ベッセル関数の関係式

POINT

  • ベッセル関数の関係式.

積分表示

積分表示
  • Besselの積分表示:
    $J_n(x)$$\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \cos\bigl(x\sin\theta-n\theta\bigr)\,\mathrm{d}\theta$
  • Hansenの積分表示:
    $J_n(x)$$\displaystyle =\frac{1}{\pi i^n}\int_{0}^{\pi} e^{ix\cos\theta}\cos(n\theta) \,\mathrm{d}\theta$
【導出】
ここでは,Besselの積分表示
\begin{align}
J_n(x)
&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \cos\bigl(x\sin\theta-n\theta\bigr)\,\mathrm{d}\theta
\end{align}を出発点とする.ここで$f(\theta)=e^{i(x\sin\theta-n\theta)}$とすると
\begin{align}
&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{f(\theta)+f(-\theta)}{2}\,\mathrm{d}\theta \\
\end{align}と表せる.$f(\theta)$を一周期積分した値は$f(-\theta)$を一周期積分した値と等しいので
\begin{align}
&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta) \,\mathrm{d}\theta \\
\end{align}となる.つまり
\begin{align}
J_n(x)
&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{i(x\sin\theta-n\theta)}\,\mathrm{d}\theta
\end{align}
である.

ここで,$\theta\rightarrow \theta+\pi/2$と変数変換すると
\begin{align}
&=\frac{1}{2\pi}\int_{\pi/2}^{5\pi/2} e^{i(x\cos\theta-n\theta)} e^{-in\pi/2} \,\mathrm{d}\theta \\
&=(-i)^n \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{i(x\cos\theta-n\theta)} \,\mathrm{d}\theta
\end{align}なので

\begin{align}
i^n J_n(x)
&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{i(x\cos\theta-n\theta)} \,\mathrm{d}\theta
\end{align}

さらに,上式の$\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi}$の区間の積分を$\theta\rightarrow -\theta+2\pi$と変数変換すると
\begin{align}
&\frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{2\pi} e^{i(x\cos\theta-n\theta)} \,\mathrm{d}\theta \\
&=-\frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{0} e^{i(x\cos\theta+n\theta)} e^{-i2n\pi}\,\mathrm{d}\theta \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} e^{i(x\cos\theta+n\theta)} \,\mathrm{d}\theta
\end{align}なので

\begin{align}
i^n J_n(x)
&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} e^{ix\cos\theta}\cos(n\theta) \,\mathrm{d}\theta
\end{align}
が成り立つ.//

平面波

平面波とベッセル関数

\begin{align}
e^{ikr\cos\theta}
&=\sum_{n=-\infty}^\infty i^n J_n(kr) e^{in\theta} \\
&=J_0(kr)+\sum_{n=1}^\infty i^n J_n(kr)\cos(n\theta)
\end{align}

$e^{ikz}=e^{ikr\cos\theta}$のフーリエ級数展開
\begin{align}
e^{ikr\cos\theta}
&=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}
\end{align}を考える.係数を計算すると
\begin{align}
c_n
&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{ikr\cos\theta} e^{-in\theta}\,\mathrm{d}\theta \\
&=i^n J_n(kr)
\end{align}なので
\begin{align}
e^{ikr\cos\theta}
&=\sum_{n=-\infty}^\infty i^n J_n(kr) e^{in\theta}
\end{align}となる.


あるいは,$f(\theta)= e^{ikr\cos\theta}$は偶関数なので
\begin{align}
e^{ikr\cos\theta}&=\frac{f(\theta)+f(-\theta)}{2} \\
&=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n \frac{e^{in\theta}+e^{-in\theta}}{2} \\
&=c_0+\sum_{n=1}^\infty (c_n+c_{-n}) \cos(n\theta)
\end{align}であり,
\begin{align}
c_n+c_{-n}
&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{ikr\cos\theta} \frac{e^{in\theta}+e^{-in\theta}}{2}\,\mathrm{d}\theta \\
&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{ikr\cos\theta} \cos(n\theta)\,\mathrm{d}\theta \\
&=\frac{1}{\pi} \int_{0}^\pi e^{ikr\cos\theta} \cos(n\theta)\,\mathrm{d}\theta \\
&=i^n J_n(kr)
\end{align}となる(Hansenの積分表示を使った).したがって,
\begin{align}
e^{ikr\cos\theta}
&=J_0(kr)+\sum_{n=1}^\infty i^n J_n(kr)\cos(n\theta)
\end{align}となる.

参考文献