流体力学の方程式(運動方程式・連続の方程式・状態方程式)

POINT

  • 流体力学において流れを決定する方程式を整理します.

連続物体の運動量・質量・エネルギーの保存則は,それぞれ運動方程式・連続の方程式・状態方程式に対応します.流体力学では,これらの方程式から未知数を決定することになります.

記法

$V$を流体中の任意の領域とし,$V$の表面を$S=\partial V$(面の法線ベクトル$\boldsymbol{n}$)とします.また,流体の密度を$\rho$,速度を$\boldsymbol{u}$で表します.

運動方程式

運動方程式
\begin{align}
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t}
=\boldsymbol{K}+\frac{1}{\rho}\sum_i \partial_i\boldsymbol{p}_i
\label{eq:EOM}
\end{align}
【解説】
導出からわかるように,この式は任意の連続物体(流体,弾性体,塑性体)について成り立つものです.

単位質量あたりに働く外力を$\boldsymbol{K}$とします.領域$V$において力の釣り合いを考えると
\begin{align}
\int_V
\biggl(\boldsymbol{K}-\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t}\biggr)\rho
\,\mathrm{d}V
+\int_S \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}S
=0
\end{align}が成立します.ここで,$\mathrm{D}/\mathrm{D}t$は物質微分を意味しています.つまり,$\mathrm{D}\boldsymbol{u}/\mathrm{D}t$は流体粒子の加速度を表しています.また,$\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}$は応力ベクトルを表しています.

応力ベクトルの積分公式(導出:応力テンソルとは - Notes_JP

流体中の領域$V$の表面$S=\partial V$に流体が及ぼし合う力
\begin{align}
\int_{\partial V} \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}S
&=\int_{V} \sum_i \partial_i\boldsymbol{p}_i \,\mathrm{d}V
\label{eq:gauss_press_tensor}
\end{align}
を用いると
\begin{align}
\int_V
\Biggl[
\biggl(\boldsymbol{K}-\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t}\biggr)\rho
+\sum_i \partial_i \boldsymbol{p}_i
\Biggr]\,\mathrm{d}V
=0
\end{align}となり,領域$V$のとり方は任意であることから運動方程式が得られます.//

連続の方程式

連続の方程式
\begin{align}
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div\,}\left(\rho\boldsymbol{u}\right)
=0
\label{eq:EOC}
\end{align}
【解説】
領域$V$において,単位時間あたりの質量保存則を考えると
\begin{align*}
\int_S \rho \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}S
&=-\frac{\partial}{\partial t}\int_V \rho\,\mathrm{d}V.
\end{align*}Gaussの発散定理から
\begin{align*}
\int_V
\biggl[
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div\,}\left(\rho\boldsymbol{u}\right)
\biggr]
\,\mathrm{d}V
=0.
\end{align*}領域$V$のとり方は任意なので,連続の方程式が成立します.//

状態方程式

流体力学では密度$\rho$と圧力$p$との間に,
流体の状態方程式
\begin{align}
\rho=f(p)
\label{eq:Characteristic_eq}
\end{align}
という関数関係が成り立つと仮定することが多いです.

参考文献/記事