時間平均

時間平均
POINT

  • 関数の時間平均について.
  • 時間的に周期性を持つ関数の長時間平均はゼロになる.

時間平均

時間平均
時間を変数とする関数$f$の「時間平均」を
\begin{align}
\langle f\rangle
=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t
\end{align}で定める.特に,「長時間平均」を
\begin{align}
\langle f\rangle
=\lim_{T\to \infty}\frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t
\end{align}で定める.

$N$個のりんごの質量がそれぞれ$M_1,...,M_N$であるとき,平均の質量を
\begin{align}
M=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N M_i
\end{align}とするのと同じ考え方です.

周期関数

周期$T_{\mathrm{p}}$の関数$f$を考えます.つまり,$f(t+T_{\mathrm{p}})=f(t)$が成立するとします.
周期関数の「長時間平均」
周期関数$f$に対して
\begin{align}
\langle f\rangle
&=\lim_{T\to \infty}\frac{1}{T} \int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t\\
&=0
\end{align}が成立する.
直感的に言えば,周期性で打ち消さない部分は長い時間平均すれば寄与が小さくなるということです.以下の証明はそれを計算で表したに過ぎません.

【証明】
積分区間$[0,T]$の中に$N(T)$周期が含まれているとします.つまり,$N(T)$は「$0\leq T-N(T)\cdot T_{\mathrm{p}} \leq T_{\mathrm{p}}$」を満たす整数です.

このとき,1周期の時間積分がゼロとなることから
\begin{align}
\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t
&=\int_{T-N(T)\cdot T_{\mathrm{p}}}^T f(t)\,\mathrm{d}t\\
\end{align}が成り立ちます.関数$|f|$の最大値を$\mathrm{Max\,} (|f|)<\infty$とすれば
\begin{align}
&\Biggl| \frac{1}{T} \int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t \Biggr| \\
&\leq \frac{1}{T} \cdot |T-N(T)\cdot T_{\mathrm{p}}| \cdot \mathrm{Max\,} (|f|) \\
&\leq \frac{1}{T} \cdot T_{\mathrm{p}}\cdot \mathrm{Max\,} (|f|) \\
&\rightarrow 0 \quad(T\rightarrow\infty)
\end{align}となることがわかります.//

実効値

実効値
時間を変数とする関数$f$の「実効値」を
\begin{align}
f_{\mathrm{rms}}
&=\sqrt{\langle f^2 \rangle} \\
&=\sqrt{\lim_{T\to \infty} \frac{1}{T}\int_0^T f^2(t)\,\mathrm{d}t}
\end{align}で定める.

例えば,$f(t)=\sin(\omega t+\delta(x))$に対して$f_{\mathrm{rms}}=1/\sqrt{2}$となります:
\begin{align}
&\langle \sin^2(\omega t+\delta(x)) \rangle \\
&=\cos^2\delta(x) \langle \sin^2(\omega t) \rangle
+\sin^2\delta(x) \langle \cos^2(\omega t) \rangle \\
&\quad+\sin\delta(x)\cos\delta(x) \langle 2\sin(\omega t)\cos(\omega t) \rangle \\
&=\cos^2\delta(x) \biggl\langle \frac{1-\require{cancel}\cancel{\cos(2\omega t)}}{2} \biggr\rangle \\
&\quad+\sin^2\delta(x) \biggl\langle \frac{1+\cancel{\cos(2\omega t)}}{2} \biggr\rangle\\
&\quad+\frac{1}{2}\sin(2\delta(x)) \cancel{\langle \sin(2\omega t) \rangle} \\
&=\frac{1}{2}
\end{align}

途中計算では加法定理や半角・2倍角の公式を使いました(参考:三角関数と公式 - Notes_JP).また,上で導いたように周期関数の時間平均はゼロとなるので$\langle\sin(2\omega t) \rangle=\langle\cos(2\omega t) \rangle=0$となります.