球面波

POINT

  • 波動方程式の球面波解は,1次元波動方程式に帰着して求められる.

球面波

球面波
3次元波動関数
\begin{aligned}
\biggl(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta\biggl) \phi(\boldsymbol{x},t)=0
\end{aligned}
の解で,
\begin{aligned}
\phi(\boldsymbol{x},t)=u(r,t),\quad(r=|\boldsymbol{x}|)
\end{aligned}
の形となるもの(球面波)は任意関数$h,g$を用いて
\begin{aligned}
u(r,t)=\frac{1}{r}h(r-ct)+\frac{1}{r}g(r+ct)
\end{aligned}
で与えられる.
【証明】
極座標のラプラシアン
極座標のラプラシアン (Laplacian)
\begin{aligned}
\Delta u
&= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\biggl(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \biggr) \\
&\quad
+\frac{1}{r^2}\biggl[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\biggl(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \biggr)
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2}
\biggr]
\end{aligned}
により,波動方程式は
\begin{aligned}
&\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
-\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} ( ru )
=0 \\
&\Leftrightarrow
\biggl(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}
-\frac{\partial^2}{\partial r^2}\biggr) ( ru )
=0
\end{aligned}
となる.これは,1次元の波動方程式になっている.ここで,$r$の微分に関する項が
\begin{aligned}
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\biggl(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \biggr)
&=\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial r} \\
&=\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} ( ru )
\end{aligned}
と表せることを用いた.

よって,1次元波動方程式のダランベールの解より

\begin{aligned}
ru(r,t)=h(r-ct)+g(r+ct)
\end{aligned}
が成り立つ.//

参考文献

[1]現代数学への入門 熱・波動と微分方程式:$\S 4.1$「波動方程式の初期値問題」
[2]振動・波動 (基礎物理学選書 (8)):$\S 6.4$「3次元空間の波」
[3]場の古典論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程):$\S 62.$「遅延ポテンシャル」