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流体力学の方程式（運動方程式・連続の方程式・状態方程式）

物理学 物理学-流体力学

POINT

  • 流体力学において流れを決定する方程式を整理する．
  • 運動方程式(1)は任意の連続物体（流体，弾性体，塑性体）について成り立つ

連続物体の運動量・質量・エネルギーの保存則は，それぞれ運動方程式・連続の方程式・状態方程式に対応します．流体力学では，これらの方程式から未知数を決定することになります．
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記法

$V$を流体中の任意の領域とし，$V$の表面を$S=\partial V$（面の法線ベクトル$\boldsymbol{n}$）とします．また，流体の密度を$\rho$，速度を$\boldsymbol{u}$で表します．

運動方程式

運動方程式
運動方程式は
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t}
=\boldsymbol{K} + \frac{1}{\rho}\sum_{i} \partial_{i} \boldsymbol{p}_{i}
\tag{1}
% \label{eq:EOM}
\end{aligned}
で与えられる．成分で書くと
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D} u_{i}}{\mathrm{D}t}
=K_{i} +\frac{1}{\rho}\sum_{k} \partial_{k} p_{ki}
\end{aligned}
である．

【補足】特に，完全流体の場合は応力に関する項を「圧力$p$」を使って
\begin{aligned}
\sum_i \partial_i\boldsymbol{p}_i
&=-\boldsymbol{\nabla}p
\end{aligned}
と表せる（解説：圧力と応力 - Notes_JP）から
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t}
=\boldsymbol{K} - \frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p
\end{aligned}
となる．さらに，$\rho=f(p)$という関係が成り立ち(i.e. バロトロピー流)，外力がポテンシャル$\Omega$を用いて$\boldsymbol{K}=-\boldsymbol{\nabla} \Omega$と表すことができる（i.e. 保存力）場合は
\begin{aligned}
\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}
=- \boldsymbol{\nabla}
\biggl(\Omega
+\frac{|\boldsymbol{u}|^2}{2}
+\int^p \frac{p^\prime}{\rho}\,\mathrm{d}p^\prime
\biggr)
+\boldsymbol{u}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{u}
\end{aligned}
となる（物質微分を変形することにより得られる（解説：関連記事[A]））．
【解説】
導出からわかるように，式(1)は任意の連続物体（流体，弾性体，塑性体）について成り立つものです．

単位質量あたりに働く外力を$\boldsymbol{K}$とします．領域$V$において力の釣り合いを考えると

\begin{aligned}
\int_V
\biggl(\boldsymbol{K}-\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t}\biggr)\rho
\,\mathrm{d}V
+\int_S \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}S
=0
\end{aligned}
が成立します．ここで，$\mathrm{D}/\mathrm{D}t$は物質微分（参考：関連記事[A]）を意味しています．つまり，$\mathrm{D}\boldsymbol{u}/\mathrm{D}t$は流体粒子の加速度を表しています．また，$\displaystyle \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}=\sum_{i,j}n_i p_{ij} \boldsymbol{e}_j$は応力ベクトルを表しています（参考：関連記事[B]）．

ここで，ガウスの発散定理から

\begin{aligned}
\int_V \partial_i p_{ij} \,\mathrm{d}V
&=\int_{\partial V} n_i p_{ij} \,\mathrm{d}S
\end{aligned}
が成り立つので，応力ベクトルの積分公式
流体中の領域$V$の表面$S=\partial V$に流体が及ぼし合う力
\begin{aligned}
\int_{\partial V} \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}S
&=\int_{V} \sum_i \partial_i\boldsymbol{p}_i \,\mathrm{d}V
\end{aligned}
が導かれます．これを用いると，
\begin{aligned}
\int_V
\Biggl[
\biggl(\boldsymbol{K}-\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t}\biggr)\rho
+\sum_i \partial_i \boldsymbol{p}_i
\Biggr]\,\mathrm{d}V
=0
\end{aligned}
となり，領域$V$のとり方は任意であることから運動方程式が得られます．//

連続の方程式

連続の方程式
\begin{aligned}
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div\,} (\rho\boldsymbol{u})
=0
% \label{eq:EOC}
\end{aligned}
【解説】
領域$V$において，単位時間あたりの質量保存則を考えると
\begin{aligned}
\int_S \rho \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}S
&=-\frac{\partial}{\partial t}\int_V \rho\,\mathrm{d}V.
\end{aligned}
Gaussの発散定理から
\begin{aligned}
\int_V
\biggl[
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div\,} (\rho\boldsymbol{u})
\biggr]
\,\mathrm{d}V
=0.
\end{aligned}
領域$V$のとり方は任意なので，連続の方程式が成立します．//

状態方程式

流体力学では密度$\rho$と圧力$p$との間に，
流体の状態方程式
\begin{aligned}
\rho=f(p)
% \label{eq:Characteristic_eq}
\end{aligned}
という関数関係が成り立つと仮定することが多いです．

参考文献/記事