【高校数学】二項定理・多項定理

POINT

  • 二項定理のポイントは「場合の数」.
  • 式の展開に「組み合わせ」を表す$\displaystyle {}_n\mathrm{C}_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$が現れる理由を理解することが重要.
  • 多項定理も全く同じように理解できる.

二項定理

二項定理
\begin{align}
&(a+b)^n \\
&= {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + \cdots \\
&\qquad + {}_n\mathrm{C}_{n-1} ab^{n-1} + {}_n\mathrm{C}_n b^n \\
&= \sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k a^kb^{n-k}
\end{align}

【解説】
\begin{align}
&(a+b)^n \\
&=\overbrace{(a+b)(a+b)\cdots (a+b)}^{n\text{個}}
\end{align}を展開したときの各項は,$n$個の$(a+b)$のそれぞれから$a$または$b$のどちらかを選んで掛け合わせたものになります.

つまり,展開したときに出てくる項は「($a$の次数)+($b$の次数)=$n$」となるすべてのパターンが考えられます:

$a^n$, $a^{n-1}b$, $\cdots$, $\color{red}{a^{k}b^{n-k}}$, $\cdots$, $ab^{n-1}$, $b^n$


ここで,$\color{red}{a^{k}b^{n-k}}$の係数は

『「$n$個の$(a+b)$」から,$a$を$k$個取り出す方法の数:${}_n\mathrm{C}_k$』

に等しくなることから,二項定理が導かれます.

多項定理

二項定理と全く同じ考え方によって,
\begin{align}
&(a+b+c)^n \\
&=\sum_{p,q,r}\frac{n!}{p!q!r!}a^p b^q c^r \\
&(p+q+r=n,\quad p\geq0,\, q\geq0,\, r\geq0)
\end{align}が成立します(注:$0!=1$).


これを一般化すると

多項定理
\begin{align}
&(a_1+a_2+\cdots +a_m)^n \\
&=\sum_{k_1,...,k_m}\frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_m!}a_1^{k_1}a_2^{k_2}\cdots a_m^{k_m}
\end{align}$(k_1+k_2+\cdots +k_m=n,$$\quad k_1\geq0,\, k_2\geq0,...,\, k_m\geq0)$
が成り立つことがわかります.