpha,\beta$は実数) とすれば$z^2=\gamma$は
\begin{aligned}
(x+iy)^2=\alpha+i\beta
% \tag{3}
%\label{eq:20160508_complexsqrt}
\end{aligned}
と書くことができます．(x+iy)^2=\alpha+i\beta
% \tag{3}
%\label{eq:20160508_complexsqrt}
\end{aligned}
この式の実部・虚部を比較し，$x^2$, $y^2$について解くと(非負整数の平方根$\sqrt{~~}$を用いて)
\begin{aligned}
x^2&=\frac{1}{2}\left(\alpha+\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\right)\\
% &\tag{4}\label{eq:20160508_xy}\\[0pt]
y^2&=\frac{1}{2}\left(-\alpha+\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\right)
\end{aligned}
となります．よって，この式から $z=x+iy$を求めることができます：x^2&=\frac{1}{2}\left(\alpha+\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\right)\\
% &\tag{4}\label{eq:20160508_xy}\\[0pt]
y^2&=\frac{1}{2}\left(-\alpha+\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\right)
\end{aligned}
- $\beta=0$の場合
- $\alpha\geq0$の場合：$({}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{\gamma}=)\,z=\pm\sqrt{\alpha}$
- $\alpha<0$の場合：$({}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{\gamma}=)\,z=\pm i\sqrt{-\alpha}$
- $\beta\neq 0$の場合\begin{aligned}
({}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{\gamma}=)\,z
=\pm\left(
\sqrt{\frac{\alpha+\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}{2}}
+i\frac{\beta}{|\beta|}\sqrt{\frac{-\alpha+\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}{2}}
\right)
\end{aligned}
以上からわかるように，これら全ての場合に対して複素数の平方根${}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{~~}$では$\pm$の符号を除くことができないのです (多価性)．
結論
以上より，式(1)は
$\sqrt{-1\cdot -1}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}$のところで，本来は等しくない2つの平方根：
- 「非負実数の意味での平方根$\sqrt{~~}$」
- 「複素数の意味での平方根${}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{~~}$」
ところがまずかったわけです．
つまり，全て「複素数の意味での平方根」を用いて計算すれば
\begin{aligned}
\pm 1
={}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{1}
={}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{-1\cdot -1}
={}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{-1}{}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{-1}
=(\pm i)(\pm i)
\end{aligned}
となり，矛盾しません (注：複合同順ではありません)．\pm 1
={}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{1}
={}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{-1\cdot -1}
={}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{-1}{}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{-1}
=(\pm i)(\pm i)
\end{aligned}
