時間平均

時間平均
POINT

  • 関数の時間平均について.
  • 時間的に周期性を持つ関数の長時間平均はゼロになる.

時間平均

時間平均
時間を変数とする関数$f$の「時間平均」を
\begin{align}
\langle f\rangle
=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t
\end{align}で定める.特に,「長時間平均」を
\begin{align}
\langle f\rangle
=\lim_{T\to \infty}\frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t
\end{align}で定める.
【解説】
$N$個のりんごの質量がそれぞれ$M_1,...,M_N$であるとき,平均の質量を
\begin{align}
M=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N M_i
\end{align}とするのと同じ考え方です.

周期関数

周期$T_{\mathrm{p}}$の関数$f$を考えます.つまり,$f(t+T_{\mathrm{p}})=f(t)$が成立するとします.周期関数の「長時間平均」は,「1周期$T_{\mathrm{p}}$」での時間平均に等しくなることがわかります.
周期関数の「長時間平均」
周期関数$f$に対して
\begin{align}
\langle f\rangle
&=\lim_{T\to \infty}\frac{1}{T} \int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t\\
&=\frac{1}{T_{\mathrm{p}}}\int_0^{T_{\mathrm{p}}} f(t)\,\mathrm{d}t
\end{align}が成立する.
これは,
\begin{align}
\langle f-\bar{f}\rangle
&=\lim_{T\to \infty}\frac{1}{T} \int_0^T [f(t)-\bar{f}] \,\mathrm{d}t =0 \\
&\Biggl( \bar{f}
=\frac{1}{T_{\mathrm{p}}}\int_0^{T_{\mathrm{p}}} f(t)\,\mathrm{d}t \Biggr)
\end{align}と表すこともできます.

直感的に言えば,「周期からはみ出る余り」の部分は,長い時間平均すれば寄与が小さくなるということです.このことを式で示したのが次の証明です.

【証明】
積分区間$[0,T]$の中に$N(T)$周期が含まれているとします.つまり,$N(T)$は
\begin{align}
0\leq T-N(T)\cdot T_{\mathrm{p}} \leq T_{\mathrm{p}}
\end{align}を満たす整数です.

このとき,
\begin{align}
\bar{f}
&=\frac{1}{T_{\mathrm{p}}}\int_0^{T_{\mathrm{p}}} f(t)\,\mathrm{d}t
\end{align}とすれば,$\displaystyle \int_0^{T_{\mathrm{p}}} [f(t)-\bar{f}] \,\mathrm{d}t=0$であり,$f(t)-\bar{f}$は周期$T_{\mathrm{p}}$の関数なので
\begin{align}
&\Biggl| \frac{1}{T} \int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t - \bar{f}\Biggr| \\
&=\Biggl| \frac{1}{T} \int_0^T [f(t) - \bar{f}] \,\mathrm{d}t \Biggr| \\
&=\Biggl| \frac{1}{T} \int_{N(T)\cdot T_{\mathrm{p}}}^T [f(t)-\bar{f}] \,\mathrm{d}t \Biggr| \\
&\leq \frac{1}{T}\cdot [T-N(T)\cdot T_{\mathrm{p}}]\cdot \mathrm{Max\,} [f(t)-\bar{f}] \\
&\leq \frac{T_{\mathrm{p}}}{T} \mathrm{Max\,} [f(t)-\bar{f}] \\
&\rightarrow 0 \quad(T\rightarrow\infty)
\end{align}となります.//

実効値

実効値
時間を変数とする関数$f$の「実効値」を
\begin{align}
f_{\mathrm{rms}}
&=\sqrt{\langle f^2 \rangle} \\
&=\sqrt{\lim_{T\to \infty} \frac{1}{T}\int_0^T f^2(t)\,\mathrm{d}t}
\end{align}で定める.
【解説】
例えば,$f(t)=\sin(\omega t+\delta(x))$に対して$f_{\mathrm{rms}}=1/\sqrt{2}$となります:
\begin{align}
&\langle \sin^2(\omega t+\delta(x)) \rangle \\
&=\cos^2\delta(x) \langle \sin^2(\omega t) \rangle
+\sin^2\delta(x) \langle \cos^2(\omega t) \rangle \\
&\quad+\sin\delta(x)\cos\delta(x) \langle 2\sin(\omega t)\cos(\omega t) \rangle \\
&=\cos^2\delta(x) \biggl\langle \frac{1-\require{cancel}\cancel{\cos(2\omega t)}}{2} \biggr\rangle \\
&\quad+\sin^2\delta(x) \biggl\langle \frac{1+\cancel{\cos(2\omega t)}}{2} \biggr\rangle\\
&\quad+\frac{1}{2}\sin(2\delta(x)) \cancel{\langle \sin(2\omega t) \rangle} \\
&=\frac{1}{2}
\end{align}

途中計算では加法定理や半角・2倍角の公式を使いました(参考:三角関数と公式 - Notes_JP).また,上で導いた結果から,$\sin$や$\cos$の時間平均はゼロとなるので$\langle\sin(2\omega t) \rangle=\langle\cos(2\omega t) \rangle=0$となります.