0.999・・・=1の意味

POINT

• 0.999・・・=1という式の意味について解説する．
• 10進法では同じ数が2通りの方法で表せることがわかる．
• 2進数を始め，N進数でも同じことが起こる．

0.999・・・=1という式は「正しい式」として教えられますが，納得できている人は多くないのではないでしょうか．実は，10進法の定義に戻ると「同じ数の表示方法が2種類ある」ということがわかるのです．

0.999・・・=1の意味

0.999・・・=1との出会い

あれは小学生のころ．．．それとも中学生のときでしょうか．

\begin{aligned}
0.999\cdots =1
\tag{1}
% \label{eq:0.999=1}
\end{aligned}

という式に出会いました．

学校で先生に習ったのか，友達に教えてもらったのか．．．
あるいは「数の悪魔」という本で読んだのが最初だったのかもしれません．

普及版 数の悪魔―算数・数学が楽しくなる12夜

とにかく，私はこの式に悩まされ続けました．
最初に「解決したことにした」のは高校生のとき，極限の授業でのことでした．
無限等比級数の公式を使って

\begin{aligned}
\sum_{k=1}^\infty\frac{9}{10^k}=1
\end{aligned}

を導いたのです．

・・・しかし，「解決したことにした」と書いたように，心の中はモヤモヤとしていました．

というのも，上では

\begin{aligned}
\text{「$0.999\cdots$とは$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{9}{10^k}$である」}
\end{aligned}

としているわけですが，これが天下り的に与えられたようにしか思えなかったのです．

いったい，どこのだれが「$0.999\cdots$とは$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{9}{10^k}$である」であることを保証してくれているのでしょう？

実数の表し方 (10進法)

この問題の解決には，実数を表記するルールに立ち戻る必要があります．
つまり，「10進法とは何か」を思い出さなくてはなりません．

私達が実数を表すのに用いる「10進法」とは以下のように実数を表記するルールでした：

10進法の定義

級数

\begin{aligned} \sum_{k=-\infty}^N a_k 10^k \qquad(a_k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) \end{aligned}

で表される実数があるとき，

\begin{aligned} a_N a_{N-1}\cdots a_1 a_0.a_{-1}a_{-2}\cdots \end{aligned}

と記す(.は小数点)．

小学校では$a_k$を「$10^k$の位」と呼び，$a_{-k}$を「小数点第$k$位」と呼ぶのだと教わりましたね！

したがって，

\begin{aligned}
\text{「$0.999\cdots$とは$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{9}{10^k}$である」}
\end{aligned}

とは，「10進法（の定義）」が保証してくれていたのです．

0.999・・・=1の意味

以上より，式(1)は

実数1を10進数で表す場合，$0.999\cdots$と$1.000\cdots$の2通りがある・・・(※)

ことを表していることがわかりました．

これは「実数"1"を10進法で表すと，2通りの表記がある」とを言っているに過ぎないわけです．
（これを，「過ぎない」と思えるかはは人それぞれかもしれませんが．．．）

・・・納得できたでしょうか？

(※)の確認
一応，上の(※)を確かめてみましょう．
そのためには

\begin{aligned}
1
&=\sum_{k=-\infty}^{-1} 9\cdot 10^k
\tag{2}
% \label{eq:1=0.999}
\end{aligned}

\begin{aligned}
1
&=1\cdot 10^0+\sum_{k=-\infty}^{-1} 0\cdot 10^k
\tag{3}
% \label{eq:1=1.000}
\end{aligned}

の2つを示せばOKです．
式(3)は明らかです．
式(2)は，右辺の無限等比級数（初項0.9, 公比0.1）を計算すれば1になることがわかります．//

2進数でも同じことが起きる！

2進数の定義

コンピュータで重要である2進数も同様で，
級数

\begin{aligned}
\sum_{k=-\infty}^N a_k 2^k
\qquad(a_k=0,1)
\end{aligned}

で表される実数を

\begin{aligned}
a_N a_{N-1}\cdots a_1 a_0.a_{-1}a_{-2}\cdots
\end{aligned}

と記すのが2進数です．

2進数で"1"を2通りの方法で表す

10進数における「$0.999\cdots=1.000\cdots$」のようなことは，当然$N$進数で共通して起こります．
例えば，

\begin{aligned}
\sum_{k=-\infty}^{-1}1\cdot 2^k
=1
\end{aligned}

であることから，2進数で実数1は$0.111\cdots$と$1.000\cdots$の2通りで表わされることになります．

$N$進数でも同じことが起きる！

10進数，2進数と全く同様です．
練習問題：$N$進数において，実数1を2通りの方法で表してみましょう．
【ヒント】

\begin{aligned}
\sum_{k=-\infty}^{-1} N^{k}
&= \sum_{k=1}^{\infty} \biggl(\frac{1}{N} \biggr)^{k} \\
&= \frac{1/N}{1-(1/N)} \\
&=\frac{1}{N - 1}
\end{aligned}