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黒体輻射・熱放射（輻射）

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POINT

  • Planckの輻射公式・Stefan-Boltzmannの法則・形態係数の導出

黒体輻射（Black body radiation）について整理します．

機会があれば，場の理論的なアプローチも扱いたいと思っています．

黒体とは

あらゆる電磁波を吸収する物体を黒体 (Black body)と呼びます．例えば，「空洞」に，空洞に比べ小さな穴を開けたものは黒体とみなせます．この「空洞」で電磁波の輻射について考察したのがPlanckです．


注意
現実には完全な黒体は存在せず，吸収することのできる電磁波のエネルギーは黒体よりも少ない量になります．黒体と比較して現実の物体が吸収できるエネルギーの割合は放射率 (emissivity) $\varepsilon$ *1として定義されます．

Planckの輻射公式

『空洞の電磁場の系が熱平衡状態にある場合（カノニカル分布）の「エネルギー密度」』を与える公式を，Planckの輻射公式と呼びます．

ここで，空洞とは温度$T$の熱浴に接する，中身が真空の箱のことを指します．空洞は真空なので物質は無いですが，電磁場は存在し得えます．以下では，空洞の体積を$V$とします．

さっそく，電磁場が各振動数からなる独立な調和振動子の集まりとみなせること（*2）にもとづいて，エネルギー密度を計算しましょう．

エネルギー期待値（1モード）

振動数$\nu$の電磁場がとり得るエネルギーは
\begin{aligned}
E_n=n\cdot h\nu\quad(n=0,1,2,...)
\end{aligned}
です(Planck, Einstein)（*3）．

よって，単一モード電磁場（角振動数$\omega=2\pi\nu$）のエネルギー期待値は

\begin{aligned}
\langle E\rangle
&=\sum_{n=0}^\infty nh\nu\frac{\exp\left(-nh\nu/k_BT\right)}{\sum_{n=0}^\infty \exp\left(-nh\nu/k_BT\right)}\\
&=\frac{\hbar\omega}{\exp\left(\hbar\omega/k_BT\right)-1}
\end{aligned}
と計算できます．

状態数

次に，モード数を計算しましょう．

箱が1片の長さ$L$の立方体であるとすれば，境界条件から

\begin{aligned}
k_i=m_i\cdot \frac{2\pi}{L}\qquad(i=x,y,x,\quad m_i=0,1,2,...)
\end{aligned}
だけが許されます．よって，$|\boldsymbol{k}|\leq k$にあるモード数は
\begin{aligned}
2\cdot \biggl[\int_{|\boldsymbol{k}|\leq k} \mathrm{d}^3k\Bigl/(2\pi/L)^3\biggr]
= V\frac{k^3}{3\pi^2}
\end{aligned}
です（電磁波は横波であり，2つの偏光の自由度を持つことに注意）．状態密度は$k$で微分することで求められ，
\begin{aligned}
V\frac{k^2}{\pi^2}
=V\frac{\omega^2}{c^2\pi^2}
\end{aligned}
となります．

エネルギー密度 (Planckの輻射公式)

以上より，エネルギー密度（単位体積・単位角振動数当たりのエネルギー）が以下の式で与えられることがわかりました：
Planckの輻射公式
\begin{aligned}
u(\omega,T)
&=\frac{\omega^2}{c^2\pi^2}
\cdot\frac{\hbar\omega}{\exp\left(\hbar\omega/k_BT\right)-1}\\
&=\frac{\hbar}{c^2\pi^2}\frac{\omega^3}{\exp\left(\hbar\omega/k_BT\right)-1}
\tag{1}
%\label{eq:PlanckFormula}
\end{aligned}

Stefan-Boltzmannの法則

電磁場の全エネルギーは，全周波数について積分するすることで得られます：
Stefan-Boltzmannの法則
\begin{aligned}
U(T)
&=V\int_0^\infty u(\omega,T)\,\mathrm{d}\omega\\
&=V \cdot \frac{4}{c}\sigma\textcolor{red}{T^4},
\qquad
\left(\sigma=\frac{\pi^2 k_B^4}{60c^2\hbar^3}\right)
\end{aligned}
ここで，$\sigma$はStefan-Boltzmann定数と呼ばれます．

面から面への伝熱

空洞放射

先の議論によって，熱平衡状態にある空洞に小さな穴を開けると，式(1)だけのエネルギーを放射し続けることがわかりました．

空洞の穴の面$S_i(s_1,t_1)$から面面$S_2(s_2,t_2)$への放射を考えましょう．今，面の法線$\boldsymbol{n}_i(s_i,t_i)$と放射方向 ($\hat{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{r}/r$) のなす角度を$\theta_i$とします$(i=1,2)$．

このとき，空洞から面$S_2(s_2,t_2)$への単位時間あたりの放射エネルギーは

\begin{aligned}
&\int_0^\infty\mathrm{d}S_2\int_{S_1} \int_{S_2}
\textcolor{blue}{u(\omega,T)c\hat{\boldsymbol{r}}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{S_1}}}\frac{\hat{\boldsymbol{r}}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{S_2}}}{4\pi r^2}\\
&=\frac{\sigma T^4}{\pi}
\int_{S_1} \int_{S_2}
\dfrac{\cos\theta_1 \cos\theta_2}{r^2}
\,\mathrm{d}S_2\mathrm{d}S_1
\end{aligned}
となります．$u$はあらゆる方向の電磁波に対するエネルギー密度です．従って$\mathrm{d}{{S_2}}$を通過する電磁波のエネルギー密度が $u\hat{\boldsymbol{r}}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{S_2}}/4\pi r^2$ となることを用いました（*4, *5）

形態係数

以上より，面$S_i$から面$S_j$へ伝わる，単位時間あたりのエネルギーが
\begin{aligned}
Q_{ij}=
\sigma T^4
\int_{S_i} \int_{S_j}
\dfrac{\cos\theta_i \cos\theta_j}{\pi r^2}
\,\mathrm{d}S_j\mathrm{d}S_i
\end{aligned}
で与えられることがわかりました．

いま，形態係数を

形態係数
\begin{aligned}
F_{ij}=
\int_{S_i} \int_{S_j}
\dfrac{\cos\theta_i \cos\theta_j}{\pi r^2}
\,\mathrm{d}S_j\mathrm{d}S_i
\Bigl/
A_i,\qquad
A_i=\int_{S_i}\mathrm{d}S_i
\end{aligned}
で定義すると
\begin{aligned}
Q_{ij}
=\sigma T^4 A_iF_{ij}
\end{aligned}
と表すことができます．

また，形態係数の定義から簡単にわかるように，

形態係数の性質1
\begin{aligned}
A_iF_{ij}=A_jF_{ji}
\end{aligned}
が成立します．

$Q_{ij}$は面$S_i$から面$S_j$へ伝わる，単位時間あたりのエネルギーでした．
よって，すべての面$S_j$に関して総和を取れば$A_i$から発せられる総エネルギーに等しく，

\begin{aligned}
\sum_jQ_{ij}=\sigma T^4 A_i
\end{aligned}
が成り立ちます．これより，
形態係数の性質2
\begin{aligned}
\sum_jF_{ij}=1
\end{aligned}
がわかります．

参考文献

*1:定義から，$0\leq\varepsilon\leq 1$．

*2:例えば次の方法により示される：

  1. 電磁場を平面波展開し，エネルギーの表式を求める(統計力学 (岩波基礎物理シリーズ 7))．
  2. 自由電磁場の量子化で求めたHamiltonianから(量子力学(2) (KS物理専門書))．

*3:Planckが黒体輻射の文脈で考え，Einsteinが光の一般的性質へと拡張した．

*4:面要素$\mathrm{d}S_2$を見込む立体角

\begin{aligned} \mathrm{d}\Omega =\frac{\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S_2}}{r^3} \end{aligned}
を用いて書けば ($r=r(s_1,t_1,s_2,t_2)$)，
\begin{aligned} &\int_0^\infty\mathrm{d}\omega\int_{S_1} \int_{\Omega} u(\omega,T) \cdot \textcolor{blue}{c\cos\left[\theta_1(s_1,t_1,s_2,t_2)\right]}\frac{\mathrm{d}\Omega}{4\pi} \,\textcolor{blue}{\mathrm{d}S_1}\\ &=\frac{\sigma T^4}{\pi} \int_{S_1} \int_{\Omega} \cos\left[\theta_1(s_1,t_1,s_2,t_2)\right]\,\mathrm{d}\Omega \,\mathrm{d}S_1 \end{aligned}

*5:$r,\theta_1,\theta_2$が$s_1,t_1,s_2,t_2$の関数であることに注意！

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