数学-線形代数

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3点を通る円の中心と半径

3点を通る円POINT 円の通る3点から中心・半径を求める一般式を導出. 導出した式で計算フォームを作成. 昔,Excelに数式ベタ打ちで円の半径を求めた際の計算をメモしておきます.単純な「連立方程式」の問題ですが,一般解はそこまで単純な形になりません.…

テンソルは関数として理解できる

POINT テンソルは「ベクトル(と転置ベクトル)」をいくつか与えると「値」を返す関数として理解できる. 例:行列$M$はテンソルである.なぜなら「ベクトル$\boldsymbol{v}$,$^{t}\boldsymbol{w}$」を与えると「値:${}^t\boldsymbol{w}M\boldsymbol{v}$」…

テンソルと行列が混同される理由

POINT 「行列の成分」が「2階のテンソル(1階反変1階共変テンソル)の成分」になることが混乱の原因. この性質は「テンソルの商法則」の特別な場合に相当する. テンソルを関数と捉えて「行列がテンソルとなること」を示す方法もある. テンソルと行列の違…

テンソルの変換則とその導出

POINT 基底の変換則から,高階のテンソルの変換則が導かれる. 導出した変換則を一覧として整理した. 以前の記事で, 「線形空間$V$の基底・双対基底の変換則」から,自然に「反変・共変ベクトルの変換則」が導かれること を示しました.この議論を一般化す…

反変・共変ベクトルの変換則〜双対空間から理解する

POINT 双対空間は「相対論の共変ベクトル」や「量子力学のブラベクトル」として特に説明なく導入されている. 双対空間を学べば,共変ベクトルの変換則が自然に導かれる. ある線形空間 (ベクトル空間) に対し定義される「双対空間」は,物理の様々な場面で …

等長変換:回転・反転・Lorentz変換

POINT ユークリッド空間の距離を保つ変換は「回転」と「反転」で表される. ミンコフスキー空間の距離を保つ変換はLorentz変換となる. 距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることはよく知られています.但し,これは「ユークリッド空間」での話です…

回転行列の導出(2次元・3次元)

回転行列POINT 回転行列(2次元・3次元)を簡単に導出する方法の紹介. ポイントは「行列は単位ベクトルの変換先を並べたものである」こと. 同じ方法で3次元回転行列を始め,どんな行列も導出できる. 回転行列とは,ベクトルに作用させると「原点中心に回…

対角化を行列表示で理解する

POINT 行列の対角化の公式を「行列表示」の考え方で簡単に導く. 対角化の操作は,行列表示の基底の変換に相当する. 行列表示を学ぶと,対角化が「基底を取り直す」操作であることが理解できます. 対角化とは? 対角行列であるための条件 対角行列の求め方…

【行列表示】複素数・四元数・Pauli行列

POINT 行列表示とは,ベクトル空間の基底を単位ベクトルとみなすこと. 複素数の行列表現・四元数の行列表現・Pauli行列を簡単に導出できることを確かめる. 線形代数や量子力学では「線形写像/演算子を行列表示しなさい」という問題に出会います.この記事…