圧力と応力

POINT

  • 応力テンソルと圧力の関係.

完全流体

完全流体における応力は面に垂直に働く「圧力」だけです.

圧力は「圧力の働く点」のみに依存し,「圧力の働く面」のとり方には依存しない(すべての方向に同じ値をとる)ことが示せます.

したがって,各軸方向の応力ベクトルはスカラー場$p$を用いて$\boldsymbol{p}_i=-p\boldsymbol{e}_i\,(i=1,2,3)$と表すことができ,法線ベクトルを$\boldsymbol{n}$とする面に働く応力ベクトルは
\begin{align}
\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}
&=\sum_i n^i(-p\boldsymbol{e}_i)
=-p\boldsymbol{n}
\end{align}となります.このとき,運動方程式に現れる応力テンソルの項は
\begin{align}
\sum_i \partial_i\boldsymbol{p}_i
&=\sum_i \partial_i (-p\boldsymbol{e}_i)=-\boldsymbol{\nabla}p
\end{align}です.