ラプラシアン(極座標・円筒座標・曲線座標)を超簡単に計算

POINT

  • 曲線座標(極座標・円筒座標など)のラプラシアン・発散(ダイバージェンス)を数行で計算する方法を紹介.
  • 3次元極座標についても簡単に計算することができる.
  • 一般の曲線座標(曲がった空間)についても一般化することができる.

数行の計算で

  • 極座標(球座標)のラプラシアン
  • 極座標の発散 (Divergence)

を導出する方法を紹介します.この方法は,曲がった空間にも一般化することができます.

偏微分をちまちま計算するのではなく,積分計算に置き換えてしまうことがポイントです.

(2018/11)
この記事の補足記事を作成しました:

この記事の記法に合わせて,より詳細な途中計算を追加していきます.

問題設定:曲線座標の微分演算子とは

はじめに,「曲線座標のラプラシアン」とは何か整理しましょう.以下では,$\boldsymbol{x}=(x,y,z)$をデカルト座標,$\boldsymbol{x}^\prime=(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$を任意の曲線座標系とします.

このとき,曲線座標のラプラシアンとは以下で定義されます:

曲線座標のラプラシアン
デカルト座標$\boldsymbol{x}=(x,y,z)$で \begin{align} \boldsymbol{\Delta} u(\boldsymbol{x}) =\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(\boldsymbol{x}) + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}(\boldsymbol{x}) + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}(\boldsymbol{x}) \end{align} で定義される微分演算子$\boldsymbol{\Delta}$を「ラプラシアン」と呼びます.このとき, \begin{align} \boldsymbol{\Delta} u(\boldsymbol{x}) &=\boldsymbol{\Delta}^\prime u\left(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^\prime) \right) \\ &=\boldsymbol{\Delta}^\prime u^\prime \left(\boldsymbol{x}^\prime\right) \end{align} を満たす(変数$\boldsymbol{x}^\prime$だけで表される演算子)$\boldsymbol{\Delta}^\prime$を「曲線座標$(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$のラプラシアン」と呼びます.

他の微分演算子(たとえば,$\mathrm{grad\,}$,$\mathrm{div\,}$,$\mathrm{rot\,}$)についても同様に定義されます.以下では,曲線座標の微分演算子を$\mathrm{grad\,}^\prime$,$\mathrm{div\,}^\prime$,$\mathrm{rot\,}^\prime$,$\boldsymbol{\Delta}^\prime$のように「プライム」をつけて表すことにします.定義から
\begin{align}
\mathrm{grad\,} \psi (\boldsymbol{x})
&= \mathrm{grad\,}^\prime \psi \left(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^\prime) \right) \\
&= \mathrm{grad\,}^\prime \psi^\prime \left(\boldsymbol{x}^\prime \right) \\
\mathrm{div\,}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})
&= \mathrm{div\,}^\prime\boldsymbol{A} \left(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^\prime) \right) \\
&= \mathrm{div\,}^\prime\boldsymbol{A}^\prime \left(\boldsymbol{x}^\prime \right) \\
\mathrm{rot\,} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})
&= \mathrm{rot\,}^\prime \boldsymbol{A} \left(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^\prime) \right) \\
&= \mathrm{rot\,}^\prime \boldsymbol{A}^\prime \left(\boldsymbol{x}^\prime \right) \\
\underset{=\boldsymbol{\Delta}}{ \underline{\mathrm{div\,} \mathrm{grad\,}} } \psi (\boldsymbol{x})
&= \underset{=\boldsymbol{\Delta}^\prime}{ \underline{\mathrm{div\,}^\prime \mathrm{grad\,}^\prime} } \psi \left(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^\prime) \right)\\
&= \boldsymbol{\Delta}^\prime \psi^\prime \left( \boldsymbol{x}^\prime \right)
\end{align}
です.このため,通常,曲線座標の微分演算子はプライムをつけないで同じ記号で表します.以下では,微分演算子に使っている変数を明示するために,変数$\boldsymbol{x}^\prime$だけで表される演算子にはプライムをつけることにします.

【導出】曲線座標のラプラシアン

以下では,次のように記号を定めます:
  • $\displaystyle J=\left|\det{\left(\frac{\partial x_i}{\partial x^\prime_j}\right)}\right|$:直交直線座標系(デカルト座標系)$\boldsymbol{x}=(x,y,z)$から曲線座標系$\boldsymbol{x}^\prime=(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$への変換におけるヤコビアン.つまり,積分の変数変換が
    \begin{align}
    &\int f(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\
    &= \int f\left(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^\prime)\right) J \,\mathrm{d}x^\prime\,\mathrm{d}y^\prime\,\mathrm{d}z^\prime
    \end{align}
    で表されるとします.
  • $\psi(x,y,z)$:ある(有限な)領域の外では$0$になるような任意関数.



それでは,曲線座標における

  • ベクトル場$\boldsymbol{A}^\prime(\boldsymbol{x}^\prime)$の発散:$\mathrm{div\,}^\prime\boldsymbol{A}^\prime(\boldsymbol{x}^\prime)$
  • スカラー場$u^\prime(\boldsymbol{x}^\prime)$のラプラシアン:$\boldsymbol{\Delta}^\prime u^\prime(\boldsymbol{x}^\prime)$

を計算してみましょう.


仮定から,十分大きな曲面$S$を取れば,$S$の上で$\psi=0$となるようできます.このような曲面$S$に対してGaussの発散定理を用いれば
\begin{align}
\int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot \left( \psi \boldsymbol{A}\right)\,\mathrm{d}V
&=\int_S \psi \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \\
&=0
\end{align}
が成り立ちます.この式とベクトル解析の公式
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}\cdot \left( \psi \boldsymbol{A}\right)
= \boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A}
+\psi\left( \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right)
\end{align}
を用いることにより,


\begin{align}
&\int \psi\left(\color{red}{ \mathrm{div\,}^\prime \boldsymbol{A}^\prime } \right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
=\int \psi\left(\mathrm{div\,} \boldsymbol{A} \right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\
&=\int \psi\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\
&=-\int \underset{=\left(\partial_\mu \psi\right) A^\mu}{\underline{\boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A} }}
\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
+\underset{=0}{\underline{\int \boldsymbol{\nabla}\cdot \left( \psi \boldsymbol{A}\right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z }}\\
&=-\int \left(\partial^\prime_\mu \psi^\prime \right)A^{\prime\mu} J
\,\mathrm{d}x^\prime\,\mathrm{d}y^\prime\,\mathrm{d}z^\prime
\end{align}
となります.ここで,$\displaystyle \partial^\prime_\mu=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}}\partial_\nu$,$\displaystyle A^{\prime\mu}=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\nu}A^\nu$です.同様の操作で$\psi$から微分を移すと

\begin{align}
&=-\left[\underset{=0\,\text{(*1)}}
{\underline{ \int \partial^\prime_\mu \left(\psi^\prime J A^{\prime\mu} \right)
\,\mathrm{d}x^\prime\,\mathrm{d}y^\prime\,\mathrm{d}z^\prime }}
-\int \psi^\prime \partial^\prime_\mu \left(J A^{\prime\mu} \right)
\,\mathrm{d}x^\prime\,\mathrm{d}y^\prime\,\mathrm{d}z^\prime \right]\\
&=\int \psi \left[\color{red}{\partial^\prime_\mu \left(J A^{\prime\mu} \right) \frac{1}{J}} \right]
\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
\end{align}
(*1):
$\partial^\prime_\mu \left(\psi^\prime J A^{\prime\mu} \right) \neq \mathrm{div\,}^\prime \left(\psi^\prime J \boldsymbol{A}^\prime \right)$なので,Gaussの発散定理は適用できません.$f=\psi^\prime J A^{\prime\mu}$とするとき,$\displaystyle\int^b_a \frac{\partial f}{\partial x^\prime} \,\mathrm{d}x^\prime=f(a,y^\prime,z^\prime)-f(b,y^\prime,z^\prime)$で,面$S$上で$\psi^\prime=0$より$f(a,y^\prime,z^\prime)=f(b,y^\prime,z^\prime)=0$となることを用いています($y^\prime,z^\prime$成分についても同様).


上式で$\psi$は任意関数であることから ,赤字部分が等しくなることがわかります(後述):

曲線座標の発散 (divergence)

\begin{align}
\mathrm{div\,}^\prime \boldsymbol{A}^\prime
= \frac{1}{J} \partial^\prime_\mu \left(J A^{\prime\mu} \right)
\tag{1}\label{eq:div}
\end{align}

上の計算を$\boldsymbol{A}^\prime$の代わりに$\boldsymbol{\nabla}^\prime u^\prime =\mathrm{grad\,}^\prime u^\prime$で行えば,ラプラシアンを導くことができます:

曲線座標のラプラシアン (Laplacian)

\begin{align}
\boldsymbol{\Delta}^\prime u^\prime
&=\mathrm{div\,}^\prime \mathrm{grad\,}^\prime u^\prime\\
&= \frac{1}{J} \partial^\prime_\mu \left(J \partial^{\prime\mu} u^\prime\right)
\tag{2}\label{eq:Laplacian}
\end{align}

以上,曲線座標の発散・ラプラシアンの一般的な表式を求めることができました.偏微分を計算するよりはるかに簡単ですね.


ヤコビアン$J$と$\partial^\prime_\mu$に具体的な表式を代入することで,極座標や円筒座標の発散・ラプラシアンが求められます:

具体例

式(\ref{eq:div}),(\ref{eq:Laplacian})を用いて発散・ラプラシアンを求めてみます.その際,以下の記事

で求めた関係式
\begin{align}
A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}
=\frac{A_{\text{vector}}^{\prime\mu} }{ \| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|} .
\end{align}
を使います.つまり,式(\ref{eq:div})の$A^{\prime\mu}$は$ A_{\text{tensor}}^{\prime\mu}$の意味で,ベクトル解析の意味での成分は$A_{\text{vector}}^{\prime\mu}$です.

極座標(球座標)

極座標では
  • $\partial_r=\dfrac{\partial}{\partial r}$,$\partial_\theta=\dfrac{\partial}{\partial \theta}$,$\partial_\phi=\dfrac{\partial}{\partial \phi}$
  • $\displaystyle \boldsymbol{A}^\prime = A^\prime_r \frac{\boldsymbol{e}^\prime_r}{\|\boldsymbol{e}^\prime_r\|}+A^\prime_\theta\frac{\boldsymbol{e}^\prime_\theta}{\|\boldsymbol{e}^\prime_\theta\|}+A^\prime_\phi\frac{\boldsymbol{e}^\prime_\phi}{\|\boldsymbol{e}^\prime_\phi \|}$
  • ヤコビアン:$J=r^2 \sin\theta$
  • $\|\boldsymbol{e}^\prime_r\|=1$,$\|\boldsymbol{e}^\prime_\theta\|=r$,$\|\boldsymbol{e}^\prime_\phi\|=r\sin\theta\,$
  • 計量テンソル:
    \begin{align}
    \left(g^\prime_{\mu\nu}\right)
    &=\left(\boldsymbol{e}^\prime_\mu \cdot \boldsymbol{e}^\prime_\nu \right)\\
    &=
    \begin{pmatrix}
    1&0&0 \\
    0&r^2&0 \\
    0&0&r^2\sin^2\theta
    \end{pmatrix}\\
    \left(g^{\prime\mu\nu}\right)
    &=\left(g^\prime_{\mu\nu}\right)^{-1}\\
    &=
    \begin{pmatrix}
    1&0&0 \\
    0&1/r^2&0 \\
    0&0&1/r^2\sin^2\theta
    \end{pmatrix}
    \end{align}
です.したがって,
  • 発散:

    \begin{align}
    &\mathrm{div\,}^\prime \boldsymbol{A}^\prime \\
    &=\frac{1}{J}\partial^\prime_\mu
    \left[\frac{J}{\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}
    \left(\boldsymbol{A}^\prime\right)^\mu \right] \\
    &=\frac{1}{r^2\sin\theta}
    \left[\partial_r \left(r^2\sin\theta\,A_r\right)
    +\partial_\theta \left(\frac{r^2\sin\theta}{r} A_\theta\right)
    +\partial_\phi\left(\frac{r^2\sin\theta}{r\sin\theta} A_\phi\right)
    \right] \\
    &=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 A_r\right)
    +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta A_\theta\right)
    +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
    \end{align}
  • ラプラシアン:

    \begin{align}
    &\boldsymbol{\Delta}^\prime u^\prime \\
    &=\frac{1}{J}g^{\prime \mu\nu} \partial^\prime_\mu \left(J \partial^{\prime}_{\nu} u^\prime\right) \\
    &=\frac{1}{r^2\sin\theta}
    \left[\partial_r \left(r^2\sin\theta \cdot \partial_r u\right)
    +\frac{1}{r^2}\partial_\theta \left(r^2\sin\theta \cdot \partial_\theta u\right)
    +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\partial_\phi\left(r^2\sin\theta \cdot \partial_\phi u\right)
    \right] \\
    &=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right)
    +\frac{1}{r^2}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right)
    +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2}\right]
    \end{align}

円筒座標(円柱座標)

極座標と全く同様にして発散・ラプラシアンを求めることができます.円筒座標では
  • $\partial_r=\dfrac{\partial}{\partial r}$,$\partial_\theta=\dfrac{\partial}{\partial \theta}$,$\partial_z=\dfrac{\partial}{\partial z}$
  • $\displaystyle \boldsymbol{A}^\prime = A^\prime_r \frac{\boldsymbol{e}^\prime_r}{\|\boldsymbol{e}^\prime_r\|}+A^\prime_\theta\frac{\boldsymbol{e}^\prime_\theta}{\|\boldsymbol{e}^\prime_\theta\|}+A^\prime_z \frac{\boldsymbol{e}^\prime_z}{\|\boldsymbol{e}^\prime_z \|}$
  • ヤコビアン:$J=r$
  • $\|\boldsymbol{e}^\prime_r\|=1$,$\|\boldsymbol{e}^\prime_\theta\|=r$,$\|\boldsymbol{e}^\prime_z\|=1 \,$
  • 計量テンソル:
    \begin{align}
    \left(g^\prime_{\mu\nu}\right)
    &=\left(\boldsymbol{e}^\prime_\mu \cdot \boldsymbol{e}^\prime_\nu \right)\\
    &=
    \begin{pmatrix}
    1&0&0 \\
    0&r^2&0 \\
    0&0&1
    \end{pmatrix}\\
    \left(g^{\prime\mu\nu}\right)
    &=\left(g^\prime_{\mu\nu}\right)^{-1}\\
    &=
    \begin{pmatrix}
    1&0&0 \\
    0&1/r^2&0 \\
    0&0&1
    \end{pmatrix}
    \end{align}
です.したがって,
  • 発散:

    \begin{align}
    &\mathrm{div\,}^\prime \boldsymbol{A}^\prime \\
    &=\frac{1}{J}\partial^\prime_\mu
    \left[\frac{J}{\| \boldsymbol{e}^\prime_\mu \|}
    \left(\boldsymbol{A}^\prime\right)^\mu \right] \\
    &=\frac{1}{r}
    \left[\partial_r \left(r \,A_r\right)
    +\partial_\theta \left(\frac{r}{r} A_\theta\right)
    +\partial_z \left(r A_z \right)
    \right] \\
    &=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r A_r\right)
    + \frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}
    + \frac{\partial A_z}{\partial z}
    \end{align}
  • ラプラシアン:

    \begin{align}
    &\boldsymbol{\Delta}^\prime u^\prime \\
    &=\frac{1}{J}g^{\prime\mu\nu} \partial^\prime_\mu \left(J \partial^{\prime}_{\nu} u^\prime\right) \\
    &=\frac{1}{r}
    \left[\partial_r \left(r \cdot \partial_r u\right)
    +\frac{1}{r^2}\partial_\theta \left(r \cdot \partial_\theta u\right)
    +\partial_\phi\left(r \cdot \partial_\phi u\right)
    \right] \\
    &=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u}{\partial r} \right)
    + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
    + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
    \end{align}

【一般化】曲がった空間のラプラシアン

上の議論を,曲がった空間に一般化しましょう.

まず,$\left( x^{\prime\mu} \right)$をGalilei座標,$\left( x^\mu \right)$を任意の曲線座標とし,以下で記号を定めます:

  • それぞれの計量テンソルを$g^{\prime}_{\mu\nu}$,$g_{\mu\nu}$
  • 共変微分を$\boldsymbol{\nabla}^{\prime}_\mu=\partial^{\prime}_\mu$,$\boldsymbol{\nabla}_\mu$
  • $\left( x^{\prime\mu} \right)$から$\left( x^\mu \right)$への座標変換を行う際のヤコビアンを$J=\det(\partial_\mu x^{\prime\nu})$

このとき,


\begin{align}
&g^{\prime\mu\nu}=\partial_\rho x^{\prime\mu} \partial_\sigma x^{\prime\nu} g^{\rho\sigma}\\
&\det(g^\prime_{\mu\nu})=1/\det(g^{\prime\mu\nu}),\quad\det(g_{\mu\nu})=1/\det(g^{\mu\nu})
\end{align}
から,
\begin{align}
J=\sqrt{\left|\det(g_{\mu\nu})/\det(g^\prime_{\rho\sigma})\right|}
\end{align}
であることに注意しましょう.

曲線座標 (曲がった空間) の発散 (Divergence)

計算手法は,上と同じです.スカラー場$f$に対しては$\boldsymbol{\nabla}_\mu f=\partial_\mu f$であることに注意してください.

\begin{align}
\int \psi\left(\boldsymbol{\nabla}_\mu A^\mu \right)\,\mathrm{d}^nx^{\prime}
&=\int \psi^{\prime}\left(\boldsymbol{\nabla}^{\prime}_\mu A^{\prime\mu} \right)\,\mathrm{d}^nx^{\prime}
=\int \psi^{\prime} \partial^{\prime}_\mu A^{\prime\mu} \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\partial^{\prime}_\mu \psi^{\prime} \right) A^{\prime\mu} \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}^{\prime}_\mu \psi^{\prime} \right) A^{\prime\mu} \,\mathrm{d}^nx^{\prime}
=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}_\mu \psi \right) A^\mu \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}_\mu \psi \right) A^\mu J\,\mathrm{d}^nx\\
&=-\int \left(\partial_\mu \psi \right) A^\mu J\,\mathrm{d}^nx\\
&=\int \psi \partial_\mu\left(J A^\mu \right)\,\mathrm{d}^nx\\
&=\int \psi \partial_\mu\left(J A^\mu \right)\,\frac{\mathrm{d}^nx^{\prime}}{J}
\end{align}

従って,

曲線座標 (曲がった空間) の発散 (divergence)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}_\mu A^\mu =\frac{1}{J} \partial_\mu\left(J A^\mu \right)\, \end{align}

曲線座標 (曲がった空間) のラプラシアン (Laplacian)

上の結果で,$A^\mu=\boldsymbol{\nabla}^\mu \phi=\partial^\mu\phi$とすれば

曲線座標 (曲がった空間) のラプラシアン (Laplacian)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{\nabla}^\mu \phi =\frac{1}{J} \partial_\mu\left(J \partial^\mu\phi \right)\, \end{align}


【注意】∫(ψ・f)=0(ψは任意関数)であるとき,f=0が成り立つ理由

よく使われる論法ですが,スルーされがちです.これは,もし$f(x)\neq g(x)$となる点$x$があったとすれば,その近くでだけ$\neq0$となる任意関数を選ぶ$\psi$と,積分が$\neq 0$となってしまうことから従います.実際に,以下を示してみましょう:

任意関数$\psi$について \begin{align} \int \psi(x) \left[f(x)-g(x)\right]\,\mathrm{d}x=0 \end{align} が成立するとき,$f=g$となる.

証明:
$f(x)-g(x)$は連続関数なので,もし$f(x)\neq g(x)$となる点$x$があれば,その点の十分近くの領域$V$をとることで


\begin{align}
f(y)-g(y)>0\quad(y\in V)\qquad\text{or}\qquad f(y)-g(y)<0\quad(y\in V)
\end{align}
とできる.一方で,$U(\subset V)$と$\psi$で
\begin{align}
\begin{cases}
\psi(y) \geq 0 &(y\in V)\\
\psi(y) >0 &(y\in U)\\
\psi(y)=0 & (y\notin V)
\end{cases}
\end{align}
となるものが存在する.この$\psi$に対しては
\begin{align}
\int \psi(x) \left[f(x)-g(x)\right]\,\mathrm{d}x\neq0
\end{align}
となり矛盾.//

参考文献/参考記事

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