発散・ラプラシアンの計算法(極座標・円筒座標)

POINT

  • 面倒な偏微分の計算(連鎖率・チェーンルール・合成関数の微分)無しでラプラシアンを計算する方法.
  • 極座標・円筒座標の発散・ラプラシアンを数行で計算できる.
  • 曲線座標系への一般化はこちら

一般論(曲線座標系)における複雑な議論を徹底的に避けました(計算方法は同じ).極座標・円筒座標についての計算方法だけを知りたい方は,この記事だけを読めば十分です.

【前提知識】

  • ヤコビアンの計算方法.
  • ガウスの発散定理.

導出の方針

極座標のラプラシアンを導出する場合を例に方針を説明します.


  • $\psi(x,y,z)$:ある(有限な)領域の外では$0$になるような任意関数

に対して
\begin{align}
&\int \psi\left(\color{red}{
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
} \right)
\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\
&=\cdots \\
&=\int \psi\left(\color{red}{\text{極座標の変数の式}} \right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
\end{align}
と変形できれば($\psi$が任意関数であることから)
\begin{align}
&\color{red}{ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} } \\
&=\left(\color{red}{\text{極座標の変数の式}} \right)
\end{align}
であることがわかります.この式は,

(極座標のラプラシアン)=(極座標の変数の式
を意味しています.

【極座標】勾配・発散・ラプラシアン

極座標のナブラは

$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} = \boldsymbol{e}_r \frac{\partial}{\partial r} +\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} +\boldsymbol{e}_\phi \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi} $

なので,

極座標の勾配 (gradient)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\psi = \boldsymbol{e}_r \frac{\partial \psi}{\partial r} +\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} +\boldsymbol{e}_\phi \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \psi}{\partial \phi} \end{align}



まずベクトル解析の公式
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}\cdot \left( \psi \boldsymbol{A}\right)
= \boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A}
+\psi\left( \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right)
\end{align}
を使って以下の式を計算すると

\begin{align} &\int \psi\left(\color{red}{\mathrm{div\,} \boldsymbol{A}} \right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\ &=\int \psi\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\ &=-\int \boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z +\underset{=0}{\underline{\int \boldsymbol{\nabla}\cdot \left( \psi \boldsymbol{A}\right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z }}\\ &=-\int\left[\frac{\partial \psi}{\partial r}A_r +\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}A_\theta +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \phi}A_\phi \right] r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi \end{align}

となります.但し,以下の操作を行いました:

  1. Gaussの発散定理を用いて,表面項を落とした(仮定から,十分大きな曲面$S$を取れば,$S$の上で$\psi=0$となるようできる): \begin{align} \int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot \left( \psi \boldsymbol{A}\right)\,\mathrm{d}V =\int_S \psi \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} =0 \end{align}
  2. ベクトルの極座標の成分を使った:$\boldsymbol{A}= A_r \boldsymbol{e}_r +A_\theta \boldsymbol{e}_\theta+A_\phi \boldsymbol{e}_\phi$.
  3. 極座標に変数変換した:$(x,y,z)\rightarrow (r,\theta,\phi)$,$\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=r^2\sin\theta \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$

さらに

  1. 各項について部分積分を行い,$\psi$から微分を移す
  2. $x,y,z$に変数変換を行う$\displaystyle\left( \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi=\frac{1}{r^2\sin\theta}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\right)$

ことで,次の式に変形できます:

\begin{align} &=\int\psi\color{red}{\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\sin\theta A_r\right) +\frac{\partial}{\partial \theta}\left(r\sin\theta A_\theta\right) +\frac{\partial}{\partial \phi}\left(r A_\phi\right) \right]\frac{1}{r^2\sin\theta}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z. \end{align}


ここで$\psi$は任意関数であることから ,赤字同士が等しくなります【補足】∫(ψ・f)=0(ψは任意関数)⇒f=0となる理由):

極座標の発散 (divergence)
$ \mathrm{div\,} \boldsymbol{A} =$$\displaystyle \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 A_r\right) $$\displaystyle +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta A_\theta\right) $$\displaystyle +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} $




ラプラシアンは$\boldsymbol{\Delta\,}u=\mathrm{div\,}\left(\mathrm{grad\,}u\right)$です.したがって,発散の計算で$\boldsymbol{A}$を$\mathrm{grad\,}u=\boldsymbol{\nabla}u$に置き換えれば,ラプラシアンを導くことができます.つまり,上で求めた表式に$\displaystyle \; A_r=\frac{\partial u}{\partial r}$,$\displaystyle A_\theta=\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}$,$\displaystyle A_\phi=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial u}{\partial \phi}\;$を代入すればよく,

極座標のラプラシアン (Laplacian)
$ \boldsymbol{\Delta\,}u $$\displaystyle = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) $$\displaystyle +\frac{1}{r^2}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2} \right] $

【円筒座標】勾配・発散・ラプラシアン

極座標の場合と全く同様の方法で導くことができます.

円筒座標のナブラは

$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} = \boldsymbol{e}_r \frac{\partial}{\partial r} +\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} +\boldsymbol{e}_z \frac{\partial}{\partial z} $

であることから,

円筒座標の勾配 (gradient)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\psi = \boldsymbol{e}_r \frac{\partial \psi}{\partial r} +\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} +\boldsymbol{e}_\phi \frac{\partial \psi}{\partial z} \end{align}




発散・ラプラシアンも極座標の場合とまったく同様に計算できます.丁寧に見てみましょう.

\begin{align} &\int \psi\left(\color{red}{\mathrm{div\,} \boldsymbol{A}} \right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\ &=\int \psi\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\ &=-\int \boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z +\underset{=0}{\underline{\int \boldsymbol{\nabla}\cdot \left( \psi \boldsymbol{A}\right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z }}\\ &=-\int\left[ \frac{\partial \psi}{\partial r} A_r + \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} A_\theta + \frac{\partial \psi}{\partial z} A_z \right] r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z\\ &=\int \psi \color{red}{\left[ \frac{\partial }{\partial r} \left(r A_r \right) + \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + r \frac{\partial A_z}{\partial z} \right] \frac{1}{r}} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \end{align}

ここで$\psi$は任意関数であることから ,以下が成立します【補足】∫(ψ・f)=0(ψは任意関数)⇒f=0となる理由):

円筒座標の発散 (divergence)
\begin{align} \mathrm{div\,} \boldsymbol{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r A_r\right) +\frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} +\frac{\partial A_z}{\partial z} \end{align}




発散の計算で$\boldsymbol{A}$を$\boldsymbol{\nabla}u$に置き換えれば,ラプラシアンを導くことができます.つまり,上で求めた表式に$\;\displaystyle A_r=\frac{\partial u}{\partial r}$,$\displaystyle A_\theta=\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}$,$\displaystyle A_z=\frac{\partial u}{\partial z}\;$を代入することにより,以下が導かれます:

円筒座標のラプラシアン (Laplacian)
\begin{align} \boldsymbol{\Delta\,}u = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u}{\partial r} \right) +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \end{align}

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