数学-線形代数
2次元回転行列 3次元回転行列 関連した話題 2次元回転行列考え方が分かれば，覚えることなく簡単に導出できるようになります． 例えば，2次元回転行列$R$は， 図をかくと$R \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\textcolor{blue}{\cos\theta…
3次元回転行列も，以下の2次元回転行列と全く同じ方法で導出できます． 【関連記事】 座標軸周りの回転3次元回転行列（$x,y,z$軸周り）\begin{aligned} \begin{cases} \, x\text{軸回り:} & \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos\theta&-\sin\theta\\ 0&\sin\thet…
回転行列をnumpyで実装します．回転行列については以下の記事を参照してください． 2次元Python (numpy) import numpy as np def rot(vec, theta): vec = vec.reshape(-1, 1) cos, sin = np.cos(theta), np.sin(theta) R = np.array([ [cos, - sin], [sin, c…
POINT よく使う行列の性質をまとめます． 【関連記事】 ベクトル解析の公式 - Notes_JP 対称行列 逆行列 逆行列 クラメルの公式 例：2×2行列 式変形 重み 対称行列${}^t \!A = A$（$a_{ji}=a_{ij}$）を満たす行列を「対称行列」と呼びます．逆行列対称行列の…
【関連記事】 主成分回帰（PCR）・部分最小二乗法（PLS） - Notes_JP 主成分分析（PCA）とは あらすじ 考え方（分散の最大化） 考え方（対角化） 元データの分解 データ行列を使った表現 特異値分解との関係 参考文献 主成分分析（PCA）とはあらすじ1回の測…
POINT Savitzky-Golayの係数を計算するsavgol_coeffsの内容に関するメモ． scipy.signal.savgol_coeffs — SciPy v1.12.0 Manualの計算メモ．思ったよりも単純ではなかった．Referencesの"Ying, and Jing Bai. 2005. Savitzky-Golay smoothing and differenti…
POINT 射影の基本的性質． ベクトルのとても基本的，かつ便利な考え方です．この記事で紹介するのは，慣れればどれも当たり前に感じられる性質です． この考え方は，フーリエ級数などでも役に立ちます． 射影 基底による展開 直交成分 グラム・シュミットの…
POINT 座標軸を回転させるとき，「基底は同じ方向に回転」し，「ベクトルは逆方向に回転」する． 基底の変換則，ベクトルの変換則を導く． 結果をまとめておきます（$R(\theta)$は回転行列）． 変換則(ベクトル表記) 変換則(成分表記) 基底 $\boldsymbol{e}_…
3点を通る円POINT 円の通る3点から中心・半径を求める一般式を導出する． 計算フォーム・Excelにコピペして使えるフォーマットもあります． 単純な「連立方程式」の問題ですが，一般解は少し複雑な形になります． 計算フォーム Excel用フォーマット 導出 円…
POINT テンソルは「ベクトル（と転置ベクトル）」をいくつか与えると「値」を返す関数として理解できる． 例：行列$M$はテンソルである．なぜなら「ベクトル$\boldsymbol{v}$,$^{t}\boldsymbol{w}$」を与えると「値：${}^t\boldsymbol{w}M\boldsymbol{v}$」…
POINT ざっくり言えば，「テンソルの成分」と呼ばれる量を「行列の形」に並べると（表記や計算で）便利なことがある，というのが一つの答え．背景には，もう少し深い性質がある． 主な混乱の原因は，「行列の成分」が「2階のテンソル（1階反変1階共変テンソ…
POINT 基底の変換則から，高階のテンソルの変換則が導かれる． 導出した変換則を一覧として整理した． 以前の記事で， 「線形空間$V$の基底・双対基底の変換則」から，自然に「反変・共変ベクトルの変換則」が導かれること を示しました．この議論を一般化す…
POINT 双対空間は「相対論の共変ベクトル」や「量子力学のブラベクトル」として特に説明なく導入されている． 双対空間を学べば，共変ベクトルの変換則が自然に導かれる． ある線形空間 (ベクトル空間) に対し定義される「双対空間」は，物理の様々な場面で …
POINT ユークリッド空間の距離を保つ変換は「回転」と「反転」で表される． ミンコフスキー空間の距離を保つ変換はLorentz変換となる． 距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることはよく知られています．但し，これは「ユークリッド空間」での話です…
回転行列をベクトルに作用させると，原点中心に回転したベクトルが得られる．POINT 回転行列は，ベクトルを原点周りに回転したベクトルに写す． 回転行列（2次元・3次元）は図をかくと簡単に導出できる． 回転行列を簡単に導出する方法を紹介します． 【関連…
POINT 対角化の操作は，基底の変換（座標変換）に相当する． 行列の対角化の公式を「行列表示」の考え方で簡単に導く． 対角行列 定義 性質 対角化 対角化とは？ なぜ必要？ $P^{-1}AP$の意味は？ 行列表示によるアプローチ 対角行列であるための条件 対角行…
POINT 行列表示とは，ベクトル空間の基底を単位ベクトルとみなすこと． 複素数の行列表現・四元数の行列表現・Pauli行列を簡単に導出できることを確かめる． 線形代数や量子力学では「線形写像/演算子を行列表示しなさい」という問題に出会います．この記事…
