ポテンシャルエネルギーの求め方

POINT

• 位置エネルギーや電位を求める方法の解説．
• 基準点まで「自分が」する仕事量を計算する方法と，基準点から「外力が」する仕事量を計算する方法がある．
• 例として，一様重力場とクーロン場におけるポテンシャルエネルギーを計算する．

以下のような，ポテンシャルエネルギーに関する問題：

• 力学で「位置エネルギー」を求める問題
• 電磁気学で「電位」を求める問題

で困っている人は，この記事でイメージが湧くようになるかもしれません！

２つの考え方

位置$\boldsymbol{r}$で物体に働く力$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$が与えられている（*1）ときに，位置$\boldsymbol{x}$でのポテンシャルエネルギーを求めるときの考え方は２つあります．

ポテンシャルエネルギーを計算する2つの考え方

1. ポテンシャルエネルギーの基準点$\boldsymbol{x}_0$から位置$\boldsymbol{x}$まで物体を移動させる際に，「外から自分が」する仕事を計算する
2. 物体が位置$\boldsymbol{x}$から基準点$\boldsymbol{x}_0$まで移動する際に，「外力から」される仕事を計算する（ポテンシャルエネルギーを放出させる）

2つの方法は，どちらも「エネルギー保存則」を利用してポテンシャルエネルギーを計算しています．
そして当然，両者の計算結果は一致します．

例えば，山のふもとを$\boldsymbol{x}_0$，頂上を$\boldsymbol{x}$として重力場の位置エネルギーを考えるとき，

• 1. は山のふもとから頂上まで物体を持っていくときに自分がする仕事を調べる方法
• 2. は山の頂上から物体を落として，どれだけのエネルギーを放出するかを調べる方法

というイメージです．

以下で詳しく見てみましょう．

１つ目の考え方：外から「自分が」仕事をする

この考え方で注意しなければいけないのは，「仕事をするのは自分」であるという点です．つまり，「自分」にかかる力を用いて仕事を計算する必要があります．

作用・反作用の法則から自分にかかる力は$\tilde{\boldsymbol{F}}(\boldsymbol{r})=-\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$ なので，ポテンシャルエネルギーは

\begin{aligned}
U(\boldsymbol{x})
=\int_{\boldsymbol{x_0}}^{\boldsymbol{x}}
\tilde{\boldsymbol{F}}(\boldsymbol{r})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}
=\int_{\boldsymbol{x_0}}^{\boldsymbol{x}}
(-\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}))\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}
\end{aligned}

となります．

外から「自分が」仕事をする

２つ目の考え方：物体に位置エネルギーを放出させる

物体に位置エネルギーを放出させるというのは，物体が基準点に移動するまでに外力からされる仕事量を計算するということです．このとき，

• １つ目の考え方とは積分経路が逆になる

ことに注意しましょう．

したがって，ポテンシャルエネルギーは

\begin{aligned}
U(\boldsymbol{x})
=\int_{\boldsymbol{x}}^{\boldsymbol{x_0}}
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}
\end{aligned}

と計算できます．

物体に位置エネルギーを放出させる

例

上の２つの方法で，具体例の計算をしてみましょう．

一様重力場

重力加速度$g$の一様重力場中にある質量$m$の物体を考えましょう．
鉛直上方向を正とすると，物体には$-mg$の力が働きます．

基準点からの高さを$h$とすれば，位置エネルギーが$mgh$で表わされることは知っていますね．

これを上の２つの考え方で見てみましょう．

１つ目の考え方は「高さ$h$まで物体を持ち上げるまでに自分がした仕事が，物体のポテンシャルエネルギーになる」という立場です．

一方で２つ目の考え方は「高さ$h$にある物体を基準点まで自由落下させたときに，重力からされた仕事が始めに持っていたポテンシャルエネルギーである」という立場です．

簡単ですね．

クーロン力

電荷$q_1$が原点に置かれているとき，位置$\boldsymbol{r}$にある電荷$q_2$には力

\begin{aligned}
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\frac{\boldsymbol{r}}{r}
\end{aligned}

が働きます (但し，$r=|\boldsymbol{r}|$)．

では，ポテンシャルエネルギーの基準点を無限遠にとり，$q_2$のポテンシャルエネルギーを２つ目の方法で求めてみましょう：

\begin{aligned}
U(\boldsymbol{r})
&=\int^{\infty}_{\boldsymbol{r}}
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}^\prime)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}^\prime \\
&=\int^{\infty}_{r} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^{\prime 2}}\mathrm{d}r^\prime \\
&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r}
\end{aligned}

最後に

もう，ここまでわかってしまえば，コンデンサーの電位を求める問題だって同じです．

*1:もちろん，保存力であるわけですが