POINT
- 基底の変換則から，高階のテンソルの変換則が導かれる．
- 導出した変換則を一覧として整理した．
以前の記事で，
- 「線形空間$V$の基底・双対基底の変換則」から，自然に「反変・共変ベクトルの変換則」が導かれること
を示しました．この議論を一般化すれば，「高階のテンソルの変換則」も全く同様に理解することができます．
反変・共変ベクトルの変換則〜双対空間から理解する - Notes_JP
一般のテンソルの定義
一般のテンソルは，線形空間の「テンソル積」の元として定義されます．テンソル積とその性質
体$K$上の線形空間$V$, $W$を与えたとき，次の性質を持つ線形空間$V\otimes W$が存在します．この$V\otimes W$を，$V$と$W$のテンソル積と呼びます（体について知らなければ，「実線形空間：$K=\mathbb{R}$」や「複素線形空間：$K=\mathbb{C}$」で考えて下さい）．- $V\otimes W$の任意の元は，$v\in V$と$w \in W$を用いて「$v\otimes w$」と表される．
- （つまり，「$(v,w)\mapsto v\otimes w$という写像」の像として表される）
- （上の写像は）双線形性をもつ．つまり，以下が成立する：
$1.\quad (av_1+bv_2)\otimes w =a(v_1\otimes w)+b(v_2\otimes w) $
$\qquad (a,b\in K,\;v_1,v_2\in V,\;w\in W)$
$2.\quad v\otimes (aw_1+bw_2) =a(v\otimes w_1)+b(v\otimes w_2) $
$\qquad (a,b\in K,\;v\in V,\;w_1,w_2\in W)$ - $x_1,...,x_n$を$V$の基底，$y_1,...,y_m$を$W$の基底とする．
- このとき$\{x_i\otimes y_j\,|\, i=1,...n,\,j=1,...,m\,\}$は$V\otimes W$の基底となる．
- 従って，$\mathrm{dim\,}\left(V\otimes W\right)=\mathrm{dim\,}V\cdot\mathrm{dim\,}W$
$p$階反変$q$階共変テンソルの定義
線形空間$V$と，その双対空間$V^*$のテンソル積からえられる線形空間をテンソル空間といいます．また，以下で定義されるテンソル空間$T_q^{\;p}(V)$の元を，$(p,q)$型テンソルまたは$p$階反変$q$階共変テンソルと呼びます．
\begin{aligned}
T_q^{\;p}(V)=\overset{p}{\overbrace{V\otimes\cdots\otimes V}}\otimes \underset{q}{\underbrace{V^*\otimes\cdots\otimes V^*}}
\end{aligned}
T_q^{\;p}(V)=\overset{p}{\overbrace{V\otimes\cdots\otimes V}}\otimes \underset{q}{\underbrace{V^*\otimes\cdots\otimes V^*}}
\end{aligned}
$p$階反変$q$階共変テンソルの変換則
それでは，$V$の基底を\begin{aligned}
e^\prime_i=\alpha^j_{\; i}e_j
\end{aligned}
と変換するとき，$p$階反変$q$階共変テンソルがどのような変換則に従うのか見てみましょう．e^\prime_i=\alpha^j_{\; i}e_j
\end{aligned}
基底の変換則
$V$の基底を$e_1,...,e_n$，その双対基底を$f^1,...,f^n$で表すと，$T_q^{\;p}(V)$の基底は\begin{aligned}
&t_{i_1,...,i_p}^{\;\;\;\;\;\;\;j_1,...,j_q}=e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}\otimes f^{j_1}\otimes\cdots\otimes f^{j_q}\\
&(1\leq i_1,...,i_p,j_1,...,j_q\leq n)
\end{aligned}
で与えられます．&t_{i_1,...,i_p}^{\;\;\;\;\;\;\;j_1,...,j_q}=e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}\otimes f^{j_1}\otimes\cdots\otimes f^{j_q}\\
&(1\leq i_1,...,i_p,j_1,...,j_q\leq n)
\end{aligned}
ここで，双対基底の変換則は，$\left(\alpha^i_{\; j}\right)$の逆行列$\left(\beta^i_{\; j}\right)$を用いて，
\begin{aligned}
f^{\prime i}=\beta^i_{\; j}f^j
\end{aligned}
と表されることを思い出しましょう．詳しくは以下の記事を参照して下さい：f^{\prime i}=\beta^i_{\; j}f^j
\end{aligned}
反変・共変ベクトルの変換則〜双対空間から理解する - Notes_JP
従って，基底$t_{i_1,...,i_p}^{\;\;\;\;\;\;\;j_1,...,j_q}$の変換則は以下で与えられることがわかります：
$p$階反変$q$階共変テンソルの「基底の変換則」
\begin{aligned}
&t_{ i_1,...,i_p}^{\prime\;\;\;\;\;\;j_1,...,j_q} \\
&=\alpha^{k_1}_{\; i_1}\cdots\alpha^{k_p}_{\; i_p}
\beta^{j_1}_{\; l_1}\cdots\beta^{j_q}_{\; l_q}
t_{k_1,...,k_p}^{\;\;\;\;\;\;\;l_1,...,l_q}
\end{aligned}
&t_{ i_1,...,i_p}^{\prime\;\;\;\;\;\;j_1,...,j_q} \\
&=\alpha^{k_1}_{\; i_1}\cdots\alpha^{k_p}_{\; i_p}
\beta^{j_1}_{\; l_1}\cdots\beta^{j_q}_{\; l_q}
t_{k_1,...,k_p}^{\;\;\;\;\;\;\;l_1,...,l_q}
\end{aligned}
成分の変換則
$T_q^{\;p}(V)$の任意の元は\begin{aligned}
\xi_{j_1,...,j_q}^{\;\;\;\;\;\;\;i_1,...,i_p} t_{i_1,...,i_p}^{\;\;\;\;\;\;\;j_1,...,j_q}
\qquad\left(\xi_{j_1,...,j_q}^{\;\;\;\;\;\;\;i_1,...,i_p}\in K\right)
\end{aligned}
と表されます（$\displaystyle\sum_{\substack{i_1,...,i_p, \\ j_1,...,j_q}}$を省略する，Einsteinの規約を用いています）．\xi_{j_1,...,j_q}^{\;\;\;\;\;\;\;i_1,...,i_p} t_{i_1,...,i_p}^{\;\;\;\;\;\;\;j_1,...,j_q}
\qquad\left(\xi_{j_1,...,j_q}^{\;\;\;\;\;\;\;i_1,...,i_p}\in K\right)
\end{aligned}
従って，上で求めた基底の変換則から
\begin{aligned}
&\xi_{j_1,...,j_q}^{\;\;\;\;\;\;\;i_1,...,i_p} t_{i_1,...,i_p}^{\;\;\;\;\;\;\;j_1,...,j_q}\\
&=\beta^{k_1}_{\; i_1}\cdots\beta^{k_p}_{\; i_p} \alpha^{j_1}_{\; l_1}\cdots\alpha^{j_q}_{\; l_q} \xi_{j_1,...,j_q}^{\;\;\;\;\;\;\;i_1,...,i_p}
t_{k_1,...,k_p}^{\prime\;\;\;\;\;\;l_1,...,l_q}
\end{aligned}
となります．これにより，成分の変換則がわかります：&\xi_{j_1,...,j_q}^{\;\;\;\;\;\;\;i_1,...,i_p} t_{i_1,...,i_p}^{\;\;\;\;\;\;\;j_1,...,j_q}\\
&=\beta^{k_1}_{\; i_1}\cdots\beta^{k_p}_{\; i_p} \alpha^{j_1}_{\; l_1}\cdots\alpha^{j_q}_{\; l_q} \xi_{j_1,...,j_q}^{\;\;\;\;\;\;\;i_1,...,i_p}
t_{k_1,...,k_p}^{\prime\;\;\;\;\;\;l_1,...,l_q}
\end{aligned}
$p$階反変$q$階共変テンソルの「成分の変換則」
\begin{aligned}
&\xi_{j_1,...,j_q}^{\prime\;\;\;\;\;\;i_1,...,i_p} \\
&=\alpha^{l_1}_{\; j_1}\cdots\alpha^{l_q}_{\; j_q}
\beta^{i_1}_{\; k_1}\cdots\beta^{i_p}_{\; k_p}
\xi_{l_1,...,l_q}^{\;\;\;\;\;\;\;k_1,...,k_p}
\end{aligned}
&\xi_{j_1,...,j_q}^{\prime\;\;\;\;\;\;i_1,...,i_p} \\
&=\alpha^{l_1}_{\; j_1}\cdots\alpha^{l_q}_{\; j_q}
\beta^{i_1}_{\; k_1}\cdots\beta^{i_p}_{\; k_p}
\xi_{l_1,...,l_q}^{\;\;\;\;\;\;\;k_1,...,k_p}
\end{aligned}
【まとめ】変換則一覧
上で得られた結果を，一覧表にしてみましょう．但し，以下で記号を定めます：
- $V$：体$K$上の$n$次元線形空間，$V^*$：$V$の双対空間．
- $V$の基底：$e_1,...,e_n$，その双対基底：$f^1,...,f^n$．
- $\left(\beta^i_{\; j}\right)$：$\left(\alpha^i_{\; j}\right)$の逆行列．
$V$の基底を
\begin{aligned}
e^\prime_i=\alpha^j_{\; i}e_j
\end{aligned}
と変換するときの変換則は下表でまとめられます：e^\prime_i=\alpha^j_{\; i}e_j
\end{aligned}
| 対象 | 変換則 |
|---|---|
| $V$の基底$\{e_i\}_i$ | $e^\prime_i=\alpha^j_{\; i}e_j$ |
| $\{e_i\}_i$の双対基底$\{f^i\}_i$ | $f^{\prime i}=\beta^i_{\; j}f^j$ |
| $p$階反変$q$階共変テンソルの基底$\left\{t_{i_1,...,i_p}^{\;\;\;\;\;\;\;j_1,...,j_q}\right\}$ | \begin{aligned}&t_{ i_1,...,i_p}^{\prime\;\;\;\;\;\;j_1,...,j_q}\\&=\alpha^{k_1}_{\; i_1}\cdots\alpha^{k_p}_{\; i_p} \beta^{j_1}_{\; l_1}\cdots\beta^{j_q}_{\; l_q} t_{k_1,...,k_p}^{\;\;\;\;\;\;\;l_1,...,l_q}\end{aligned} |
| 反変ベクトル$x=v^i e_i \in V$の成分$v^i$ | $v^{\prime i}=\beta^i_{\; j}v^j$ |
| 共変ベクトル$\varphi=u_i f^i \in V^*$の成分$u_i$ | $u_i^\prime=\alpha^j_{\; i} u_j$ |
| $p$階反変$q$階共変テンソル$z=\xi_{j_1,...,j_q}^{\;\;\;\;\;\;\;i_1,...,i_p} t_{i_1,...,i_p}^{\;\;\;\;\;\;\;j_1,...,j_q}\in T_q^{\;p}(V)$の成分$\xi_{j_1,...,j_q}^{\;\;\;\;\;\;\;i_1,...,i_p} $ | \begin{aligned}&\xi_{j_1,...,j_q}^{\prime\;\;\;\;\;\;i_1,...,i_p}\\&=\alpha^{l_1}_{\; j_1}\cdots\alpha^{l_q}_{\; j_q} \beta^{i_1}_{\; k_1}\cdots\beta^{i_p}_{\; k_p} \xi_{l_1,...,l_q}^{\;\;\;\;\;\;\;k_1,...,k_p}\end{aligned} |
参考文献
- [1]一般相対論入門：基底・双対基底の変換則から，テンソルの成分の変換則を導く」方式を取っている書籍です．
- [2]ジョルダン標準形・テンソル代数 (岩波基礎数学選書)：テンソルや外積代数についてコンパクトにまとめられています．テンソルの詳しい導入や，定理の証明を知りたい場合は本書がおすすめです．
- [3]線形代数の世界―抽象数学の入り口：テンソルだけでなく，線形代数全般の内容を含む教科書です．
テンソル積の部分では，「物理で使われる用語」にも触れています．例えば，- 余談74：応力テンソルが「1階共変1階反変のテンソル場」となる理由．
- 余談77：物理では，テンソルの成分を「テンソル」と呼ぶことが多いこと．
- 余談78：電場が極性ベクトル場，磁束密度が軸性ベクトル場となること．
