- テンソル演算で得られた結果を,ベクトル解析の記法に書き換える方法.
- テンソル解析ではベクトルの変換則を$\displaystyle A^{\prime\mu}=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\nu}A^\nu$で定めるが,この計算で得られる成分はベクトル解析で扱う成分とは異なる.
- 例えば,「テンソル演算の微分∂」はベクトル解析では「ナブラ∇」に対応する.
テンソル演算を使うと,座標変換などの計算を簡単に行うことができます.但し,テンソル演算で導いた結果をベクトル解析の表式に変換する場合には注意が必要です.
なぜなら,テンソル演算で用いる$\displaystyle A^{\prime\mu}=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\nu}A^\nu$で定義された$A^{\prime\mu}$は,ベクトル解析で使うベクトルの成分とは一致しないからです.例えば,3次元極座標のベクトルの成分は$\boldsymbol{A}^\prime =A_r\boldsymbol{e}_r$$+A_\theta\boldsymbol{e}_\theta$$+A_\phi \boldsymbol{e}_\phi$と表しますが,このとき
A^{\prime r}=A_r ,\quad
A^{\prime \theta}=\frac{A_\theta}{ r },\quad
A^{\prime \phi}=\frac{A_\phi}{ r\sin\theta }
\end{aligned}
A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
=\frac{A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \sqrt{g^\prime_{\mu\mu}} } .
\end{aligned}
この記事の内容の応用例は,以下の記事で与えています:
注:本記事の内容は,ランダウの「場の古典論」など,いくつかの文献で説明があります.詳しくは末尾の「参考文献」を見てください.
「テンソル演算」と「ベクトル解析」のベクトルの関係
まず結論から.以下,これらの関係式を導出していきます.$\{\boldsymbol{e}_\mu \}_\mu$をデカルト座標系$(x^\mu)$の基底とすると,曲線座標系($x^{\prime\mu}$)での(テンソル解析で用いる)基底は$\boldsymbol{e}^\prime_\mu=\dfrac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} \boldsymbol{e}_\nu$となる.このとき,
- ベクトル解析で曲線座標を扱うときの基底は$\,\hat{\boldsymbol{e}}^\prime_\mu = \boldsymbol{e}^\prime_\mu \left/\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \| \right. \,$と表せる.
- テンソル解析での反変ベクトルの成分を$A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}$,ベクトル解析での反変ベクトルの成分を$A_{\text{vector}}^{\prime\mu}$と書く(つまり,$A_{\text{tensor}}^{\prime\mu} \boldsymbol{e}^\prime_\mu =A_{\text{vector}}^{\prime\mu} \hat{\boldsymbol{e}}^\prime_\mu$)とき,\begin{aligned}
A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
=\frac{A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|} .
\end{aligned} - テンソル解析での共変ベクトルの成分を$A_{\text{tensor},\mu}^{\prime}$,ベクトル解析での共変ベクトルの成分を$A_{\text{vector},\mu}^\prime$と書く(つまり,$A_{\text{tensor},\mu}^{\prime} \boldsymbol{e}^{\prime\mu} =A_{\text{vector},\mu}^\prime \hat{\boldsymbol{e}}^{\prime\mu}$)とき,\begin{aligned}
A_{\text{tensor},\mu}^{\prime}
=\| \boldsymbol{e}^{\prime}_\mu \| A_{\text{vector},\mu}^{\prime}
\end{aligned} - 座標変換後の微分演算子の間には\begin{aligned}が成立する(つまり,$\left(\boldsymbol{\nabla}^\prime\right)_\mu \neq \partial^\prime_\mu$).
\left(\boldsymbol{\nabla}^\prime\right)_\mu
=\frac{\partial^\prime_\mu }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}
\end{aligned} - 以下の関係式が成立する:(つまり,一般に$(\partial_\mu A_{\text{tensor}}^{\mu}=) \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}_\text{vector}\neq \boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}$)
\begin{aligned}
\partial^\prime_\mu A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
&=\boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}
+ \partial^\prime_\mu \left( \frac{ 1}{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}\right) A_{\text{vector}}^{\prime\mu} .
\end{aligned}
これらは,テンソル解析の計算とベクトル解析の計算で使っている基底が異なることが根底にあります.物理でテンソルを扱う際の基底の変換則は
\boldsymbol{e}^\prime_\mu
=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} \boldsymbol{e}_\nu
\end{aligned}
(補足:詳しい説明 & 以前の記事との対応)
共変ベクトルの変換則は
A^\prime_\mu
=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} A_\nu
\end{aligned}
\alpha^\nu_{\; \mu}
=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}}
\end{aligned}
\boldsymbol{e}^\prime_\mu
=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} \boldsymbol{e}_\nu
\end{aligned}
基底の違い
まず,ベクトル解析とテンソル解析で扱う基底が異なることを見ていきます.以下では,デカルト座標系以外の一般の曲線座標の記号には$\boldsymbol{e}^\prime_\mu$や$A^{\prime \mu}$のように,「プライム」をつけて表すことにします.
改めて,$\{\boldsymbol{e}^{\prime}_\mu \}_\mu$をテンソル解析で扱う際の曲線座標系(デカルト座標系とは限らない)の基底とします.このとき,
\hat{\boldsymbol{e}}^\prime_\mu
&= \frac{\boldsymbol{e}^\prime_\mu }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|} \\
&= \frac{\partial \boldsymbol{x} }{\partial x^{\prime\mu} }
\,\left / \, \left\| \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial x^{\prime\mu} } \right\| \right.
\end{aligned}
(参考)
- 曲線座標系の計量テンソル$g^\prime_{\mu\nu}=\boldsymbol{e}^\prime_\mu\cdot \boldsymbol{e}^\prime_\nu$を用いれば,$\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \| =\sqrt{g^\prime_{\mu\mu}}$($\mu$に関する和は取らない)と表せる.
- 計量テンソルについて:
\begin{aligned}より
g^\prime_{\mu\nu} \,\mathrm{d}x^{\prime\mu} \,\mathrm{d}x^{\prime\nu}
&=g_{\mu\nu} \,\mathrm{d}x^\mu \,\mathrm{d}x^\nu \\
&=g_{\alpha\beta}\frac{\partial x^\alpha}{\partial x^{\prime\mu}} \frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\prime\nu}} \,\mathrm{d}x^{\prime\mu} \,\mathrm{d}x^{\prime\nu}
\end{aligned}
\begin{aligned}
g^\prime_{\mu\nu}
&=g_{\alpha\beta}
\frac{\partial x^\alpha}{\partial x^{\prime\mu}}
\frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\prime\nu}} \\
&=\boldsymbol{e}^\prime_\mu\cdot \boldsymbol{e}^\prime_\nu.
\end{aligned} - ベクトル解析で扱う基底が上で表されることがわかったので,ベクトル解析で扱っている(基底$\{\hat{\boldsymbol{e}}^\prime_\mu \}_\mu$で展開された)ベクトルは「反変ベクトル」である.
デカルト座標系の基底$\{\boldsymbol{e}_\mu \}_\mu$の双対基底を$\{\boldsymbol{e}^\mu \}_\mu$で表します.つまり,$\boldsymbol{e}^\mu (\boldsymbol{e}_\nu )=\delta^\mu_\nu$(但し,$\mu=\nu$のときは和を取らない)です.このとき,双対基底を座標変換した$\boldsymbol{e}^{\prime \mu}=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\nu} \boldsymbol{e}^\nu$を考えると,
\boldsymbol{e}^{\prime \mu} (\boldsymbol{e}^{\prime}_\nu )
&=\biggl( \frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\alpha} \boldsymbol{e}^\alpha \biggr)
\biggl( \frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\prime\nu}} \boldsymbol{e}_\beta \biggr) \\
&=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\alpha}
\frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\prime\nu}}
\boldsymbol{e}^\alpha (\boldsymbol{e}_\beta ) \\
&=\delta^\mu_\nu
\end{aligned}
一方で,
\boldsymbol{e}^{\prime \mu} (\hat{\boldsymbol{e}}^{\prime}_\nu )
&=\boldsymbol{e}^{\prime \mu}
\biggl(\frac{\boldsymbol{e}^\prime_\nu }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\nu \|} \biggr) \\
&=\frac{1}{\| \boldsymbol{e}^\prime_\nu \|} \delta^\mu_\nu
\end{aligned}
反変ベクトルの関係式
上で求めた基底の関係式から,反変ベクトル$\boldsymbol{A}^\prime$が- テンソル解析:$\boldsymbol{A}^{\prime} = A_{\text{tensor}}^{\prime\mu} \boldsymbol{e}^{\prime}_\mu$
- ベクトル解析:$\displaystyle \boldsymbol{A}^{\prime} = A_{\text{vector}}^{\prime\mu} \hat{\boldsymbol{e}}^\prime_{\mu} = \frac{A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|} \boldsymbol{e}^\prime_\mu$(3つの添字の和を同時に取る)
A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
=\frac{A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \| \boldsymbol{e}^{\prime}_{\mu} \|}
\end{aligned}
共変ベクトルの関係式
上で求めた双対基底の関係式から,反変ベクトルの議論と同様に,共変ベクトル$\boldsymbol{A}^\prime$が- テンソル解析:$\boldsymbol{A}^\prime=A_{\text{tensor},\mu}^{\prime} \boldsymbol{e}^{\prime\mu}$
- ベクトル解析:$\displaystyle \boldsymbol{A}^{\prime} = A_{\text{vector},\mu}^{\prime} \hat{\boldsymbol{e}}^{\prime\mu} = A_{\text{vector},\mu}^{\prime} \| \boldsymbol{e}^{\prime}_\mu \| \boldsymbol{e}^{\prime\mu}$(3つの添字の和を同時に取る)
A_{\text{tensor},\mu}^{\prime}
=\| \boldsymbol{e}^{\prime}_\mu \| A_{\text{vector},\mu}^{\prime}
\end{aligned}
∇と∂の関係式
上で求めた共変ベクトルの関係式からもわかりますが,丁寧に計算してみます.デカルト座標系では
\boldsymbol{\nabla}\phi
&=\boldsymbol{e}^\mu \bigl(\boldsymbol{\nabla}\bigr)_\mu \phi \\
&=\textcolor{red}{\boldsymbol{e}^{\mu} \partial_{\mu} \phi}
\end{aligned}
&=\left( \frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\prime\alpha}} \boldsymbol{e}^{\prime\alpha} \right)
\left( \frac{\partial x^{\prime\beta}}{\partial x^\mu} \partial^\prime_\beta \phi^\prime \right) \\
&=\delta_\alpha^\beta \boldsymbol{e}^{\prime\alpha} \partial^\prime_\beta \phi^\prime \\
&=\textcolor{red}{\boldsymbol{e}^{\prime\mu} \partial^{\prime}_{\mu} \phi^{\prime}}
\end{aligned}
&=\hat{\boldsymbol{e}}^{\prime\mu} \frac{\partial^\prime_\mu \phi^\prime}{\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}
\end{aligned}
\boldsymbol{e}^\mu \left( \boldsymbol{\nabla} \right)_\mu
&=\hat{\boldsymbol{e}}^{\prime \mu} \left( \boldsymbol{\nabla}^\prime \right)_\mu
\end{aligned}
\bigl(\boldsymbol{\nabla}^\prime\bigr)_\mu
=\frac{\partial^\prime_\mu }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}
\end{aligned}
その他の関係式
上で求めた関係式から,\partial^\prime_\mu A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
&=\partial^\prime_\mu \left( \frac{A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}\right) \\
&=\frac{\partial^\prime_\mu A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}
+ \partial^\prime_\mu \left( \frac{ 1}{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}\right) A_{\text{vector}}^{\prime\mu} \\
&=\boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}
+ \partial^\prime_\mu \left( \frac{ 1}{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}\right) A_{\text{vector}}^{\prime\mu}
\end{aligned}
& \partial^\prime_\mu \left( \frac{ 1}{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}\right) A_{\text{vector}}^{\prime\mu} =0\\
\Leftrightarrow \,&
\partial^\prime_\mu A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}=\boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}
\end{aligned}
具体例:極座標
3次元極座標\boldsymbol{x}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
r\sin\theta \cos\phi \\
r\sin\theta \sin\phi \\
r\cos\theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\boldsymbol{e}^\prime_r
&=\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial r}
=
\begin{pmatrix}
\sin\theta \cos\phi \\
\sin\theta \sin\phi \\
\cos\theta
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{e}^\prime_\theta
&=\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \theta}
=
\begin{pmatrix}
r\cos\theta \cos\phi \\
r\cos\theta \sin\phi \\
-r\sin\theta
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{e}^\prime_\phi
&=\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \phi}
=
\begin{pmatrix}
-r\sin\theta \sin\phi \\
r\sin\theta \cos\phi \\
0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
(\boldsymbol{\nabla}^\prime )_r
&=\frac{\partial^\prime_r }{\| \boldsymbol{e}^\prime_r \|}
=\frac{\partial}{\partial r}\\
(\boldsymbol{\nabla}^\prime )_\theta
&=\frac{\partial^\prime_\theta }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\theta \|}
=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \\
(\boldsymbol{\nabla}^\prime )_\phi
&=\frac{\partial^\prime_\phi }{\| \boldsymbol{e}^\prime_\phi \|}
=\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi}
\end{aligned}
\boldsymbol{\nabla}^\prime
=\boldsymbol{e}_r \frac{\partial}{\partial r}
+\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}
+\boldsymbol{e}_\phi \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi}.
\end{aligned}
また,$\partial^\prime_r ( 1/\| \boldsymbol{e}^\prime_r \| )=\partial^\prime_\theta ( 1/ \| \boldsymbol{e}^\prime_\theta \| )=\partial^\prime_\phi ( 1/ \| \boldsymbol{e}^\prime_\phi \| )=0$なので
\partial^\prime_\mu A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
&=\boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}
+ \partial^\prime_\mu \biggl( \frac{1}{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|} \biggr) A_{\text{vector}}^{\prime\mu} \\
&=\boldsymbol{\nabla}^\prime\cdot\boldsymbol{A}^\prime_\text{vector}
\end{aligned}
付録:その他の計算
内積などがどのように計算できるか紹介します.以下では,「プライム」なしで一般の曲線座標の量を表します.また,基底$\{\boldsymbol{e}_\mu \}_\mu$の双対基底を$\{\boldsymbol{e}^{\mu} \}_\mu$で表します.反変ベクトル$\boldsymbol{A}=A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu$と$\boldsymbol{B}=B^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu$の内積は,
\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{B}
&=(A_\mu \boldsymbol{e}^{\mu} ) (B^\nu \boldsymbol{e}_\nu ) \\
&=(A_\mu B^{\nu} ) \cdot \boldsymbol{e}^{\mu} (\boldsymbol{e}_\nu ) \\
&=A_\mu B^{\nu} \delta^\mu_\nu \\
&=A_\mu B^{\mu}
\end{aligned}
注:
作用させる側を共変ベクトル$A_\mu \boldsymbol{e}^\mu$にしていることは,ベクトルの内積を行列で表記するときに,左から作用させるベクトルについては転置を取ることに相当します:
\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{B}
&=
\begin{pmatrix}
A_1 & A_2 &\cdots & A_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
B_1 \\
B_2 \\
\vdots \\
B_n
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
デカルト座標系で,微分演算子$\boldsymbol{\nabla}$がベクトル$\boldsymbol{A}=A^\mu \boldsymbol{e}_\mu$に作用する際の計算をしてみましょう:
\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{A}
&=(\boldsymbol{e}^\mu \partial_\mu ) (A^\nu \boldsymbol{e}_\nu ) \\
&=(\partial_\mu A^\nu) \cdot \boldsymbol{e}^\mu (\boldsymbol{e}_\nu ) \\
&=\partial_\mu A^\nu \delta^\mu_\nu \\
&=\partial_\mu A^\mu.
\end{aligned}
参考文献
[1]場の古典論 (ランダウ=リフシッツ)「場の古典論」で,「直交曲線座標における3次元ベクトル演算で現れるベクトルの成分」がテンソルの成分ではないことを指摘しています($\text{\sect} 88$不変な重力場,問題1の注記1)).本記事の記法で書けば以下を主張しています($\mu$に関する和は取らない):
A_{\text{vector}}^{\prime\mu}
&=\sqrt{g_{\mu\mu}} A_{\text{tensor}}^{\prime\mu} \\
&=\sqrt{A_{\text{tensor}\,\mu}^{\prime} A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}}.
\end{aligned}
(2021.04.29追記)
[2]電磁気学とベクトル解析 (吉田善章)
補題2.24にこの記事に対応する内容が載っています.