曲面積の求め方

POINT

  • 定義さえ理解すれば,派生公式なしで計算が可能.
  • 具体例として,回転体の表面積などの派生公式を導く.

この記事を読めば,曲面積の定義式さえ理解しておけば,派生公式を覚える必要はないことがわかります!
具体例を交えながら見ていきましょう.

曲面積の定義

まずは,曲面積がどのように定義されるか見てみましょう.

パラメータ$\boldsymbol{u}=(u,v)\in\Omega$で定義される曲面

\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
X(u,v)\\
Y(u,v)\\
Z(u,v)
\end{pmatrix}
\end{aligned}
の曲面積を求めることを考えます.ここで,
\begin{aligned}
\boldsymbol{X}(\boldsymbol{u})
=
\begin{pmatrix}
X(u,v)\\
Y(u,v)\\
Z(u,v)
\end{pmatrix}
\end{aligned}
と書くことにします.

曲面積は,微小な平行四辺形の面積

\begin{aligned}
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial u}(\boldsymbol{u})\,\mathrm{d}u
\times
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial v}(\boldsymbol{u})\,\mathrm{d}v
\end{aligned}
を足し上げたものとして定義されます:
曲面積の定義式
\begin{align}
\iint_{\Omega}
\Biggl|
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial u}(\boldsymbol{u})
\times
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial v}(\boldsymbol{u})
\Biggr|
\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v
\label{eq:surf_area}
\tag{1}
\end{align}

【参考】
ここで,

\begin{aligned}
\biggl[
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial u}
\times
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial v}
\biggr]_i
=\epsilon_{ijk}\partial_u X_j \partial_v X_k
\end{aligned}
であることから,縮約公式を用いて
\begin{aligned}
&\Biggl|
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial u}(\boldsymbol{u})
\times
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial v}(\boldsymbol{u})
\Biggr| \\
&=
\sqrt{
\epsilon_{ijk}\partial_u X_j \partial_v X_k\cdot \epsilon_{ilm}\partial_u X_l \partial_v X_m
} \\
&=
\sqrt{
(\partial_u \boldsymbol{X}\cdot \partial_u \boldsymbol{X})(\partial_v \boldsymbol{X}\cdot \partial_v \boldsymbol{X})
-
(\partial_u \boldsymbol{X}\cdot \partial_v \boldsymbol{X})^2
}
\end{aligned}
と表すこともできます.//

以下「派生公式」で見るように,曲面積の定義式(\ref{eq:surf_area})から,よく知られた公式を導くことができます.

派生公式

上の式(\ref{eq:surf_area})から,他の公式が簡単に導出されます.

球の表面積

定義に従って,「半径$a$の球の表面積:$4\pi a^2$」を導出しましょう.相似比の考え方を用いて,単位球の表面積を$a^2$倍するほうがラクですが,ここでは直接計算してみます.

極座標に変数変換します.つまり

\begin{aligned}
\boldsymbol{X}(\theta,\phi)
&=
\begin{pmatrix}
x(\theta,\phi) \\
y(\theta,\phi) \\
z(\theta,\phi)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a\sin\theta \cos\phi \\
a\sin\theta \sin\phi \\
a\cos\theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}
です.したがって
\begin{aligned}
&\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \theta}
\times
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \phi} \\
=&
\begin{pmatrix}
a\cos\theta \cos\phi \\
a\cos\theta \sin\phi \\
-a\sin\theta
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
-a\sin\theta \sin\phi \\
a\sin\theta \cos\phi \\
0
\end{pmatrix} \\
=&
\begin{pmatrix}
a^2\sin^2\theta \cos\phi \\
a^2\sin^2\theta \sin\phi \\
a^2\sin\theta \cos\theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}
となり,
\begin{aligned}
&
\Biggl|
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \theta}
\times
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \phi}
\Biggr|^2 \\
=&a^4 (\sin^4\theta+\sin^2\theta \cos^2\theta ) \\
=& a^4\sin^2\theta
\end{aligned}
です(最後の等式は$\cos^2=1-\sin^2\theta$を使う).それでは,上半球面を2倍することで計算してみましょう:
\begin{aligned}
&2
\int\int_{[0,\pi/2]\times [0,2\pi]}
\Biggl|
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \theta}
\times
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \phi}
\Biggr|
\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi \\
=&2 \int_0^{2\pi} \,\mathrm{d}\phi\, \int_0^{\pi/2} a^2\sin\theta \,\mathrm{d}\theta \\
=&4\pi a^2\left[-\cos\theta \right]_{0}^{\pi/2} \\
=&4\pi a^2
\end{aligned}
となり,よく知られた公式が導かれました.//

グラフの曲面積($X=x$, $Y=y$, $Z=f(x,y)$)

この場合,パラメータは$\boldsymbol{u}=(x,y)$です.
$\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial x}\times\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial y}$を計算すると,
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
\frac{\partial f}{\partial x}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
\frac{\partial f}{\partial y}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\frac{\partial f}{\partial x}\\
-\frac{\partial f}{\partial y}\\
1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
なので,式(\ref{eq:surf_area})を用いると曲面積は
グラフの曲面積
\begin{aligned}
\iint_{\Omega}
\sqrt{
\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1
}
\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
\end{aligned}
となります.

$y=f(x)$の回転体($X=x$, $Y=f(x)\cos\theta$, $Z=f(x)\sin\theta$)

回転体の曲面積

$x$軸周りの回転体.
$y=f(x)\geq 0$を$x$軸回りに回転させてできた,回転体の表面積を求める問題に相当します.
今回は,$\boldsymbol{u}=(x,\theta)$です.
\begin{aligned}
&\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial x}\times\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \theta} \\
=&
\begin{pmatrix}
1\\
f^\prime(x)\cos\theta\\
f^\prime(x)\sin\theta
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0\\
-f(x)\sin\theta\\
f(x)\cos\theta
\end{pmatrix} \\
=&
\begin{pmatrix}
f(x)f^\prime(x)\\
-f(x)\cos\theta\\
-f(x)\sin\theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}
なので,式(\ref{eq:surf_area})から曲面積は
\begin{aligned}
\int_0^{2\pi}\,\mathrm{d}\theta\,\int
\sqrt{
\left[f(x)f^\prime(x)\right]^2+f(x)^2
}\,\mathrm{d}x.
\end{aligned}
$\theta$に関する積分を実行すると,おなじみの「回転体の表面積の公式」
回転体の表面積の公式
\begin{aligned}
2\pi\int
f(x)
\sqrt{
\left[f^\prime(x)\right]^2+1
}
\,\mathrm{d}x
\end{aligned}
が導かれます.



回転体の「体積」については以下で解説しています:
【実用例】面積・体積の計算法 - Notes_JP

平面内の曲線$\left( \varphi(t),\psi(t) \right)$の回転体($X=\varphi(t)$, $Y=\psi(t)\cos\theta$, $Z=\psi(t)\sin\theta$)

上の例の一般化です($\varphi(t) = t$, $\psi(t)= f(t)$, $t=x$とすれば,先程の場合になります).
これは,$x$-$y$平面の曲線$\left( \varphi(t),\psi(t) \right)$を$x$軸周りに回転させてできた回転体の表面積を求める問題に相当します.

パラメータは$\boldsymbol{u}=(t,\theta)$です.計算方法は上の例とほとんど同じですが,丁寧にやってみましょう:

\begin{aligned}
&\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial t}\times\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \theta} \\
=&
\begin{pmatrix}
\varphi^\prime(t)\\
\psi^\prime(t)\cos\theta\\
\psi^\prime(t)\sin\theta
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0\\
-\psi(t)\sin\theta\\
\psi(t)\cos\theta
\end{pmatrix} \\
=&
\begin{pmatrix}
\psi(t)\psi^\prime(t)\\
-\varphi^\prime(t) \psi(t)\cos\theta\\
-\varphi^\prime(t) \psi(t)\sin\theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}
なので,式(\ref{eq:surf_area})から曲面積は
\begin{aligned}
\int_0^{2\pi}\,\mathrm{d}\theta\,\int
\sqrt{
\left[\psi(t)\psi^\prime(t)\right]^2+\varphi^\prime(t)^2\psi(t)^2
}\,\mathrm{d}t.
\end{aligned}
したがって$\theta$に関する積分を実行すると,
平面内にある曲線による回転体の表面積
\begin{aligned}
2\pi\int
\psi(x)
\sqrt{
\left[\varphi^\prime(t)\right]^2 + \left[\psi^\prime(t)\right]^2
}
\,\mathrm{d}t
\end{aligned}
となります.

参考文献

[1]解析入門 Ⅱ(基礎数学3)