流体力学の方程式(運動方程式・連続の方程式・状態方程式)

POINT

  • 流体力学において流れを決定する方程式を整理します.

連続物体の運動量・質量・エネルギーの保存則は,それぞれ運動方程式・連続の方程式・状態方程式に対応します.流体力学では,これらの方程式から未知数を決定することになります.

記法

$V$を流体中の任意の領域とし,$V$の表面を$S=\partial V$(面の法線ベクトル$\boldsymbol{n}$)とします.また,流体の密度を$\rho$,速度を$\boldsymbol{u}$で表します.

運動方程式

運動方程式
運動方程式は
\begin{align}
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t}
=\boldsymbol{K}+\frac{1}{\rho}\sum_i \partial_i\boldsymbol{p}_i
\tag{1}
\label{eq:EOM}
\end{align}で与えられる.

【補足】特に,完全流体の場合は圧力$p$を用いて
\begin{align}
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t}
=\boldsymbol{K} - \frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p
\end{align}となる.さらに,$\rho=f(p)$という関係が成り立ち(i.e. バロトロピー流),外力がポテンシャル$\Omega$を用いて$\boldsymbol{K}=-\boldsymbol{\nabla} \Omega$と表すことができる(i.e. 保存力)場合は
\begin{align}
\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}
=- \boldsymbol{\nabla}
\biggl(\Omega
+\frac{|\boldsymbol{u}|^2}{2}
+\int^p \frac{p^\prime}{\rho}\,\mathrm{d}p^\prime
\biggr)
+\boldsymbol{u}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{u}
\end{align}となる.

【解説】
導出からわかるように,式(\ref{eq:EOM})は任意の連続物体(流体,弾性体,塑性体)について成り立つものです.

単位質量あたりに働く外力を$\boldsymbol{K}$とします.領域$V$において力の釣り合いを考えると
\begin{align}
\int_V
\biggl(\boldsymbol{K}-\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t}\biggr)\rho
\,\mathrm{d}V
+\int_S \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}S
=0
\end{align}が成立します.ここで,$\mathrm{D}/\mathrm{D}t$は物質微分を意味しています.つまり,$\mathrm{D}\boldsymbol{u}/\mathrm{D}t$は流体粒子の加速度を表しています.また,$\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}$は応力ベクトルを表しています.

応力ベクトルの積分公式

流体中の領域$V$の表面$S=\partial V$に流体が及ぼし合う力
\begin{align}
\int_{\partial V} \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}S
&=\int_{V} \sum_i \partial_i\boldsymbol{p}_i \,\mathrm{d}V
\label{eq:gauss_press_tensor}
\end{align}(導出:応力テンソルとは - Notes_JP
を用いると
\begin{align}
\int_V
\Biggl[
\biggl(\boldsymbol{K}-\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t}\biggr)\rho
+\sum_i \partial_i \boldsymbol{p}_i
\Biggr]\,\mathrm{d}V
=0
\end{align}となり,領域$V$のとり方は任意であることから運動方程式が得られます.

また,完全流体の場合は圧力$p$を用いて
\begin{align}
\sum_i \partial_i\boldsymbol{p}_i
&=-\boldsymbol{\nabla}p
\end{align}が成立します(解説:圧力と応力 - Notes_JP).

最後の表式は,物質微分を変形することにより得られます(解説:物質微分の意味と関係式(流体力学) - Notes_JP).//

連続の方程式

連続の方程式
\begin{align}
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div\,} (\rho\boldsymbol{u})
=0
\label{eq:EOC}
\end{align}
【解説】
領域$V$において,単位時間あたりの質量保存則を考えると
\begin{align*}
\int_S \rho \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}S
&=-\frac{\partial}{\partial t}\int_V \rho\,\mathrm{d}V.
\end{align*}Gaussの発散定理から
\begin{align*}
\int_V
\biggl[
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div\,} (\rho\boldsymbol{u})
\biggr]
\,\mathrm{d}V
=0.
\end{align*}領域$V$のとり方は任意なので,連続の方程式が成立します.//

状態方程式

流体力学では密度$\rho$と圧力$p$との間に,
流体の状態方程式
\begin{align}
\rho=f(p)
\label{eq:Characteristic_eq}
\end{align}
という関数関係が成り立つと仮定することが多いです.

参考文献/記事