POINT
- 因数分解の手順を紹介．
- 方法さえ理解できれば，公式を覚えずに済む．
高校に入ってすぐに因数分解の公式に苦しんだ人，結構いるんじゃないでしょうか？
この記事では，因数分解のコツを紹介します．マスターできれば，複雑な公式を覚えずに済ますことができます．
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因数分解の手順
因数分解は，以下の手順で行います：因数分解の手順
- Step1：因数定理を使う
- 多項式$f(x)$が$f(a)=0$を満たすとき，$x-a$を因数に持ちます．
- Step2：因数$(x-a)$をくくりだす
- Step3：Step1とStep2を繰り返す
では，実際に例を見てみましょう．
例：$f(x)=x^3-1$の因数分解
公式がなくても，上の手順で簡単に導けることを見てみましょう．STEP
因数定理を使う
ひと目みてすぐわかるように，$f(1)=0$ですね．よって，$x-1$を因数に持ちます．
（複雑な多項式の場合は，候補を順に代入するしかありません．但し，候補は限定できます：因数の見つけ方）
（複雑な多項式の場合は，候補を順に代入するしかありません．但し，候補は限定できます：因数の見つけ方）
STEP
因数をくくりだす
慣れていないとここが難しいかもしれません．でも，計算するコツが有るんです．
左辺は$x^3$が最大次数の項なので，$(\cdots)$の中の最大次数は
いま，因数定理から
\begin{aligned}
x^3-1=(x-1)\times(\cdots)
\end{aligned}
となることがわかっています．ここで，$(\cdots)$の中の最大次数から決めていくのがコツです．x^3-1=(x-1)\times(\cdots)
\end{aligned}
左辺は$x^3$が最大次数の項なので，$(\cdots)$の中の最大次数は
\begin{aligned}
x^3-1=(x-1)(x^2+\cdots)
\end{aligned}
となるはずです．x^3-1=(x-1)(x^2+\cdots)
\end{aligned}
右辺を展開すると$x^3-\textcolor{red}{x^2}+\cdots$となるので，左辺と一致するためには$\textcolor{red}{x^2}$が消えなければなりません．よって，次の次数は
\begin{aligned}
x^3-1=(x-1)(x^2+x+\cdots)
\end{aligned}
であることがわかります．x^3-1=(x-1)(x^2+x+\cdots)
\end{aligned}
同様に，右辺は$x^3-\textcolor{red}{x}$となるので，$\textcolor{red}{x}$が消えるように定数を決めると，
\begin{aligned}
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
\end{aligned}
と全ての項を求めることができました．x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
\end{aligned}
STEP
Step1とStep2を繰り返す
（実数の範囲では）$x^2+x+1=0$の解はありませんから，因数分解終了です！
【補足：虚根まで考える場合】
2次方程式の解の公式を使えば，2つの解が求められます．
そのうち一つの解を$\alpha$としましょう：$\alpha^2+\alpha+1=0$
方程式の係数が実数なので，$\alpha$の複素共役$\bar{\alpha}$も解となります（実際，両辺の複素共役を取れば，$\bar{\alpha}^2+\bar{\alpha}+1=0$）．
以上より，$x^2+x+1=(x-\alpha)(x-\bar{\alpha})$と因数分解できます．
応用
練習問題
$x^3+1$, $x^5\pm1$なども同じ方法で計算できます．上の方法をマスターすれば，公式を覚える必要はありません！これまで公式として覚えてきたものも，簡単に導出できることを確かめてみて下さい．
因数の見つけ方
整数を係数とする多項式\begin{aligned}
f(x)=
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0,\qquad(a_n,a_0\neq0)
\end{aligned}
の因数分解を考えましょう．有理数の因数を見つける方法について調べてみます．f(x)=
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0,\qquad(a_n,a_0\neq0)
\end{aligned}
この式が因数$p/q$ ($p,q$は互いに素な整数)を持つとすれば，$f(p/q)=0$ですから
\begin{aligned}
0&=a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_1pq^{n-1}+a_0q^n\\
&=p\left(a_n p^{n-1}+\cdots +a_1q^{n-1}\right)+a_0q^n
\tag{1}
% \label{eq:a0}
\end{aligned}
0&=a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_1pq^{n-1}+a_0q^n\\
&=p\left(a_n p^{n-1}+\cdots +a_1q^{n-1}\right)+a_0q^n
\tag{1}
% \label{eq:a0}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&=a_np^n+q\left(a_{n-1}p^{n-1}+\cdots + a_0q^{n-1}\right)
\tag{2}
% \label{eq:an}
\end{aligned}
となります．従って，$p,q$が互いに素であることから
&=a_np^n+q\left(a_{n-1}p^{n-1}+\cdots + a_0q^{n-1}\right)
\tag{2}
% \label{eq:an}
\end{aligned}
- 式(1)から$p$は$a_0$の約数
- 式(2)から$q$は$a_n$の約数
であることがわかります．
以上をまとめると
因数の候補
整数を係数とする多項式
\begin{aligned}
f(x)=
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0,\qquad(a_n,a_0\neq0)
\end{aligned}
を考える．既約な有理数$p/q$に対し$f(p/q)=0$となるならば，
- $p$は$a_0$の約数
- $q$は$a_n$の約数
等比数列の和の公式
初項$a_0$，公比$r$の等比数列$\{a_n\}$（$a_n=a_0r^n$）の和は\begin{aligned}
\sum_{k=0}^n a_n
=a_0 \frac{1-r^n}{1-r}
\end{aligned}
で与えられます．\sum_{k=0}^n a_n
=a_0 \frac{1-r^n}{1-r}
\end{aligned}
これは，以下のように書き直せば，上で計算した$x^3-1$の因数分解の一般化になっていることがわかります：
\begin{aligned}
r^n-1=(r-1)(r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots +1).
\end{aligned}
r^n-1=(r-1)(r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots +1).
\end{aligned}
