微分形式を使った曲線座標のgrad・rot・div

以下の書籍で紹介されている計算方法です.

【関連記事】

記法

この記事では和を取る添字とそうでない添字が混在するので,$\sum$を省略しない.

以下,

  • $\bm{e}_{\#}$は規格化された基底ベクトルを表す.
  • リーマン計量を$g_{ij} = (\partial_{y^{i}}, \partial_{y^{j}})$とする.

ベクトル解析と微分形式の対応

  • ベクトル解析のベクトル基と接ベクトルの基を,$\bm{e}_{i} \leftrightarrow \partial_{i} / \sqrt{g_{ii}}$で同一視する.
  • 接ベクトルの基と余接ベクトルの双対基を$\partial_{y^{i}} \leftrightarrow \sum_{j} g_{ij} \mathrm{d}y^{j}$で同一視する.
  • 接ベクトルの基と($3-1$)-形式の基を$\displaystyle \partial_{y^{i}} \leftrightarrow \frac{1}{2}\sum_{j,k} \epsilon_{ijk} \sqrt{G} \mathrm{d}y^{j} \wedge \mathrm{d}y^{k} \, (=i_{y^{j}} \mathrm{vol}^{3})$で同一視する($G=\det (g_{ij})$).

まとめると,

  • ベクトル解析のベクトル,接ベクトル,1-形式を次で同一視する.
    \begin{aligned}
    \bm{e}_{i}
    \leftrightarrow
    \partial_{i} / \sqrt{g_{ii}}
    \leftrightarrow
    \sum_{j} g_{ij} \mathrm{d}y^{j} / \sqrt{g_{ii}}
    \end{aligned}
  • ベクトル解析のベクトル,接ベクトル,($3-1$)-形式を次で同一視する.
    \begin{aligned}
    &\bm{e}_{i}
    \leftrightarrow
    \partial_{i} / \sqrt{g_{ii}}
    \leftrightarrow
    \frac{1}{2}\sum_{j,k} \epsilon_{ijk} \sqrt{G/g_{ii}} \mathrm{d}y^{j} \wedge \mathrm{d}y^{k} \\
    &(\text{i.e. } \sum_{i} \epsilon_{ijk} \sqrt{g_{ii}/G} \bm{e}_{i}
    \leftrightarrow \mathrm{d}y^{j} \wedge \mathrm{d}y^{k} )
    \end{aligned}
    注(【参考】完全反対称テンソルの縮約公式 - Notes_JP):
    \begin{aligned}
    & \sum_{i} \epsilon_{ijk} \sqrt{g_{ii}/G} \bm{e}_{i} \\
    & \leftrightarrow
    \frac{1}{2}\sum_{l,m}
    \underbrace{\sum_{i}\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}}_{=\delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}}
    \mathrm{d}y^{l} \wedge \mathrm{d}y^{m} \\
    & \quad = \mathrm{d}y^{j} \wedge \mathrm{d}y^{k}
    \end{aligned}

grad

0-形式$f$に対して$\displaystyle \mathrm{d}f = \sum_{j} (\bm{\nabla} f)_{j} \frac{\mathrm{d}y^{j}}{\sqrt{g_{jj}}}$であり,接ベクトル(反変ベクトル)の成分に変換した$\displaystyle (\bm{\nabla} f)^{j} = \sum_{k} g^{jk} (\bm{\nabla} f)_{k}$としてベクトル解析のgradが求められる.

\begin{aligned}
\mathrm{d}f
& = \sum_{j} \partial_{y^{j}} f \mathrm{d}y^{j} \\
& = \sum_{j} \sqrt{g_{jj}} \partial_{y^{j}} f \frac{\mathrm{d}y^{j}}{\sqrt{g_{jj}}}
\end{aligned}
より,
\begin{aligned}
(\bm{\nabla} f)^{j}
& = \sum_{k} g^{jk} \sqrt{g_{jj}} \partial_{y^{j}} f
\end{aligned}

rot

rot (curl) のベクトル解析での表式は,「ベクトルを1-形式に変換し,外微分を計算したあとに($3-1$)-形式をベクトルに戻す」ことで得られる.

接ベクトル$\displaystyle u=\sum_{r} u^{r} \frac{\partial_{y^{r}}}{\sqrt{g_{rr}}}$と同一視される1-形式$\displaystyle u=\sum_{r} (\sum_{l} g_{rl}u^{l} ) \frac{\mathrm{d}y^{r}}{\sqrt{g_{rr}}}$に対して,$\displaystyle \mathrm{d}u = \sum_{j} (\bm{\nabla}\times \bm{u})^{j} \cdot i_{y^{j}} \mathrm{vol}^{3}$と求めることができる.

ベクトルを1-形式に変換すると

\begin{aligned}
& \bm{u} = \sum_{r} u^{r} \bm{e}_{r} \\
& \leftrightarrow
u = \sum_{r} u^{r} \biggl(\sum_{l} \frac{g_{rl}}{\sqrt{g_{rr}}} \mathrm{d}y^{l} \biggr) \\
&\qquad
= \sum_{l} \biggl(\sum_{r} \frac{g_{rl}}{\sqrt{g_{rr}}} u^{r}\biggr) \mathrm{d}y^{l}
\end{aligned}

外微分を計算し,($3-1$)-形式に戻すと

\begin{aligned}
&\mathrm{d}u
= \sum_{k, l}
\partial_{y^{k}}\biggl(\sum_{r} \frac{g_{rl}}{\sqrt{g_{rr}}} u^{r} \biggr)
\mathrm{d}y^{k}\wedge \mathrm{d}y^{l} \\
& \leftrightarrow \bm{\nabla} \times \bm{u}\\
&\quad
=\sum_{k, l}
\biggl[
\partial_{y^{k}}\biggl(\sum_{r} \frac{g_{rl}}{\sqrt{g_{rr}}} u^{r} \biggr)
\cdot \sum_{j} \epsilon_{jkl} \sqrt{\frac{g_{jj}}{G}} \bm{e}_{j}
\biggr] \\
&\quad
= \sum_{j,k,l} \epsilon_{jkl} \sqrt{\frac{g_{jj}}{G}}
\partial_{y^{k}}\biggl(\sum_{r} \frac{g_{rl}}{\sqrt{g_{rr}}} u^{r} \biggr)
\bm{e}_{j}
\end{aligned}

※ $g_{rl}=g_{lr}$を使えば,書籍と同じ式になる.

div

2-形式$w$を上の方法でベクトル$\bm{w}$と同一視するとき,$\mathrm{d}w = (\bm{\nabla}\cdot \bm{w}) \sqrt{G} \mathrm{d}y^{1}\wedge \mathrm{d}y^{2}\wedge \mathrm{d}y^{3} \,(= (\bm{\nabla}\cdot \bm{w}) \mathrm{vol}^{3})$として,ベクトル解析のdivが求められる.

\begin{aligned}
\bm{w} = \sum_{k} w^{k} \bm{e}_{k}
\end{aligned}
に対応する2-形式は
\begin{aligned}
w = \sum_{klm} w^{k} \frac{1}{2} \epsilon_{klm} \sqrt{\frac{G}{g_{kk}}} \mathrm{d}y^{l} \wedge \mathrm{d}y^{m}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\mathrm{d} w
&= \frac{1}{2} \sum_{klmn} \epsilon_{klm}
\partial_{y^{n}} \Biggl(\sqrt{\frac{G}{g_{kk}}} w^{k} \Biggr)
\underbrace{\mathrm{d}y^{n} \wedge \mathrm{d}y^{l} \wedge \mathrm{d}y^{m}}_{=\epsilon_{nlm} \mathrm{d}y^{1} \wedge\mathrm{d}y^{2} \wedge\mathrm{d}y^{3} } \\
&= \sum_{k} \frac{1}{\sqrt{G}} \partial_{y^{k}} \Biggl(\sqrt{\frac{G}{g_{kk}}} w^{k} \Biggr)
\cdot \underbrace{\sqrt{G} \mathrm{d}y^{1} \wedge\mathrm{d}y^{2} \wedge\mathrm{d}y^{3}}_{=\mathrm{vol}^{n}}
\end{aligned}

注(【参考】完全反対称テンソルの縮約公式 - Notes_JP):$\displaystyle \sum_{lm} \epsilon_{klm}\epsilon_{nlm} = 2\delta_{kn}$.

よって,

\begin{aligned}
\bm{\nabla}\cdot \bm{w}
&= \sum_{k} \frac{1}{\sqrt{G}} \partial_{y^{k}} \Biggl(\sqrt{\frac{G}{g_{kk}}} w^{k} \Biggr)
\end{aligned}

計算例

極座標(球座標)

$(\mathrm{d}s)^2$$=(\mathrm{d}r)^2+ (r \,\mathrm{d}\theta )^2 + (r\sin\theta \,\mathrm{d}\phi )^2$


円筒座標

$(\mathrm{d}s )^2=(\mathrm{d}r)^2+(r \,\mathrm{d}\theta )^2 +(\mathrm{d}z)^2$

参考文献