POINT
【関連記事】- 二項定理のポイントは「場合の数」．
- 式の展開に「組み合わせ」を表す$\displaystyle {}_n\mathrm{C}_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$が現れる理由を理解することが重要．
- 多項定理も全く同じように理解できる．
二項定理
二項定理
\begin{aligned}
&(a+b)^n \\
&= {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + \cdots \\
&\qquad + {}_n\mathrm{C}_{n-1} ab^{n-1} + {}_n\mathrm{C}_n b^n \\
&= \sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k a^kb^{n-k}
\end{aligned}
&(a+b)^n \\
&= {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + \cdots \\
&\qquad + {}_n\mathrm{C}_{n-1} ab^{n-1} + {}_n\mathrm{C}_n b^n \\
&= \sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k a^kb^{n-k}
\end{aligned}
【解説】
\begin{aligned}
&(a+b)^n \\
&=\overbrace{(a+b)(a+b)\cdots (a+b)}^{n\text{個}}
\end{aligned}
を展開したときの各項は，$n$個の$(a+b)$のそれぞれから$a$または$b$のどちらかを選んで掛け合わせたものになります．&(a+b)^n \\
&=\overbrace{(a+b)(a+b)\cdots (a+b)}^{n\text{個}}
\end{aligned}
つまり，展開したときに出てくる項は「($a$の次数)＋($b$の次数)=$n$」となるすべてのパターンが考えられます：
ここで，$\textcolor{red}{a^{k}b^{n-k}}$の係数は
に等しくなることから，二項定理が導かれます．
多項定理
二項定理と全く同じ考え方によって，\begin{aligned}
&(a+b+c)^n \\
&=\sum_{p,q,r}\frac{n!}{p!q!r!}a^p b^q c^r \\
&(p+q+r=n,\quad p\geq0,\, q\geq0,\, r\geq0)
\end{aligned}
が成立します（注：$0!=1$）．&(a+b+c)^n \\
&=\sum_{p,q,r}\frac{n!}{p!q!r!}a^p b^q c^r \\
&(p+q+r=n,\quad p\geq0,\, q\geq0,\, r\geq0)
\end{aligned}
これを一般化すると
多項定理
\begin{aligned}
&(a_1+a_2+\cdots +a_m)^n \\
&=\sum_{k_1,...,k_m}\frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_m!}a_1^{k_1}a_2^{k_2}\cdots a_m^{k_m}
\end{aligned}
$(k_1+k_2+\cdots +k_m=n,$$\quad k_1\geq0,\, k_2\geq0,...,\, k_m\geq0)$&(a_1+a_2+\cdots +a_m)^n \\
&=\sum_{k_1,...,k_m}\frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_m!}a_1^{k_1}a_2^{k_2}\cdots a_m^{k_m}
\end{aligned}
