- 数行でラプラシアンやdivを計算できる方法(曲線座標).
- 合成関数の微分(連鎖率・チェーンルール)なしで計算できる.
- より一般の曲線座標(曲がった空間)でも同じ方法が使える.
ちまちま偏微分の計算をするのではなく,積分計算に置き換えてしまうことがポイントです.
【前提知識】
- ヤコビアンの計算方法(多変数の積分の変数変換).
- ガウスの発散定理.
- 簡単なテンソルの計算
まずは,極座標,円筒座標系で具体的に計算した関連記事[A]の内容を理解すると理解が早いでしょう(テンソル演算の知識は不要です).この記事では,関連記事[A]の一般化を行います.
【関連記事】
[A] ラプラシアン(極座標・円筒座標)の計算はヤコビアンを使うと簡単 - Notes_JP
[B]「テンソル記法」から「ベクトル解析の記法」への変換方法 - Notes_JP
微分演算子と変数変換
まずは,「曲線座標のラプラシアン」の定義を整理しましょう.以下では,$\boldsymbol{x}=(x,y,z)$をデカルト座標,$\boldsymbol{x}^\prime=(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$を任意の曲線座標系とします.
このとき,曲線座標のラプラシアンとは以下で定義されます:
\Delta u(\boldsymbol{x})
=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(\boldsymbol{x}) + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}(\boldsymbol{x}) + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}(\boldsymbol{x})
\end{aligned}
\Delta u(\boldsymbol{x})
&=\Delta^{\prime} u \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr) \\
&=\Delta^{\prime} u^{\prime} (\boldsymbol{x}^{\prime} )
\end{aligned}
他の微分演算子(たとえば,$\mathrm{grad\,}$,$\mathrm{div\,}$,$\mathrm{rot\,}$)についても同様に定義されます.以下では,曲線座標の微分演算子を$\mathrm{grad\,}^{\prime}$,$\mathrm{div\,}^{\prime}$,$\mathrm{rot\,}^{\prime}$,$\Delta^{\prime}$のように「プライム」をつけて表すことにします.定義から
\mathrm{grad\,} \psi (\boldsymbol{x})
&= \mathrm{grad\,}^{\prime} \psi \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr) \\
&= \mathrm{grad\,}^{\prime} \psi^{\prime} (\boldsymbol{x}^{\prime} ) \\
\mathrm{div\,}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})
&= \mathrm{div\,}^{\prime} \boldsymbol{A} \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr) \\
&= \mathrm{div\,}^{\prime}\boldsymbol{A}^{\prime} (\boldsymbol{x}^{\prime} ) \\
\mathrm{rot\,} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})
&= \mathrm{rot\,}^{\prime} \boldsymbol{A} \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr) \\
&= \mathrm{rot\,}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime} (\boldsymbol{x}^{\prime} ) \\
\underset{=\Delta}{ \underline{\mathrm{div\,} \mathrm{grad\,}} } \psi (\boldsymbol{x})
&= \underset{=\Delta^{\prime}}{ \underline{\mathrm{div\,}^{\prime} \mathrm{grad\,}^{\prime}} } \psi \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr)\\
&= \Delta^{\prime} \psi^{\prime} ( \boldsymbol{x}^{\prime} )
\end{aligned}
曲線座標
この記事では,- 曲線座標系のラプラシアンを導出(ヤコビアンを含んだ形)
- 極座標・円筒座標に適用(上の表式のヤコビアンを計算し,代入)
以下では,次のように記号を定めます:
- $\displaystyle J=\Biggl| \det{ \biggl(\frac{\partial x_i}{\partial x^\prime_j}\biggr)} \Biggr|$:直交直線座標系(デカルト座標系)$\boldsymbol{x}=(x,y,z)$から曲線座標系$\boldsymbol{x}^\prime=(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$への変換におけるヤコビアン.つまり,積分の変数変換が\begin{aligned}で表されるとします.
&\int f(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\
&= \int f \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^\prime)\bigr) J \,\mathrm{d}x^\prime\,\mathrm{d}y^\prime\,\mathrm{d}z^\prime
\end{aligned}
- $\psi(x,y,z)$:ある(有限な)領域の外では$0$になるような任意関数.
それでは,曲線座標における
- ベクトル場$\boldsymbol{A}^\prime(\boldsymbol{x}^\prime)$の発散:$\mathrm{div\,}^{\prime}\boldsymbol{A}^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime})$
- スカラー場$u^\prime(\boldsymbol{x}^\prime)$のラプラシアン:$\Delta^{\prime} u^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime})$
を計算してみましょう.
仮定から,十分大きな曲面$S$を取れば,$S$の上で$\psi=0$となるようできます.このような曲面$S$に対してGaussの発散定理を用いれば
\int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot ( \psi \boldsymbol{A} )\,\mathrm{d}V
&=\int_S \psi \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \\
&=0
\end{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\cdot ( \psi \boldsymbol{A} )
= \boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A}
+\psi ( \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A} )
\end{aligned}
&\int \psi (\textcolor{red}{ \mathrm{div\,}^\prime \boldsymbol{A}^\prime } ) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
=\int \psi (\mathrm{div\,} \boldsymbol{A} ) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\
&=\int \psi (\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\
&=-\int \underset{=(\partial_\mu \psi) A^\mu}{\underline{\boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A} }}
\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
+\underset{=0}{\underline{\int \boldsymbol{\nabla}\cdot ( \psi \boldsymbol{A}) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z }}\\
&=-\int (\partial^\prime_\mu \psi^\prime )A^{\prime\mu} J
\,\mathrm{d}x^{\prime}\,\mathrm{d}y^{\prime}\,\mathrm{d}z^{\prime}
\end{aligned}
&=-\Biggl[\overbrace{\int \partial^\prime_\mu (\psi^\prime J A^{\prime\mu} )
\,\mathrm{d}x^{\prime}\,\mathrm{d}y^{\prime}\,\mathrm{d}z^{\prime} }^{=0\,\text{(*1)}} \\
&\qquad\qquad\qquad
-\int \psi^\prime \partial^\prime_\mu (J A^{\prime\mu} )
\,\mathrm{d}x^{\prime}\,\mathrm{d}y^{\prime}\,\mathrm{d}z^{\prime} \Biggr]\\
&=\int \psi \biggl[\textcolor{red}{\partial^\prime_\mu (J A^{\prime\mu} ) \frac{1}{J}} \biggr]
\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
\end{aligned}
$\partial^{\prime}_{\mu} (\psi^{\prime} J A^{\prime\mu} ) \neq \mathrm{div\,}^{\prime} (\psi^{\prime} J \boldsymbol{A}^{\prime} )$なので,Gaussの発散定理は適用できません.$f=\psi^{\prime} J A^{\prime\mu}$とするとき,$\displaystyle\int^b_a \frac{\partial f}{\partial x^\prime} \,\mathrm{d}x^\prime=f(a,y^\prime,z^{\prime})-f(b,y^{\prime},z^{\prime})$で,面$S$上で$\psi^{\prime}=0$より$f(a,y^{\prime},z^{\prime})=f(b,y^{\prime},z^{\prime})=0$となることを用いています($y^{\prime},z^{\prime}$成分についても同様).
上式で$\psi$は任意関数であることから ,赤字部分が等しくなることがわかります(【補足】∫(ψ・f)=0(ψは任意関数)⇒f=0となる理由):
\mathrm{div\,}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime}
= \frac{1}{J} \partial^{\prime}_{\mu} (J A^{\prime\mu} )
\tag{1}
% \label{eq:div}
\end{aligned}
上の計算を$\boldsymbol{A}^{\prime}$の代わりに$\boldsymbol{\nabla}^{\prime} u^{\prime} =\mathrm{grad\,}^{\prime} u^{\prime}$で行えば,ラプラシアンを導くことができます.(途中式で
\cdots
&=-\int \underset{=(\partial_\mu \psi) (\partial^\mu u)}{\underline{\boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{\nabla} u}}
\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\
&=-\int (\partial^\prime_\mu \psi^\prime ) (\partial^{\prime\mu}u^{\prime}) J
\,\mathrm{d}x^\prime\,\mathrm{d}y^\prime\,\mathrm{d}z^\prime \\
&=\cdots
\end{aligned}
\boldsymbol{\Delta}^{\prime} u^{\prime}
&=\mathrm{div\,}^{\prime} \mathrm{grad\,}^{\prime} u^{\prime} \\
&= \frac{1}{J} \partial^{\prime}_{\mu} (J \partial^{\prime\mu} u^{\prime} )
\tag{2}
% \label{eq:Laplacian}
\end{aligned}
以上より,曲線座標の発散 (div),ラプラシアンの一般的な表式を求めることができました.偏微分を計算するよりはるかに簡単ですね.
ヤコビアン$J$,$\partial^{\prime}_{\mu}$,$A^{\prime \mu}$に具体的な表式を代入することで,極座標や円筒座標の発散・ラプラシアンが求められます.それぞれの計算方法を整理すると,
- $\displaystyle J=\Biggl|\det{\biggl(\frac{\partial x_i}{\partial x^\prime_j}\biggr)} \Biggr|$
- $\displaystyle \partial^\prime_\mu=\frac{\partial}{\partial x^{\prime\mu}}$
- $\displaystyle A^{\prime \mu}=\frac{\text{ベクトル解析の意味での}A^{\prime\mu} }{ \sqrt{g^\prime_{\mu\mu}} }$
(この式の導出:「テンソル記法」から「ベクトル解析の記法」への変換方法 - Notes_JP).
上の最後の式からわかるように,$\displaystyle A^{\prime\mu}=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\nu}A^\nu$で定義された$A^{\prime\mu}$はそのままベクトル解析で使うベクトルの成分にはなりません.例えば,3次元極座標のベクトルの成分は$\boldsymbol{A}^\prime =A_r\boldsymbol{e}_r$$+A_\theta\boldsymbol{e}_\theta$$+A_\phi \boldsymbol{e}_\phi$と表しますが,このとき
A^{\prime r}=A_r ,\quad
A^{\prime \theta}=\frac{A_\theta}{ r },\quad
A^{\prime \phi}=\frac{A_\phi}{ r\sin\theta }
\end{aligned}
それでは,式(1),(2)に$J$,$\partial^\prime_\mu$,$A^{\prime \mu}$を代入することで極座標や円筒座標の発散・ラプラシアンを求めてみましょう.
極座標
線素を$\mathrm{d}s$とするとき- $(\mathrm{d}s)^2$$=(\mathrm{d}r)^2+ (r \,\mathrm{d}\theta )^2 + (r\sin\theta \,\mathrm{d}\phi )^2$
です.したがって,$\sqrt{g^\prime_{rr}}=1$,$\sqrt{g^\prime_{\theta\theta}}=r$,$\sqrt{g^\prime_{\phi\phi}}=r\sin\theta$なので
- \begin{aligned} \boldsymbol{A}^\prime
= A^\prime_r \boldsymbol{e}^\prime_r
+\frac{A^\prime_\theta}{r} \boldsymbol{e}^\prime_\theta
+\frac{A^\prime_\phi}{r\sin\theta} \boldsymbol{e}^\prime_\phi \end{aligned} - ヤコビアン:$J=r^2 \sin\theta$
- 計量テンソル:
\begin{aligned}
(g^\prime_{\mu\nu})
&=(\boldsymbol{e}^\prime_\mu \cdot \boldsymbol{e}^\prime_\nu )\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&r^2&0 \\
0&0&r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}\\
(g^{\prime\mu\nu})
&=(g^\prime_{\mu\nu})^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1/r^2&0 \\
0&0&1/r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}
- 発散:
\begin{aligned}
&\mathrm{div\,}^\prime \boldsymbol{A}^\prime \\
&=\frac{1}{J}\partial^\prime_\mu
\biggl[J\frac{(\boldsymbol{A}^\prime)^\mu}{ \sqrt{g^\prime_{\mu\mu}} } \biggr] \\
&=\frac{1}{r^2\sin\theta}
\Biggl[\partial_r (r^2\sin\theta\,A_r )
+\partial_\theta \biggl(\frac{r^2\sin\theta}{r} A_\theta \biggr)
+\partial_\phi \biggl(\frac{r^2\sin\theta}{r\sin\theta} A_\phi \biggr)
\Biggr] \\
&=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} (r^2 A_r)
+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta A_\theta)
+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
\end{aligned} - ラプラシアン:
\begin{aligned}
&\Delta^\prime u^\prime \\
&=\frac{1}{J}g^{\prime \mu\nu} \partial^\prime_\mu (J \partial^{\prime}_{\nu} u^\prime) \\
&=\frac{1}{r^2\sin\theta}
\Biggl[\partial_r (r^2\sin\theta \cdot \partial_r u )
+\frac{1}{r^2}\partial_\theta (r^2\sin\theta \cdot \partial_\theta u )
+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\partial_\phi (r^2\sin\theta \cdot \partial_\phi u)
\Biggr] \\
&=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \biggl(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \biggr)
+\frac{1}{r^2} \biggl[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \biggl(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \biggr)
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2}\biggr]
\end{aligned}
円筒座標
極座標と全く同様にして発散・ラプラシアンを求めることができます.円筒座標では線素を$\mathrm{d}s$とするとき
- $(\mathrm{d}s )^2=(\mathrm{d}r)^2+(r \,\mathrm{d}\theta )^2 +(\mathrm{d}z)^2$
です.したがって,$\sqrt{g^\prime_{rr}}=1$,$\sqrt{g^\prime_{\theta\theta}}=r$,$\sqrt{g^\prime_{zz}}=1$なので
- $\displaystyle \boldsymbol{A}^{\prime} = A^{\prime}_r \boldsymbol{e}^{\prime}_r +\frac{A^{\prime}_{\theta}}{r} \boldsymbol{e}^{\prime}_{\theta} + A^{\prime}_z \boldsymbol{e}^{\prime}_z $
- ヤコビアン:$J=r$
- 計量テンソル:
\begin{aligned}
\bigl(g^\prime_{\mu\nu}\bigr)
&=\left(\boldsymbol{e}^\prime_\mu \cdot \boldsymbol{e}^\prime_\nu \right)\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&r^2&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}\\
\left(g^{\prime\mu\nu}\right)
&=\left(g^\prime_{\mu\nu}\right)^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1/r^2&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
- 発散:
\begin{aligned}
&\mathrm{div\,}^\prime \boldsymbol{A}^\prime \\
&=\frac{1}{J}\partial^\prime_\mu
\left[J\frac{\left(\boldsymbol{A}^\prime\right)^\mu}{\sqrt{g^\prime_{\mu\mu}}} \right] \\
&=\frac{1}{r}
\left[\partial_r \left(r \,A_r\right)
+\partial_\theta \left(\frac{r}{r} A_\theta\right)
+\partial_z \left(r A_z \right)
\right] \\
&=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r A_r\right)
+ \frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial A_z}{\partial z}
\end{aligned} - ラプラシアン:
\begin{aligned}
&\Delta^\prime u^\prime \\
&=\frac{1}{J}g^{\prime\mu\nu} \partial^\prime_\mu \left(J \partial^{\prime}_{\nu} u^\prime\right) \\
&=\frac{1}{r}
\left[\partial_r \left(r \cdot \partial_r u\right)
+\frac{1}{r^2}\partial_\theta \left(r \cdot \partial_\theta u\right)
+\partial_\phi\left(r \cdot \partial_\phi u\right)
\right] \\
&=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u}{\partial r} \right)
+ \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
+ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
\end{aligned}
付録
【一般化】曲がった空間
上の議論を,曲がった空間に一般化しましょう.まず,$\bigl( x^{\prime\mu} \bigr)$をGalilei座標,$\bigl( x^\mu \bigr)$を任意の曲線座標とし,以下で記号を定めます:
- それぞれの計量テンソルを$g^{\prime}_{\mu\nu}$,$g_{\mu\nu}$
- 共変微分を$\boldsymbol{\nabla}^{\prime}_\mu=\partial^{\prime}_\mu$,$\boldsymbol{\nabla}_\mu$
- $\bigl( x^{\prime\mu} \bigr)$から$\bigl( x^\mu \bigr)$への座標変換を行う際のヤコビアンを$J=\det(\partial_\mu x^{\prime\nu})$
このとき,
&g^{\prime\mu\nu}=\partial_\rho x^{\prime\mu} \partial_\sigma x^{\prime\nu} g^{\rho\sigma}\\
&\det(g^\prime_{\mu\nu})=1/\det(g^{\prime\mu\nu}),\quad\det(g_{\mu\nu})=1/\det(g^{\mu\nu})
\end{aligned}
J=\sqrt{\bigl|\det(g_{\mu\nu})/\det(g^\prime_{\rho\sigma})\bigr|}
\end{aligned}
計算手法は,上と同じです.スカラー場$f$に対しては$\boldsymbol{\nabla}_\mu f=\partial_\mu f$であることに注意してください.
\int \psi\left(\boldsymbol{\nabla}_\mu A^\mu \right)\,\mathrm{d}^nx^{\prime}
&=\int \psi^{\prime}\left(\boldsymbol{\nabla}^{\prime}_\mu A^{\prime\mu} \right)\,\mathrm{d}^nx^{\prime}
=\int \psi^{\prime} \partial^{\prime}_\mu A^{\prime\mu} \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\partial^{\prime}_\mu \psi^{\prime} \right) A^{\prime\mu} \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}^{\prime}_\mu \psi^{\prime} \right) A^{\prime\mu} \,\mathrm{d}^nx^{\prime}
=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}_\mu \psi \right) A^\mu \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}_\mu \psi \right) A^\mu J\,\mathrm{d}^nx\\
&=-\int \left(\partial_\mu \psi \right) A^\mu J\,\mathrm{d}^nx\\
&=\int \psi \partial_\mu\left(J A^\mu \right)\,\mathrm{d}^nx\\
&=\int \psi \partial_\mu\left(J A^\mu \right)\,\frac{\mathrm{d}^nx^{\prime}}{J}
\end{aligned}
従って,
\boldsymbol{\nabla}_\mu A^\mu
=\frac{1}{J} \partial_\mu \bigl(J A^\mu \bigr)\,
\end{aligned}
上の結果で,$A^\mu=\boldsymbol{\nabla}^\mu \phi=\partial^\mu\phi$とすれば
\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{\nabla}^\mu \phi
=\frac{1}{J} \partial_\mu \bigl(J \partial^\mu\phi \bigr)\,
\end{aligned}
【補足】∫(ψ・f)=0(ψは任意関数)⇒f=0となる理由
よく使われる論法ですが,スルーされがちです.これは,もし$f(x)\neq g(x)$となる点$x$があったとすれば,その近くでだけ$\neq0$となる任意関数を選ぶ$\psi$と,積分が$\neq 0$となってしまうことから従います.実際に,以下を示してみましょう:\int \psi(x) [f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x=0
\end{aligned}
$f(x)-g(x)$は連続関数なので,もし$f(x)\neq g(x)$となる点$x$があれば,その点の十分近くの領域$V$をとることで
f(y)-g(y)>0\quad(y\in V)\qquad\text{or}\qquad f(y)-g(y)<0\quad(y\in V)
\end{aligned}
\begin{cases}
\psi(y) \geq 0 &(y\in V)\\
\psi(y) >0 &(y\in U)\\
\psi(y)=0 & (y\notin V)
\end{cases}
\end{aligned}
\int \psi(x) [f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x\neq0
\end{aligned}
参考文献/記事
- [1]熱・波動と微分方程式:この記事は,この書籍で紹介している「部分積分を用いたラプラシアンの導出」を一般化したものです.
- [2]詳解物理応用数学演習:ラプラシアンの表式だけが知りたい場合は,次の演習書が辞書代わりになります.分厚いですが,公式や計算手法を調べる際には便利です.悩んでいる問題があったら,パラパラめくってみると役に立つことが見つかるかもしれません.
- [3]場の古典論:一般の曲線座標の場合のラプラシアンの表式は,LandauのNotationを使いました.詳しくは,本書を参照して下さい.
- [4]共変微分による極座標系ラプラシアンの導出 [物理のかぎしっぽ]:このページで,一般曲線座標のラプラシアンの導出について議論がされています.