POINT
関連記事[A]で計算した速度と圧力をもとに，球に働く力を計算することができます．- 定常な一様流の中に球を固定したときに，球に働く力を計算する．
- $F = 6\pi\mu a U$（$U$：流れの速さ，$\mu$：粘性係数，$a$：球の半径）．
【関連記事】
ストークスの抵抗の法則
本記事では次を導出します：Stokesの抵抗の法則
定常な流れの場$\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$が方程式
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \mu\Delta \boldsymbol{u}=\boldsymbol{\nabla}p \\
\, \mathrm{div\,} \boldsymbol{u}=0
\end{cases}
\end{aligned}
で定まる場合を考える（方程式の背景：関連記事[A]）．\begin{cases}
\, \mu\Delta \boldsymbol{u}=\boldsymbol{\nabla}p \\
\, \mathrm{div\,} \boldsymbol{u}=0
\end{cases}
\end{aligned}
一様な流れの場$\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})=U\boldsymbol{e}_{z}$の中に，半径$a$の球を静止させると，球に働く力は
\begin{aligned}
\boldsymbol{F}
=6\pi\mu a U \boldsymbol{e}_{z}
\end{aligned}
となる．\boldsymbol{F}
=6\pi\mu a U \boldsymbol{e}_{z}
\end{aligned}
速度と圧力
関連記事[A]で導いたように，球の周りの速度と圧力は以下で与えられます．まず，この結果を用いて応力を計算します．最終的に，求めた応力を球面で積分することで「球に働くトータルの力」を求めることができます．
球をおいたときの速度，圧力
半径$a$の球を原点に置くとき，速度場は
\begin{aligned}
u_{r} (r,\theta)
&= U\biggl(1 -\frac{3a}{2 r} + \frac{a^{3}}{2 r^{3}} \biggl) \cos\theta \\
u_{\theta} (r,\theta)
&=-U\biggl(1 - \frac{3a}{4r} - \frac{a^{3}}{4 r^{3}}\biggr) \sin\theta
\end{aligned}
となる．また，圧力は無限遠での値を$p_{0}$で表すとu_{r} (r,\theta)
&= U\biggl(1 -\frac{3a}{2 r} + \frac{a^{3}}{2 r^{3}} \biggl) \cos\theta \\
u_{\theta} (r,\theta)
&=-U\biggl(1 - \frac{3a}{4r} - \frac{a^{3}}{4 r^{3}}\biggr) \sin\theta
\end{aligned}
\begin{aligned}
p(r,\theta)
&= p_{0} -\mu\frac{3a}{2r^{2}}U \cos\theta
\end{aligned}
となる．p(r,\theta)
&= p_{0} -\mu\frac{3a}{2r^{2}}U \cos\theta
\end{aligned}
応力テンソル
応力テンソルは\begin{aligned}
p_{ij}
=-p\delta_{ij}
+ \lambda (\cancel{\mathrm{div\,}\boldsymbol{u}}) \delta_{ij}
+\mu (\partial_{i} u_{j} + \partial_{j} u_{i})
\end{aligned}
で与えられます（例えば，参考文献[3]の式(60.2)，参考文献[2]の式(15.2)）．p_{ij}
=-p\delta_{ij}
+ \lambda (\cancel{\mathrm{div\,}\boldsymbol{u}}) \delta_{ij}
+\mu (\partial_{i} u_{j} + \partial_{j} u_{i})
\end{aligned}
応力テンソルの「極座標」での表式は，関連記事[B]で導いています．これに
\begin{aligned}
\frac{\partial u_{r}}{\partial r} (r,\theta)
&= U\frac{3a}{2 r^{2}} \biggl(1 - \frac{a^{2}}{r^{2}} \biggl) \cos\theta \\
\frac{\partial u_{r}}{\partial \theta} (r,\theta)
&= -U\biggl(1 -\frac{3a}{2 r} + \frac{a^{3}}{2 r^{3}} \biggl) \sin\theta \\
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r} (r,\theta)
&=-U\frac{3a}{4r^{2}} \biggl( 1 + \frac{a^{2}}{r^{2}}\biggr) \sin\theta \\
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} (r,\theta)
&=-U\biggl(1 - \frac{3a}{4r} - \frac{a^{3}}{4 r^{3}}\biggr) \cos\theta
\end{aligned}
を代入することで\frac{\partial u_{r}}{\partial r} (r,\theta)
&= U\frac{3a}{2 r^{2}} \biggl(1 - \frac{a^{2}}{r^{2}} \biggl) \cos\theta \\
\frac{\partial u_{r}}{\partial \theta} (r,\theta)
&= -U\biggl(1 -\frac{3a}{2 r} + \frac{a^{3}}{2 r^{3}} \biggl) \sin\theta \\
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r} (r,\theta)
&=-U\frac{3a}{4r^{2}} \biggl( 1 + \frac{a^{2}}{r^{2}}\biggr) \sin\theta \\
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} (r,\theta)
&=-U\biggl(1 - \frac{3a}{4r} - \frac{a^{3}}{4 r^{3}}\biggr) \cos\theta
\end{aligned}
\begin{aligned}
p_{rr}
&=-p + 2\mu\frac{\partial u_{r}}{\partial r} \\
&=-p_{0} + \mu\frac{3a}{2 r^{2}} \biggl(3 - \frac{2a^{2}}{r^{2}} \biggl) U \cos\theta \\
p_{\theta\theta}
&=-p + 2\mu \biggl( \frac{1}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_{r}}{r} \biggr) \\
&=-p_{0} + \mu\frac{3a^{3}}{2 r^{4}} U \cos\theta \\
p_{\varphi\varphi}
&=-p + 2\mu \biggl( \cancel{\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial u_{\varphi}}{\partial \varphi}}
+ \frac{u_{r}}{r} + \frac{u_{\theta} \cot\theta}{r} \biggr) \\
&=p_{\theta\theta} \\
p_{\theta\varphi}
&=\mu \biggl[ \cancel{\frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}\biggl(\frac{u_{\varphi}}{\sin\theta}\biggr)}
+ \cancel{\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \varphi}} \biggr]
=0 \\
p_{\varphi r}
&=\mu \biggl[ \cancel{\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial u_{r}}{\partial \varphi}}
+ \cancel{r \frac{\partial}{\partial r}\biggl(\frac{u_{\varphi}}{r}\biggr)} \biggr]
=0 \\
p_{r \theta}
&=\mu \biggl[ r \frac{\partial}{\partial r}\biggl(\frac{u_{\theta}}{r}\biggr)
+ \frac{1}{r} \frac{\partial u_{r}}{\partial \theta} \biggr] \\
&=\mu \biggl( \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r} - \frac{u_{\theta}}{r}
+ \frac{1}{r} \frac{\partial u_{r}}{\partial \theta} \biggr) \\
&=\mu \biggl[-\frac{3a}{4r^{2}} \biggl( 1 + \frac{a^{2}}{r^{2}}\biggr) + \frac{1}{r} \biggl(\frac{3a}{4r} - \frac{3a^{3}}{4 r^{3}}\biggr) \biggr] U\sin\theta \\
&=-\mu \frac{3a^{3}}{2r^{4}} U\sin\theta
\end{aligned}
となります．p_{rr}
&=-p + 2\mu\frac{\partial u_{r}}{\partial r} \\
&=-p_{0} + \mu\frac{3a}{2 r^{2}} \biggl(3 - \frac{2a^{2}}{r^{2}} \biggl) U \cos\theta \\
p_{\theta\theta}
&=-p + 2\mu \biggl( \frac{1}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_{r}}{r} \biggr) \\
&=-p_{0} + \mu\frac{3a^{3}}{2 r^{4}} U \cos\theta \\
p_{\varphi\varphi}
&=-p + 2\mu \biggl( \cancel{\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial u_{\varphi}}{\partial \varphi}}
+ \frac{u_{r}}{r} + \frac{u_{\theta} \cot\theta}{r} \biggr) \\
&=p_{\theta\theta} \\
p_{\theta\varphi}
&=\mu \biggl[ \cancel{\frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}\biggl(\frac{u_{\varphi}}{\sin\theta}\biggr)}
+ \cancel{\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \varphi}} \biggr]
=0 \\
p_{\varphi r}
&=\mu \biggl[ \cancel{\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial u_{r}}{\partial \varphi}}
+ \cancel{r \frac{\partial}{\partial r}\biggl(\frac{u_{\varphi}}{r}\biggr)} \biggr]
=0 \\
p_{r \theta}
&=\mu \biggl[ r \frac{\partial}{\partial r}\biggl(\frac{u_{\theta}}{r}\biggr)
+ \frac{1}{r} \frac{\partial u_{r}}{\partial \theta} \biggr] \\
&=\mu \biggl( \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r} - \frac{u_{\theta}}{r}
+ \frac{1}{r} \frac{\partial u_{r}}{\partial \theta} \biggr) \\
&=\mu \biggl[-\frac{3a}{4r^{2}} \biggl( 1 + \frac{a^{2}}{r^{2}}\biggr) + \frac{1}{r} \biggl(\frac{3a}{4r} - \frac{3a^{3}}{4 r^{3}}\biggr) \biggr] U\sin\theta \\
&=-\mu \frac{3a^{3}}{2r^{4}} U\sin\theta
\end{aligned}
球に働く力
原点を中心とする球面は，ベクトル$\boldsymbol{e}_{r}$を法線ベクトルとする面です．よって，原点を中心とする球面に働く応力ベクトルは
\begin{aligned}
\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{e}_{r}}
&=p_{rr} \boldsymbol{e}_{r}
+p_{r\theta} \boldsymbol{e}_{\theta}
+p_{r\varphi} \boldsymbol{e}_{\varphi}
\end{aligned}
で与えられます．特に，$r=a$では\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{e}_{r}}
&=p_{rr} \boldsymbol{e}_{r}
+p_{r\theta} \boldsymbol{e}_{\theta}
+p_{r\varphi} \boldsymbol{e}_{\varphi}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{e}_{r}}(a,\theta) \\
&=p_{rr}(a,\theta) \boldsymbol{e}_{r}
+p_{r\theta}(a,\theta) \boldsymbol{e}_{\theta}
+p_{r\varphi}(a,\theta) \boldsymbol{e}_{\varphi} \\
&=\biggl(-p_{0} + \frac{3}{2}\frac{\mu U}{a}\cos\theta \biggr) \boldsymbol{e}_{r}
+\biggl(-\frac{3}{2}\frac{\mu U}{a}\sin\theta \biggr) \boldsymbol{e}_{\theta}
\end{aligned}
です．&\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{e}_{r}}(a,\theta) \\
&=p_{rr}(a,\theta) \boldsymbol{e}_{r}
+p_{r\theta}(a,\theta) \boldsymbol{e}_{\theta}
+p_{r\varphi}(a,\theta) \boldsymbol{e}_{\varphi} \\
&=\biggl(-p_{0} + \frac{3}{2}\frac{\mu U}{a}\cos\theta \biggr) \boldsymbol{e}_{r}
+\biggl(-\frac{3}{2}\frac{\mu U}{a}\sin\theta \biggr) \boldsymbol{e}_{\theta}
\end{aligned}
球に働く力は，対称性から$z$方向のみに働くので$\boldsymbol{F}=F\boldsymbol{e}_{z}$と表せます．よって，
\begin{aligned}
F
&=\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{e}_{z}
=\biggl(\int_{S} \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}} \,\mathrm{d}S\biggr)
\cdot\boldsymbol{e}_{z} \\
&=\int_{S} \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{e}_{z} \,\mathrm{d}S \\
&=\int_{S} p_{rr} \cos\theta \,\mathrm{d}S
+ \int_{S} p_{r\theta} (-\sin\theta ) \,\mathrm{d}S \\
&=\frac{3}{2}\frac{\mu U}{a} \underbrace{\int_{S} \,\mathrm{d}S}_{=4\pi a^{2}} \\
&=6\pi\mu aU
\end{aligned}
となります（*1）．F
&=\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{e}_{z}
=\biggl(\int_{S} \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}} \,\mathrm{d}S\biggr)
\cdot\boldsymbol{e}_{z} \\
&=\int_{S} \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{e}_{z} \,\mathrm{d}S \\
&=\int_{S} p_{rr} \cos\theta \,\mathrm{d}S
+ \int_{S} p_{r\theta} (-\sin\theta ) \,\mathrm{d}S \\
&=\frac{3}{2}\frac{\mu U}{a} \underbrace{\int_{S} \,\mathrm{d}S}_{=4\pi a^{2}} \\
&=6\pi\mu aU
\end{aligned}
参考文献
- [1]Hydrodynamics (Sir Horace Lamb)：$\text{\sect} 335 - 337$
- [2]Fluid Mechanics (L. D. Landau, E. M. Lifshitz)：$\text{\sect} 20.$ Flow with small Reynolds numbers
- [3]流体力学 (前編) (今井 功)：$\text{\sect} 69.$ 定常流に対するStokes近似．さらに，「$\text{\sect} 80.$ 軸対称流に対するOseen近似 N. 1. 」において，GoldsteinによるOseen近似に基づく球の抵抗係数（式(80.14), The steady flow of viscous fluid past a fixed spherical obstacle at small reynolds numbers）と，Navier-Stokes方程式に基づく球の抵抗係数（式(80.15), On the flow past a sphere at low Reynolds number | Journal of Fluid Mechanics | Cambridge Core）についても触れています．
*1:ここで，
\begin{aligned}
\boldsymbol{e}_{r}
=\begin{pmatrix}
\sin\theta \cos\varphi \\
\sin\theta \sin\varphi \\
\cos\theta
\end{pmatrix},\quad
\boldsymbol{e}_{\theta}
=\begin{pmatrix}
\cos\theta \cos\varphi \\
\cos\theta \sin\varphi \\
-\sin\theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}を用いた．
