POINT
- フックの法則（ひずみテンソル）の座標変換の計算方法．
- テンソル演算により座標変換の一般式を求めた後，極座標・円筒座標の具体式を計算する．
以下で与えられる，座標変換後の歪テンソルの表式の導出方法です．
【関連記事】
フックの法則
等方性の弾性体におけるフックの法則は\begin{aligned}
\sigma_{ij}
&= 2\mu\varepsilon_{ij}+\lambda \varepsilon_{kk} \delta_{ij} \\
&=2\mu\biggl(\varepsilon_{ij} + \frac{\nu}{1 - 2\nu} \varepsilon_{kk} \delta_{ij} \biggr)
\end{aligned}
と表される．ここで，$\varepsilon_{ij}$は微小ひずみテンソルで，$\boldsymbol{u}$を弾性体の変位ベクトルとするとき\sigma_{ij}
&= 2\mu\varepsilon_{ij}+\lambda \varepsilon_{kk} \delta_{ij} \\
&=2\mu\biggl(\varepsilon_{ij} + \frac{\nu}{1 - 2\nu} \varepsilon_{kk} \delta_{ij} \biggr)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\varepsilon_{ij}
=\frac{1}{2}\biggl( \frac{\partial u_i}{\partial x^j}+\frac{\partial u_j}{\partial x^i} \biggr)
\end{aligned}
である．特に$\varepsilon_{kk}=\mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u}$となる．\varepsilon_{ij}
=\frac{1}{2}\biggl( \frac{\partial u_i}{\partial x^j}+\frac{\partial u_j}{\partial x^i} \biggr)
\end{aligned}
座標変換
テンソル演算により座標変換の表式を求める．一般式
座標変換後の応力テンソルは応力テンソルの成分（テンソル解析の記法）
\begin{aligned}
\sigma^{\prime \, i}_{\,\:\: j}
&=\mu
\biggl(\frac{\partial u^{\prime\,i}}{\partial x^{\prime \,j}}
+ g^{\prime\, pi} g^\prime_{js} \frac{\partial u^{\prime\,s}}{\partial x^{\prime\,p}} \biggr)
+\lambda \varepsilon_{kk} \delta^i_j
\end{aligned}
\sigma^{\prime \, i}_{\,\:\: j}
&=\mu
\biggl(\frac{\partial u^{\prime\,i}}{\partial x^{\prime \,j}}
+ g^{\prime\, pi} g^\prime_{js} \frac{\partial u^{\prime\,s}}{\partial x^{\prime\,p}} \biggr)
+\lambda \varepsilon_{kk} \delta^i_j
\end{aligned}
【証明】
座標変換した座標に関する量を${}^\prime$をつけて表すことにする．座標変換後の応力テンソルの成分は
\begin{aligned}
\sigma^{\prime \, i}_{\,\:\: j}
&=\frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \frac{\partial x^m}{\partial x^{\prime \,j}}
\cdot g^{ln} \sigma_{nm} \\
&=g^{ln}\frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \frac{\partial x^m}{\partial x^{\prime \,j}}
(2\mu\varepsilon_{nm}+\lambda \varepsilon_{kk} \delta_{nm})
\end{aligned}
と表される．\sigma^{\prime \, i}_{\,\:\: j}
&=\frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \frac{\partial x^m}{\partial x^{\prime \,j}}
\cdot g^{ln} \sigma_{nm} \\
&=g^{ln}\frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \frac{\partial x^m}{\partial x^{\prime \,j}}
(2\mu\varepsilon_{nm}+\lambda \varepsilon_{kk} \delta_{nm})
\end{aligned}
以下では，簡単な部分から順に，各項を計算する．
【第2項】
\begin{aligned}
g^{ln}\frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \frac{\partial x^m}{\partial x^{\prime \,j}} \delta_{nm}
&=\frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \frac{\partial x^l}{\partial x^{\prime \,j}} \\
&=\delta^i_j
\end{aligned}
なので，g^{ln}\frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \frac{\partial x^m}{\partial x^{\prime \,j}} \delta_{nm}
&=\frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \frac{\partial x^l}{\partial x^{\prime \,j}} \\
&=\delta^i_j
\end{aligned}
\begin{aligned}
\text{(第2項)}=\lambda \varepsilon_{kk} \delta^i_j
\end{aligned}
\text{(第2項)}=\lambda \varepsilon_{kk} \delta^i_j
\end{aligned}
【第1項-1】
まずは，ひずみテンソルの$\dfrac{\partial u_n}{\partial x^m}$を含む項を計算する．
\begin{aligned}
&g^{ln}\frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \frac{\partial x^m}{\partial x^{\prime \,j}}
\cdot\frac{\partial u_n}{\partial x^m} \\
&=g^{ln}\frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \frac{\partial u_n}{\partial x^{\prime \,j}} \\
&=\frac{\partial }{\partial x^{\prime \,j}}
\biggl( \frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \cdot g^{ln}u_n\biggr) \\
&=\frac{\partial u^{\prime\,i}}{\partial x^{\prime \,j}}
\end{aligned}
&g^{ln}\frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \frac{\partial x^m}{\partial x^{\prime \,j}}
\cdot\frac{\partial u_n}{\partial x^m} \\
&=g^{ln}\frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \frac{\partial u_n}{\partial x^{\prime \,j}} \\
&=\frac{\partial }{\partial x^{\prime \,j}}
\biggl( \frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \cdot g^{ln}u_n\biggr) \\
&=\frac{\partial u^{\prime\,i}}{\partial x^{\prime \,j}}
\end{aligned}
【第1項-2】
次に，ひずみテンソルの$\dfrac{\partial u_m}{\partial x^n}$を含む項を計算する．
\begin{aligned}
&g^{ln}\frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \frac{\partial x^m}{\partial x^{\prime \,j}}
\cdot\frac{\partial u_m}{\partial x^n} \\
&=\textcolor{red}{g^{ln}}
\biggl( \textcolor{red}{g_{lq} \frac{\partial x^{q}}{\partial x^{\prime\,p}}} g^{\prime\, pi} \biggr)
\biggl( g^\prime_{js} \frac{\partial x^{\prime\,s}}{\partial x^{r}} g^{rm} \biggr)
\cdot \textcolor{red}{\frac{\partial u_m}{\partial x^n}} \\
&=g^{\prime\, pi} g^\prime_{js} g^{rm} \frac{\partial x^{\prime\,s}}{\partial x^{r}}
\textcolor{red}{\frac{\partial u_m}{\partial x^{\prime p}}} \\
&=g^{\prime\, pi} g^\prime_{js}
\frac{\partial }{\partial x^{\prime p}}\biggl(\frac{\partial x^{\prime\,s}}{\partial x^{r}} \cdot g^{rm} u_m \biggr)\\
&=g^{\prime\, pi} g^\prime_{js} \frac{\partial u^{\prime\,s}}{\partial x^{\prime\,p}}
\end{aligned}
&g^{ln}\frac{\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^l} \frac{\partial x^m}{\partial x^{\prime \,j}}
\cdot\frac{\partial u_m}{\partial x^n} \\
&=\textcolor{red}{g^{ln}}
\biggl( \textcolor{red}{g_{lq} \frac{\partial x^{q}}{\partial x^{\prime\,p}}} g^{\prime\, pi} \biggr)
\biggl( g^\prime_{js} \frac{\partial x^{\prime\,s}}{\partial x^{r}} g^{rm} \biggr)
\cdot \textcolor{red}{\frac{\partial u_m}{\partial x^n}} \\
&=g^{\prime\, pi} g^\prime_{js} g^{rm} \frac{\partial x^{\prime\,s}}{\partial x^{r}}
\textcolor{red}{\frac{\partial u_m}{\partial x^{\prime p}}} \\
&=g^{\prime\, pi} g^\prime_{js}
\frac{\partial }{\partial x^{\prime p}}\biggl(\frac{\partial x^{\prime\,s}}{\partial x^{r}} \cdot g^{rm} u_m \biggr)\\
&=g^{\prime\, pi} g^\prime_{js} \frac{\partial u^{\prime\,s}}{\partial x^{\prime\,p}}
\end{aligned}
ここで，計量テンソルの変換則
\begin{aligned}
g^\prime_{ij}
=\frac{\partial x^{l}}{\partial x^{\prime\,i}} \frac{\partial x^{m}}{\partial x^{\prime\,j}}g_{lm}
\end{aligned}
の両辺に$\displaystyle \times g^{\prime\, jp}\frac{\partial x^{\prime\,i}}{\partial x^{q}}$とすると得られるg^\prime_{ij}
=\frac{\partial x^{l}}{\partial x^{\prime\,i}} \frac{\partial x^{m}}{\partial x^{\prime\,j}}g_{lm}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial x^{\prime\,p}}{\partial x^{q}}
=g_{qm}\frac{\partial x^{m}}{\partial x^{\prime\,j}} g^{\prime\, jp}
\end{aligned}
と，上の計算をプライムの付け方を逆にして得られる関係式\frac{\partial x^{\prime\,p}}{\partial x^{q}}
=g_{qm}\frac{\partial x^{m}}{\partial x^{\prime\,j}} g^{\prime\, jp}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial x^{p}}{\partial x^{\prime\,q}}
=g^\prime_{qm}\frac{\partial x^{\prime\,m}}{\partial x^{j}} g^{jp}
\end{aligned}
を用いた．//\frac{\partial x^{p}}{\partial x^{\prime\,q}}
=g^\prime_{qm}\frac{\partial x^{\prime\,m}}{\partial x^{j}} g^{jp}
\end{aligned}
ベクトル解析の表式
テンソル演算の結果を，ベクトル解析の記法に書き換える．これには，テンソル解析で用いている基底を，規格化された基底に変換すれば良い（以下の記事参照）．「テンソル記法」から「ベクトル解析の記法」への変換方法 - Notes_JP
このとき，応力テンソルは
\begin{aligned}
&\sigma^{\prime \, i}_{\,\:\: j} e_i\otimes f^j \\
&=\frac{\sqrt{g^\prime_{ii}} }{\sqrt{g^\prime_{jj}}} \sigma^{\prime \, i}_{\,\:\: j}
\biggl(\frac{e_i}{\sqrt{g^\prime_{ii}}}\biggr) \otimes \biggl(\sqrt{g^\prime_{jj}} f^j\biggr)
\end{aligned}
となる．&\sigma^{\prime \, i}_{\,\:\: j} e_i\otimes f^j \\
&=\frac{\sqrt{g^\prime_{ii}} }{\sqrt{g^\prime_{jj}}} \sigma^{\prime \, i}_{\,\:\: j}
\biggl(\frac{e_i}{\sqrt{g^\prime_{ii}}}\biggr) \otimes \biggl(\sqrt{g^\prime_{jj}} f^j\biggr)
\end{aligned}
また，$\sigma^{\prime \, i}_{\,\:\: j}$中に現れる，反変ベクトルの成分$u^i$もベクトルの成分に書き直すと
\begin{aligned}
u^{\prime\,i} = \frac{u^{\prime\,i}_{\text{vector}}}{\sqrt{g^\prime_{ii}}}
\end{aligned}
となる．u^{\prime\,i} = \frac{u^{\prime\,i}_{\text{vector}}}{\sqrt{g^\prime_{ii}}}
\end{aligned}
以上より，ベクトル解析の記法に書き直した応力テンソルの成分は
応力テンソルの成分（ベクトル解析の記法）
\begin{aligned}
&\frac{\sqrt{g^\prime_{ii}} }{\sqrt{g^\prime_{jj}}}\sigma^{\prime \, i}_{\,\:\: j} \\
&=\mu \frac{\sqrt{g^\prime_{ii}} }{\sqrt{g^\prime_{jj}}}
\Biggl[\frac{\partial }{\partial x^{\prime \,j}}
\Biggl(\frac{u^i_{\text{vector}}}{\sqrt{g^\prime_{ii}}}\Biggr) \\
&\qquad\qquad\qquad + g^{\prime\, pi} g^\prime_{js}
\frac{\partial }{\partial x^{\prime\,p}}
\Biggl(\frac{u^s_{\text{vector}}}{\sqrt{g^\prime_{ss}}}\Biggr) \Biggr] \\
&\quad +\lambda \varepsilon_{kk} \delta^i_j
\end{aligned}
&\frac{\sqrt{g^\prime_{ii}} }{\sqrt{g^\prime_{jj}}}\sigma^{\prime \, i}_{\,\:\: j} \\
&=\mu \frac{\sqrt{g^\prime_{ii}} }{\sqrt{g^\prime_{jj}}}
\Biggl[\frac{\partial }{\partial x^{\prime \,j}}
\Biggl(\frac{u^i_{\text{vector}}}{\sqrt{g^\prime_{ii}}}\Biggr) \\
&\qquad\qquad\qquad + g^{\prime\, pi} g^\prime_{js}
\frac{\partial }{\partial x^{\prime\,p}}
\Biggl(\frac{u^s_{\text{vector}}}{\sqrt{g^\prime_{ss}}}\Biggr) \Biggr] \\
&\quad +\lambda \varepsilon_{kk} \delta^i_j
\end{aligned}
極座標
計量テンソル\begin{aligned}
\bigl(g^\prime_{ij}\bigr)
&=\bigl(\boldsymbol{e}^\prime_i \cdot \boldsymbol{e}^\prime_j \bigr)_{ij} \\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&r^2&0 \\
0&0&r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}\\
\bigl(g^{\prime\,ij}\bigr)
&=\bigl(g^\prime_{ij} \bigr)^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1/r^2&0 \\
0&0&1/r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}
を代入することで各成分が得られる．\bigl(g^\prime_{ij}\bigr)
&=\bigl(\boldsymbol{e}^\prime_i \cdot \boldsymbol{e}^\prime_j \bigr)_{ij} \\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&r^2&0 \\
0&0&r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}\\
\bigl(g^{\prime\,ij}\bigr)
&=\bigl(g^\prime_{ij} \bigr)^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1/r^2&0 \\
0&0&1/r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}
他の成分も同じ方法で計算できる．
$rr$成分
\begin{aligned}
& \mu
\Biggl( \frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{\partial u_r}{\partial r} \Biggr)
+\lambda \mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u} \\
&=2\mu\frac{\partial u_r}{\partial r} + \lambda \mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u} \\
&=2\mu\biggl(\frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{\nu}{1 - 2\nu} \mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u} \biggr)
\end{aligned}
& \mu
\Biggl( \frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{\partial u_r}{\partial r} \Biggr)
+\lambda \mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u} \\
&=2\mu\frac{\partial u_r}{\partial r} + \lambda \mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u} \\
&=2\mu\biggl(\frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{\nu}{1 - 2\nu} \mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u} \biggr)
\end{aligned}
$r\theta$成分
\begin{aligned}
&\mu \frac{1}{r}
\Biggl[\frac{\partial u_r}{\partial \theta}
+ r^2 \frac{\partial }{\partial r} \biggl( \frac{u_\theta }{r} \biggr) \Biggr] \\
&=\mu \biggl(\frac{1}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta}
+\frac{\partial u_\theta}{\partial r}
-\frac{u_\theta}{r}
\biggr)
\end{aligned}
&\mu \frac{1}{r}
\Biggl[\frac{\partial u_r}{\partial \theta}
+ r^2 \frac{\partial }{\partial r} \biggl( \frac{u_\theta }{r} \biggr) \Biggr] \\
&=\mu \biggl(\frac{1}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta}
+\frac{\partial u_\theta}{\partial r}
-\frac{u_\theta}{r}
\biggr)
\end{aligned}
$r\phi$成分
\begin{aligned}
&\mu \frac{1}{r\sin\theta}
\Biggl[\frac{\partial u_r}{\partial \phi}
+ r^2\sin^2\theta
\frac{\partial }{\partial r} \Biggl(\frac{u_\phi}{r\sin\theta}\Biggr) \Biggr] \\
&=\mu \Biggl( \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial u_r}{\partial \phi}
+ \frac{\partial u_\phi}{\partial r}
-\frac{u_\phi}{r}
\Biggr)
\end{aligned}
&\mu \frac{1}{r\sin\theta}
\Biggl[\frac{\partial u_r}{\partial \phi}
+ r^2\sin^2\theta
\frac{\partial }{\partial r} \Biggl(\frac{u_\phi}{r\sin\theta}\Biggr) \Biggr] \\
&=\mu \Biggl( \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial u_r}{\partial \phi}
+ \frac{\partial u_\phi}{\partial r}
-\frac{u_\phi}{r}
\Biggr)
\end{aligned}
円筒座標
計量テンソル\begin{aligned}
\bigl(g^\prime_{ij}\bigr)
&=\bigl(\boldsymbol{e}^\prime_i \cdot \boldsymbol{e}^\prime_j \bigr)_{ij}\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&r^2&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}\\
\bigl(g^{\prime\,ij}\bigr)
&=\bigl(g^\prime_{ij}\bigr)^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1/r^2&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
を代入することで各成分が得られる．\bigl(g^\prime_{ij}\bigr)
&=\bigl(\boldsymbol{e}^\prime_i \cdot \boldsymbol{e}^\prime_j \bigr)_{ij}\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&r^2&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}\\
\bigl(g^{\prime\,ij}\bigr)
&=\bigl(g^\prime_{ij}\bigr)^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1/r^2&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
他の成分も同じ方法で計算できる．
$rr$成分
\begin{aligned}
&\mu
\Biggl(\frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{\partial u_r}{\partial r} \Biggr)
+ \lambda \mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u} \\
&=2\mu \frac{\partial u_r}{\partial r} + \lambda \mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u} \\
&=2\mu\biggl(\frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{\nu}{1 - 2\nu} \mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u} \biggr)
\end{aligned}
&\mu
\Biggl(\frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{\partial u_r}{\partial r} \Biggr)
+ \lambda \mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u} \\
&=2\mu \frac{\partial u_r}{\partial r} + \lambda \mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u} \\
&=2\mu\biggl(\frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{\nu}{1 - 2\nu} \mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u} \biggr)
\end{aligned}
$r\theta$成分
\begin{aligned}
&\mu \frac{1}{r}
\Biggl[\frac{\partial u_r}{\partial \theta}
+ r^2 \frac{\partial }{\partial r} \biggl( \frac{u_\theta }{r} \biggr) \Biggr] \\
&=\mu \biggl(\frac{1}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta}
+\frac{\partial u_\theta}{\partial r}
-\frac{u_\theta}{r}
\biggr)
\end{aligned}
&\mu \frac{1}{r}
\Biggl[\frac{\partial u_r}{\partial \theta}
+ r^2 \frac{\partial }{\partial r} \biggl( \frac{u_\theta }{r} \biggr) \Biggr] \\
&=\mu \biggl(\frac{1}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta}
+\frac{\partial u_\theta}{\partial r}
-\frac{u_\theta}{r}
\biggr)
\end{aligned}
$rz$成分
\begin{aligned}
&\mu \biggl(\frac{\partial u_r}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial r} \biggr)
\end{aligned}
&\mu \biggl(\frac{\partial u_r}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial r} \biggr)
\end{aligned}
参考文献/記事
- [1]振動・波動 (基礎物理学選書 8)：$\text{\sect} 6.7$弾性波において，等方性の弾性体のフックの法則についての記述がある．
- [2]場の古典論(原書第6版) (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)：テンソル演算が非常に参考になります．
- [3]ラメ定数 - Wikipedia（英語版：Lamé parameters - Wikipedia）
