POINT
- テンソル演算で得られた結果を，ベクトル解析の記法に書き換える方法．
- テンソル解析ではベクトルの変換則を$\displaystyle A^{\prime\mu}=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\nu}A^\nu$で定めるが，この計算で得られる成分はベクトル解析で扱う成分とは異なる．
- 例えば，「テンソル演算の微分∂」はベクトル解析では「ナブラ∇」に対応する．
テンソル演算を使うと，座標変換などの計算を簡単に行うことができます．但し，テンソル演算で導いた結果をベクトル解析の表式に変換する場合には注意が必要です．
なぜなら，テンソル演算で用いる$\displaystyle A^{\prime\mu}=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\nu}A^\nu$で定義された$A^{\prime\mu}$は，ベクトル解析で使うベクトルの成分とは一致しないからです．例えば，3次元極座標のベクトルの成分は$\boldsymbol{A}^\prime =A_r\boldsymbol{e}_r$$+A_\theta\boldsymbol{e}_\theta$$+A_\phi \boldsymbol{e}_\phi$と表しますが，このとき
\begin{aligned}
A^{\prime r}=A_r ,\quad
A^{\prime \theta}=\frac{A_\theta}{ r },\quad
A^{\prime \phi}=\frac{A_\phi}{ r\sin\theta }
\end{aligned}
という関係が成立します（左辺がテンソルの成分，右辺がベクトル解析で使う成分）．この関係を一般化するとA^{\prime r}=A_r ,\quad
A^{\prime \theta}=\frac{A_\theta}{ r },\quad
A^{\prime \phi}=\frac{A_\phi}{ r\sin\theta }
\end{aligned}
\begin{aligned}
A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
=\frac{A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \sqrt{g^\prime_{\mu\mu}} } .
\end{aligned}
となります．この関係式は，ベクトル解析では規格化された基底，テンソル解析では規格化されていない基底を用いることが背景にあります．以上を微分演算子の観点から見ると「ベクトル解析で使われるナブラ∇」と「テンソル解析で使われる微分∂」の関係性になります．A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
=\frac{A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \sqrt{g^\prime_{\mu\mu}} } .
\end{aligned}
この記事の内容の応用例は，以下の記事で与えています：
注：本記事の内容は，ランダウの「場の古典論」など，いくつかの文献で説明があります．詳しくは末尾の「参考文献」を見てください．
「テンソル演算」と「ベクトル解析」のベクトルの関係
まず結論から．以下，これらの関係式を導出していきます．CONCLUSION
$\{\boldsymbol{e}_\mu \}_\mu$をデカルト座標系$(x^\mu)$の基底とすると，曲線座標系($x^{\prime\mu}$)での（テンソル解析で用いる）基底は$\boldsymbol{e}^\prime_\mu=\dfrac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} \boldsymbol{e}_\nu$となる．このとき，
$\{\boldsymbol{e}_\mu \}_\mu$をデカルト座標系$(x^\mu)$の基底とすると，曲線座標系($x^{\prime\mu}$)での（テンソル解析で用いる）基底は$\boldsymbol{e}^\prime_\mu=\dfrac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} \boldsymbol{e}_\nu$となる．このとき，
- ベクトル解析で曲線座標を扱うときの基底は$\,\hat{\boldsymbol{e}}^\prime_\mu = \boldsymbol{e}^\prime_\mu \left/\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \| \right. \,$と表せる.
- テンソル解析での反変ベクトルの成分を$A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}$，ベクトル解析での反変ベクトルの成分を$A_{\text{vector}}^{\prime\mu}$と書く（つまり，$A_{\text{tensor}}^{\prime\mu} \boldsymbol{e}^\prime_\mu =A_{\text{vector}}^{\prime\mu} \hat{\boldsymbol{e}}^\prime_\mu$）とき，\begin{aligned}
A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
=\frac{A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|} .
\end{aligned} - テンソル解析での共変ベクトルの成分を$A_{\text{tensor},\mu}^{\prime}$，ベクトル解析での共変ベクトルの成分を$A_{\text{vector},\mu}^\prime$と書く（つまり，$A_{\text{tensor},\mu}^{\prime} \boldsymbol{e}^{\prime\mu} =A_{\text{vector},\mu}^\prime \hat{\boldsymbol{e}}^{\prime\mu}$）とき，\begin{aligned}
A_{\text{tensor},\mu}^{\prime}
=\| \boldsymbol{e}^{\prime}_\mu \| A_{\text{vector},\mu}^{\prime}
\end{aligned} - 座標変換後の微分演算子の間には\begin{aligned}が成立する（つまり，$\left(\boldsymbol{\nabla}^\prime\right)_\mu \neq \partial^\prime_\mu$）．
\left(\boldsymbol{\nabla}^\prime\right)_\mu
=\frac{\partial^\prime_\mu }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}
\end{aligned} - 以下の関係式が成立する：（つまり，一般に$(\partial_\mu A_{\text{tensor}}^{\mu}=) \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}_\text{vector}\neq \boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}$）
\begin{aligned}
\partial^\prime_\mu A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
&=\boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}
+ \partial^\prime_\mu \left( \frac{ 1}{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}\right) A_{\text{vector}}^{\prime\mu} .
\end{aligned}
これらは，テンソル解析の計算とベクトル解析の計算で使っている基底が異なることが根底にあります．物理でテンソルを扱う際の基底の変換則は
\begin{aligned}
\boldsymbol{e}^\prime_\mu
=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} \boldsymbol{e}_\nu
\end{aligned}
で定められます（共変ベクトルと同じ変換則に従う）．したがって，$\left\{\boldsymbol{e}_\mu\right\}_\mu$をデカルト座標系の基底とするとき，座標変換後の基底$\left\{\boldsymbol{e}^\prime_\mu\right\}_\mu$は一般に単位ベクトルにならないことがわかります（後で，極座標の具体例を示します）．\boldsymbol{e}^\prime_\mu
=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} \boldsymbol{e}_\nu
\end{aligned}
（補足：詳しい説明 & 以前の記事との対応）
共変ベクトルの変換則は
\begin{aligned}
A^\prime_\mu
=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} A_\nu
\end{aligned}
で定められます．反変・共変ベクトルの変換則〜双対空間から理解する - Notes_JPで説明したように，共変ベクトル（の成分）と基底の変換則は同じです．したがって，この記事で現れる$\alpha^\nu_{\; \mu}$はA^\prime_\mu
=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} A_\nu
\end{aligned}
\begin{aligned}
\alpha^\nu_{\; \mu}
=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}}
\end{aligned}
であり，基底は\alpha^\nu_{\; \mu}
=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{e}^\prime_\mu
=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} \boldsymbol{e}_\nu
\end{aligned}
と変換することがわかります．\boldsymbol{e}^\prime_\mu
=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} \boldsymbol{e}_\nu
\end{aligned}
基底の違い
まず，ベクトル解析とテンソル解析で扱う基底が異なることを見ていきます．以下では，デカルト座標系以外の一般の曲線座標の記号には$\boldsymbol{e}^\prime_\mu$や$A^{\prime \mu}$のように，「プライム」をつけて表すことにします．
改めて，$\{\boldsymbol{e}^{\prime}_\mu \}_\mu$をテンソル解析で扱う際の曲線座標系（デカルト座標系とは限らない）の基底とします．このとき，
ベクトル解析で使う基底$\{\hat{\boldsymbol{e}}^\prime_\mu \}_\mu$は
で定義されます（添字の和は取らない）．最後の表式は，ベクトル解析で扱う座標変換後の基底と同じ表式ですね．\begin{aligned}
\hat{\boldsymbol{e}}^\prime_\mu
&= \frac{\boldsymbol{e}^\prime_\mu }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|} \\
&= \frac{\partial \boldsymbol{x} }{\partial x^{\prime\mu} }
\,\left / \, \left\| \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial x^{\prime\mu} } \right\| \right.
\end{aligned}
\hat{\boldsymbol{e}}^\prime_\mu
&= \frac{\boldsymbol{e}^\prime_\mu }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|} \\
&= \frac{\partial \boldsymbol{x} }{\partial x^{\prime\mu} }
\,\left / \, \left\| \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial x^{\prime\mu} } \right\| \right.
\end{aligned}
（参考）
- 曲線座標系の計量テンソル$g^\prime_{\mu\nu}=\boldsymbol{e}^\prime_\mu\cdot \boldsymbol{e}^\prime_\nu$を用いれば，$\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \| =\sqrt{g^\prime_{\mu\mu}}$（$\mu$に関する和は取らない）と表せる．
- 計量テンソルについて：
\begin{aligned}より
g^\prime_{\mu\nu} \,\mathrm{d}x^{\prime\mu} \,\mathrm{d}x^{\prime\nu}
&=g_{\mu\nu} \,\mathrm{d}x^\mu \,\mathrm{d}x^\nu \\
&=g_{\alpha\beta}\frac{\partial x^\alpha}{\partial x^{\prime\mu}} \frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\prime\nu}} \,\mathrm{d}x^{\prime\mu} \,\mathrm{d}x^{\prime\nu}
\end{aligned}
\begin{aligned}
g^\prime_{\mu\nu}
&=g_{\alpha\beta}
\frac{\partial x^\alpha}{\partial x^{\prime\mu}}
\frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\prime\nu}} \\
&=\boldsymbol{e}^\prime_\mu\cdot \boldsymbol{e}^\prime_\nu.
\end{aligned} - ベクトル解析で扱う基底が上で表されることがわかったので，ベクトル解析で扱っている（基底$\{\hat{\boldsymbol{e}}^\prime_\mu \}_\mu$で展開された）ベクトルは「反変ベクトル」である．
デカルト座標系の基底$\{\boldsymbol{e}_\mu \}_\mu$の双対基底を$\{\boldsymbol{e}^\mu \}_\mu$で表します．つまり，$\boldsymbol{e}^\mu (\boldsymbol{e}_\nu )=\delta^\mu_\nu$（但し，$\mu=\nu$のときは和を取らない）です．このとき，双対基底を座標変換した$\boldsymbol{e}^{\prime \mu}=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\nu} \boldsymbol{e}^\nu$を考えると，
\begin{aligned}
\boldsymbol{e}^{\prime \mu} (\boldsymbol{e}^{\prime}_\nu )
&=\biggl( \frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\alpha} \boldsymbol{e}^\alpha \biggr)
\biggl( \frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\prime\nu}} \boldsymbol{e}_\beta \biggr) \\
&=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\alpha}
\frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\prime\nu}}
\boldsymbol{e}^\alpha (\boldsymbol{e}_\beta ) \\
&=\delta^\mu_\nu
\end{aligned}
（但し，$\mu=\nu$のときは和を取らない）となることから，\boldsymbol{e}^{\prime \mu} (\boldsymbol{e}^{\prime}_\nu )
&=\biggl( \frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\alpha} \boldsymbol{e}^\alpha \biggr)
\biggl( \frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\prime\nu}} \boldsymbol{e}_\beta \biggr) \\
&=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\alpha}
\frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\prime\nu}}
\boldsymbol{e}^\alpha (\boldsymbol{e}_\beta ) \\
&=\delta^\mu_\nu
\end{aligned}
$\{\boldsymbol{e}^{\prime\mu} \}_\mu$は，座標変換後の基底$\{\boldsymbol{e}^\prime_\mu \}_\mu$の双対基底である
ことがわかりました．一方で，
\begin{aligned}
\boldsymbol{e}^{\prime \mu} (\hat{\boldsymbol{e}}^{\prime}_\nu )
&=\boldsymbol{e}^{\prime \mu}
\biggl(\frac{\boldsymbol{e}^\prime_\nu }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\nu \|} \biggr) \\
&=\frac{1}{\| \boldsymbol{e}^\prime_\nu \|} \delta^\mu_\nu
\end{aligned}
（但し，$\mu=\nu$のときは和を取らない）なので，\boldsymbol{e}^{\prime \mu} (\hat{\boldsymbol{e}}^{\prime}_\nu )
&=\boldsymbol{e}^{\prime \mu}
\biggl(\frac{\boldsymbol{e}^\prime_\nu }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\nu \|} \biggr) \\
&=\frac{1}{\| \boldsymbol{e}^\prime_\nu \|} \delta^\mu_\nu
\end{aligned}
ベクトル解析で使う基底$\left\{\hat{\boldsymbol{e}}^\prime_\mu\right\}_\mu$の双対基底は$\{\hat{\boldsymbol{e}}^{\prime\mu}=\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \| \boldsymbol{e}^{\prime\mu} \}_\mu$（右辺の和は取らない）
であることがわかりました．反変ベクトルの関係式
上で求めた基底の関係式から，反変ベクトル$\boldsymbol{A}^\prime$が- テンソル解析：$\boldsymbol{A}^{\prime} = A_{\text{tensor}}^{\prime\mu} \boldsymbol{e}^{\prime}_\mu$
- ベクトル解析：$\displaystyle \boldsymbol{A}^{\prime} = A_{\text{vector}}^{\prime\mu} \hat{\boldsymbol{e}}^\prime_{\mu} = \frac{A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|} \boldsymbol{e}^\prime_\mu$（3つの添字の和を同時に取る）
\begin{aligned}
A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
=\frac{A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \| \boldsymbol{e}^{\prime}_{\mu} \|}
\end{aligned}
A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
=\frac{A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \| \boldsymbol{e}^{\prime}_{\mu} \|}
\end{aligned}
共変ベクトルの関係式
上で求めた双対基底の関係式から，反変ベクトルの議論と同様に，共変ベクトル$\boldsymbol{A}^\prime$が- テンソル解析：$\boldsymbol{A}^\prime=A_{\text{tensor},\mu}^{\prime} \boldsymbol{e}^{\prime\mu}$
- ベクトル解析：$\displaystyle \boldsymbol{A}^{\prime} = A_{\text{vector},\mu}^{\prime} \hat{\boldsymbol{e}}^{\prime\mu} = A_{\text{vector},\mu}^{\prime} \| \boldsymbol{e}^{\prime}_\mu \| \boldsymbol{e}^{\prime\mu}$（3つの添字の和を同時に取る）
\begin{aligned}
A_{\text{tensor},\mu}^{\prime}
=\| \boldsymbol{e}^{\prime}_\mu \| A_{\text{vector},\mu}^{\prime}
\end{aligned}
A_{\text{tensor},\mu}^{\prime}
=\| \boldsymbol{e}^{\prime}_\mu \| A_{\text{vector},\mu}^{\prime}
\end{aligned}
∇と∂の関係式
上で求めた共変ベクトルの関係式からもわかりますが，丁寧に計算してみます．デカルト座標系では
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\phi
&=\boldsymbol{e}^\mu \bigl(\boldsymbol{\nabla}\bigr)_\mu \phi \\
&=\textcolor{red}{\boldsymbol{e}^{\mu} \partial_{\mu} \phi}
\end{aligned}
であり，これを座標変換すると\boldsymbol{\nabla}\phi
&=\boldsymbol{e}^\mu \bigl(\boldsymbol{\nabla}\bigr)_\mu \phi \\
&=\textcolor{red}{\boldsymbol{e}^{\mu} \partial_{\mu} \phi}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&=\left( \frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\prime\alpha}} \boldsymbol{e}^{\prime\alpha} \right)
\left( \frac{\partial x^{\prime\beta}}{\partial x^\mu} \partial^\prime_\beta \phi^\prime \right) \\
&=\delta_\alpha^\beta \boldsymbol{e}^{\prime\alpha} \partial^\prime_\beta \phi^\prime \\
&=\textcolor{red}{\boldsymbol{e}^{\prime\mu} \partial^{\prime}_{\mu} \phi^{\prime}}
\end{aligned}
となります（赤字同士が等しいことは，$A^\mu B_\mu$が座標変換で不変であるのと同じ計算です）．すでに計算したように，$\hat{\boldsymbol{e}}^{\prime\mu}=\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \| \boldsymbol{e}^{\prime\mu}$であることを用いれば&=\left( \frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\prime\alpha}} \boldsymbol{e}^{\prime\alpha} \right)
\left( \frac{\partial x^{\prime\beta}}{\partial x^\mu} \partial^\prime_\beta \phi^\prime \right) \\
&=\delta_\alpha^\beta \boldsymbol{e}^{\prime\alpha} \partial^\prime_\beta \phi^\prime \\
&=\textcolor{red}{\boldsymbol{e}^{\prime\mu} \partial^{\prime}_{\mu} \phi^{\prime}}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&=\hat{\boldsymbol{e}}^{\prime\mu} \frac{\partial^\prime_\mu \phi^\prime}{\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}
\end{aligned}
（最後の式の和は3つの添字について同時に取る）です．曲線座標系のナブラ$\boldsymbol{\nabla}^\prime$は&=\hat{\boldsymbol{e}}^{\prime\mu} \frac{\partial^\prime_\mu \phi^\prime}{\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{e}^\mu \left( \boldsymbol{\nabla} \right)_\mu
&=\hat{\boldsymbol{e}}^{\prime \mu} \left( \boldsymbol{\nabla}^\prime \right)_\mu
\end{aligned}
を満たす微分演算子として定義されるので，\boldsymbol{e}^\mu \left( \boldsymbol{\nabla} \right)_\mu
&=\hat{\boldsymbol{e}}^{\prime \mu} \left( \boldsymbol{\nabla}^\prime \right)_\mu
\end{aligned}
\begin{aligned}
\bigl(\boldsymbol{\nabla}^\prime\bigr)_\mu
=\frac{\partial^\prime_\mu }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}
\end{aligned}
\bigl(\boldsymbol{\nabla}^\prime\bigr)_\mu
=\frac{\partial^\prime_\mu }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}
\end{aligned}
その他の関係式
上で求めた関係式から，\begin{aligned}
\partial^\prime_\mu A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
&=\partial^\prime_\mu \left( \frac{A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}\right) \\
&=\frac{\partial^\prime_\mu A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}
+ \partial^\prime_\mu \left( \frac{ 1}{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}\right) A_{\text{vector}}^{\prime\mu} \\
&=\boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}
+ \partial^\prime_\mu \left( \frac{ 1}{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}\right) A_{\text{vector}}^{\prime\mu}
\end{aligned}
です．したがって，\partial^\prime_\mu A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
&=\partial^\prime_\mu \left( \frac{A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}\right) \\
&=\frac{\partial^\prime_\mu A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}
+ \partial^\prime_\mu \left( \frac{ 1}{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}\right) A_{\text{vector}}^{\prime\mu} \\
&=\boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}
+ \partial^\prime_\mu \left( \frac{ 1}{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}\right) A_{\text{vector}}^{\prime\mu}
\end{aligned}
\begin{aligned}
& \partial^\prime_\mu \left( \frac{ 1}{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}\right) A_{\text{vector}}^{\prime\mu} =0\\
\Leftrightarrow \,&
\partial^\prime_\mu A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}=\boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}
\end{aligned}
& \partial^\prime_\mu \left( \frac{ 1}{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}\right) A_{\text{vector}}^{\prime\mu} =0\\
\Leftrightarrow \,&
\partial^\prime_\mu A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}=\boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}
\end{aligned}
具体例：極座標
3次元極座標\begin{aligned}
\boldsymbol{x}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
r\sin\theta \cos\phi \\
r\sin\theta \sin\phi \\
r\cos\theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}
に対してベクトル解析の際に使う基底を計算すると，\boldsymbol{x}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
r\sin\theta \cos\phi \\
r\sin\theta \sin\phi \\
r\cos\theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{e}^\prime_r
&=\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial r}
=
\begin{pmatrix}
\sin\theta \cos\phi \\
\sin\theta \sin\phi \\
\cos\theta
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{e}^\prime_\theta
&=\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \theta}
=
\begin{pmatrix}
r\cos\theta \cos\phi \\
r\cos\theta \sin\phi \\
-r\sin\theta
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{e}^\prime_\phi
&=\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \phi}
=
\begin{pmatrix}
-r\sin\theta \sin\phi \\
r\sin\theta \cos\phi \\
0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
なので，$\|\boldsymbol{e}^\prime_r\|=1,\, \|\boldsymbol{e}^\prime_\theta\|=r,\, \|\boldsymbol{e}^\prime_\phi\|=r\sin\theta\,$であることがわかります．したがって，極座標のナブラの成分は\boldsymbol{e}^\prime_r
&=\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial r}
=
\begin{pmatrix}
\sin\theta \cos\phi \\
\sin\theta \sin\phi \\
\cos\theta
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{e}^\prime_\theta
&=\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \theta}
=
\begin{pmatrix}
r\cos\theta \cos\phi \\
r\cos\theta \sin\phi \\
-r\sin\theta
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{e}^\prime_\phi
&=\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \phi}
=
\begin{pmatrix}
-r\sin\theta \sin\phi \\
r\sin\theta \cos\phi \\
0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\begin{aligned}
(\boldsymbol{\nabla}^\prime )_r
&=\frac{\partial^\prime_r }{\| \boldsymbol{e}^\prime_r \|}
=\frac{\partial}{\partial r}\\
(\boldsymbol{\nabla}^\prime )_\theta
&=\frac{\partial^\prime_\theta }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\theta \|}
=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \\
(\boldsymbol{\nabla}^\prime )_\phi
&=\frac{\partial^\prime_\phi }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\phi \|}
=\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi}
\end{aligned}
となります：(\boldsymbol{\nabla}^\prime )_r
&=\frac{\partial^\prime_r }{\| \boldsymbol{e}^\prime_r \|}
=\frac{\partial}{\partial r}\\
(\boldsymbol{\nabla}^\prime )_\theta
&=\frac{\partial^\prime_\theta }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\theta \|}
=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \\
(\boldsymbol{\nabla}^\prime )_\phi
&=\frac{\partial^\prime_\phi }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\phi \|}
=\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}^\prime
=\boldsymbol{e}_r \frac{\partial}{\partial r}
+\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}
+\boldsymbol{e}_\phi \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi}.
\end{aligned}
\boldsymbol{\nabla}^\prime
=\boldsymbol{e}_r \frac{\partial}{\partial r}
+\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}
+\boldsymbol{e}_\phi \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi}.
\end{aligned}
また，$\partial^\prime_r ( 1/\| \boldsymbol{e}^\prime_r \| )=\partial^\prime_\theta ( 1/ \| \boldsymbol{e}^\prime_\theta \| )=\partial^\prime_\phi ( 1/ \| \boldsymbol{e}^\prime_\phi \| )=0$なので
\begin{aligned}
\partial^\prime_\mu A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
&=\boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}
+ \partial^\prime_\mu \biggl( \frac{1}{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|} \biggr) A_{\text{vector}}^{\prime\mu} \\
&=\boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}
\end{aligned}
となります．\partial^\prime_\mu A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
&=\boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}
+ \partial^\prime_\mu \biggl( \frac{1}{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|} \biggr) A_{\text{vector}}^{\prime\mu} \\
&=\boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}
\end{aligned}
付録：その他の計算
内積などがどのように計算できるか紹介します．以下では，「プライム」なしで一般の曲線座標の量を表します．また，基底$\{\boldsymbol{e}_\mu \}_\mu$の双対基底を$\{\boldsymbol{e}^{\mu} \}_\mu$で表します．反変ベクトル$\boldsymbol{A}=A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu$と$\boldsymbol{B}=B^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu$の内積は，
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{B}
&=(A_\mu \boldsymbol{e}^{\mu} ) (B^\nu \boldsymbol{e}_\nu ) \\
&=(A_\mu B^{\nu} ) \cdot \boldsymbol{e}^{\mu} (\boldsymbol{e}_\nu ) \\
&=A_\mu B^{\nu} \delta^\mu_\nu \\
&=A_\mu B^{\mu}
\end{aligned}
と計算できます．\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{B}
&=(A_\mu \boldsymbol{e}^{\mu} ) (B^\nu \boldsymbol{e}_\nu ) \\
&=(A_\mu B^{\nu} ) \cdot \boldsymbol{e}^{\mu} (\boldsymbol{e}_\nu ) \\
&=A_\mu B^{\nu} \delta^\mu_\nu \\
&=A_\mu B^{\mu}
\end{aligned}
注：
作用させる側を共変ベクトル$A_\mu \boldsymbol{e}^\mu$にしていることは，ベクトルの内積を行列で表記するときに，左から作用させるベクトルについては転置を取ることに相当します：
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{B}
&=
\begin{pmatrix}
A_1 & A_2 &\cdots & A_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
B_1 \\
B_2 \\
\vdots \\
B_n
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
詳しくは，次の記事の「横(行)ベクトルと縦(列)ベクトル」を参照してください：
\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{B}
&=
\begin{pmatrix}
A_1 & A_2 &\cdots & A_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
B_1 \\
B_2 \\
\vdots \\
B_n
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
デカルト座標系で，微分演算子$\boldsymbol{\nabla}$がベクトル$\boldsymbol{A}=A^\mu \boldsymbol{e}_\mu$に作用する際の計算をしてみましょう：
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{A}
&=(\boldsymbol{e}^\mu \partial_\mu ) (A^\nu \boldsymbol{e}_\nu ) \\
&=(\partial_\mu A^\nu) \cdot \boldsymbol{e}^\mu (\boldsymbol{e}_\nu ) \\
&=\partial_\mu A^\nu \delta^\mu_\nu \\
&=\partial_\mu A^\mu.
\end{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{A}
&=(\boldsymbol{e}^\mu \partial_\mu ) (A^\nu \boldsymbol{e}_\nu ) \\
&=(\partial_\mu A^\nu) \cdot \boldsymbol{e}^\mu (\boldsymbol{e}_\nu ) \\
&=\partial_\mu A^\nu \delta^\mu_\nu \\
&=\partial_\mu A^\mu.
\end{aligned}
参考文献
[1]場の古典論 (ランダウ=リフシッツ)「場の古典論」で，「直交曲線座標における3次元ベクトル演算で現れるベクトルの成分」がテンソルの成分ではないことを指摘しています（$\text{\sect} 88$不変な重力場，問題1の注記1)）．本記事の記法で書けば以下を主張しています（$\mu$に関する和は取らない）：
\begin{aligned}
A_{\text{vector}}^{\prime\mu}
&=\sqrt{g_{\mu\mu}} A_{\text{tensor}}^{\prime\mu} \\
&=\sqrt{A_{\text{tensor}\,\mu}^{\prime} A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}}.
\end{aligned}
A_{\text{vector}}^{\prime\mu}
&=\sqrt{g_{\mu\mu}} A_{\text{tensor}}^{\prime\mu} \\
&=\sqrt{A_{\text{tensor}\,\mu}^{\prime} A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}}.
\end{aligned}
(2021.04.29追記)
[2]電磁気学とベクトル解析 (吉田善章)
補題2.24にこの記事に対応する内容が載っています．
