定常波・定在波の性質

POINT

  • 定常波・定在波の性質について考察する.
  • 自由端反射と固定端反射による定常波の特徴.

意外とちゃんと考えたことがなかったので,丁寧に考察してみました.

「共鳴」は書きかけ...

記法

2通りの記法の間の変換公式を求めておきます.

この記事では,正弦波を$A>0$として
\begin{align}
f(x,t)
&=A \sin(\color{blue}{\omega t}\pm \color{red}{kx}+\psi) \\
&=A \sin(\color{red}{kx}\pm\color{blue}{\omega t}+\phi)
\end{align}と表します.つまり,

  • $\psi$は$\omega t \pm kx$のときに用いる位相
  • $\phi$は$kx\pm\omega t$のときに用いる位相
とします.

ここで,
\begin{align}
A \sin(kx-\omega t+\phi)
&=-A \sin(\omega t - kx - \phi) \\
&=A \sin(\omega t - kx - \phi + \pi)\\
A \sin(kx+\omega t+\phi)
&=A \sin(\omega t + kx +\phi) \\
\end{align}から,$\psi$と$\phi$の間には以下の関係があることがわかります:

$\psi$と$\phi$の関係
$n$を整数とすると,
  1. $A\sin(kx-\omega t+\phi)=A\sin(\omega t - kx +\psi)$の間の関係:
    • $\psi=(-\phi+\pi)+2n\pi$
  2. $A\sin(kx+\omega t+\phi)=A\sin(\omega t + kx +\psi)$の間の関係:
    • $\psi=\phi+2n\pi$
となる.
整数$n$は何でも良いので,以下では$n=0$として変換します.

定常波と定在波

文献「音と音波 (基礎物理学選書 (4))」によると,「定常波 (standing wave)」と「定在波 (stationary wave)」は本来区別されて使用されるものだそうです.

定常波

逆向きに進む(波長・振動数が同じ)正弦波($A_1 >0, A_2 > 0$とします.負の場合は$\phi_i+\pi$とすれば良いためです.)
\begin{align}
f_1(x,t)&=A_1 \sin(kx-\omega t+\phi_1) \\
f_2(x,t)&=A_2 \sin(kx+\omega t+\phi_2)
\end{align}が同時に存在するときの波形は
\begin{align}
&f_{\mathrm{standing}}(x,t)\\
&=f_1(x,t) + f_2(x,t) \\
&=\bigl[-A_1\cos(kx+\phi_1)+A_2\cos(kx+\phi_2)\bigr] \sin(\omega t) \\
&\quad\, +\bigl[A_1\sin(kx+\phi_1)+A_2\sin(kx+\phi_2)\bigr] \cos(\omega t)\\
&= A(x) \sin[\omega t + \phi(x)]
\end{align}ただし,
\begin{align}
&A(x) \\
&=\sqrt{A_1^2 + A_2^2 -2A_1 A_2\cos[2kx+(\phi_1+\phi_2)]} \\
&\cos\phi(x) \\
&=\frac{-A_1\cos(kx+\phi_1)+A_2\cos(kx+\phi_2)}{\sqrt{A_1^2 + A_2^2 -2A_1 A_2\cos[2kx+(\phi_1+\phi_2)]}} \\
&\sin\phi(x) \\
&=\frac{A_1\sin(kx+\phi_1)+A_2\sin(kx+\phi_2)}{\sqrt{A_1^2 + A_2^2 -2A_1 A_2\cos[2kx+(\phi_1+\phi_2)]}}
\end{align}となります.この計算では,加法定理と三角関数の合成を用いています(参考:三角関数と公式 - Notes_JP).

この$f_{\mathrm{standing}}(x,t)$を「定常波 (standing wave)」と呼びます.特徴をまとめておきます:

定常波の特徴
  • 振幅$A(x)$が位置に関する周期関数である.
  • 振幅$A(x)$の極大($A(x)=| A_1+A_2 |$)・極小($A(x)=|A_1-A_2|$)の位置は時間に依らない(静止したまま).

【補足】
振幅$A(x)$の極大位置$x_{\mathrm{max}}$,極小位置$x_{\mathrm{min}}$はそれぞれ$n$を整数として
\begin{align}
2kx_{\mathrm{max}}+(\phi_1+\phi_2)
&=(2n+1)\pi \\
2kx_{\mathrm{min}}+(\phi_1+\phi_2)
&=2n\pi
\end{align}すなわち
\begin{align}
x_{\mathrm{max}}
&=\bigl[(2n+1)\pi - (\phi_1+\phi_2)\bigr]/2k
\tag{1}\label{eq:x_max}\\
x_{\mathrm{mim}}
&=\bigl[2n\pi - (\phi_1+\phi_2)\bigr]/2k
\tag{2}\label{eq:x_min}
\end{align}で与えられます.これから,隣接する$x_{\mathrm{max}}$と$x_{\mathrm{min}}$の距離は
\begin{align}
\pi/2k
&=\frac{\lambda}{4}
\end{align}であることがわかります($k=2\pi/\lambda$).

定在波

定常波において,$A_1=A_2=A$のとき和積の公式から
\begin{align}
&f_{\mathrm{stationary}}(x,t)\\
&=f_1(x,t) + f_2(x,t) \\
&=2A\sin\biggl(kx+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)
\cos\biggl(\omega t-\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr)
\end{align}となります.この$f_{\mathrm{stationary}}(x,t)$を「定在波 (stationary wave)」と呼びます.

すべての位置において,時間的に同位相で振動する」ことが特徴です(一般の定常波では,$\phi(x)$だけ位相がずれる).

【補足】
$f_{\mathrm{standing}}(x,t)$の表式で$A_1=A_2=A > 0$として導出してみます.
\begin{align}
&A(x) \\
&=\sqrt{2A^2 -2A^2 \Bigl\{1-2\sin^2[kx+(\phi_1+\phi_2)/2]\Bigr\} } \\
&=2A \biggl|\sin[kx+(\phi_1+\phi_2)/2] \biggr| \\
&\cos\phi(x) \\
&=2A\sin\biggl(kx+ \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)
\sin\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr) / A(x) \\
&=\mathrm{sgn\,}\Biggl[\sin\biggl(kx+ \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)\Biggr]
\sin\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr) \\
&\sin\phi(x) \\
&=2A\sin\biggl(kx+ \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)
\cos\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr)/ A(x) \\
&=\mathrm{sgn\,}\Biggl[\sin\biggl(kx+ \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)\Biggr]
\cos\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr)
\end{align}なので,$f_{\mathrm{standing}}(x,t)=A(x) [\sin(\omega t)\cos\phi+\cos(\omega t)\sin\phi]$に代入すると($\theta=kx+(\phi_1+\phi_2)/2$として)
\begin{align}
&f_{\mathrm{stationary}}(x,t)\\
&=2A\biggl|\sin\theta \biggr| \\
&\quad\cdot \mathrm{sgn\,}\bigl(\sin\theta\bigr)
\Biggl[\sin(\omega t)\sin\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr) \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
+\cos(\omega t)\cos\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr) \Biggr]\\
&=2A \sin\theta \cos\biggl(\omega t-\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr)
\end{align}となり,上で導いた表式と一致します.//

反射波による定常波

定常波は反射波の存在により現れます.反射の際,位相が保たれる自由端反射と,位相が反転する固定端反射があります.

以下では,$x=0$での反射を考えます($x=a$に反射面がある場合は,$x=a$を原点に取り直し$f_1$, $f_2$の位相を$\psi_i \pm ka$とすれば$x=0$に反射面がある場合に帰着できます:$\omega t \pm kx+\psi_i$$=\omega t\pm k(x-a)+(\psi_i \pm ka)$).

また,上の議論における$f_1$を入射波,$f_2$を反射波として扱います.

自由端反射

反射面$x=0$で「反射波の位相=入射波の位相」となる場合を「自由端反射」と呼びます.

反射面$x=0$で
\begin{align}
f_1(0,t)
&=A_1 \sin(\omega t + \psi_1)
\tag{3-1}\label{eq:f_1_x=0} \\
f_2(0,t)
&=A_2 \sin(\omega t + \psi_2)
\tag{3-2}\label{eq:f_2_x=0}
\end{align}なので(*1),位相が等しいという条件は
\begin{align}
(\omega t + \psi_2) =
(\omega t + \psi_1)
\end{align}となり,

入射波・反射波の位相関係(自由端反射)
\begin{align}
\psi_2 - \psi_1
&=0 \\
\phi_1 +\phi_2
&=\pi
\end{align}
が得られます(したがって,$x=ka$に反射面があるときは$\psi_2 - \psi_1 = -2ka$).

振幅の極大値の位置$x_{\mathrm{max}}$を与える式(\ref{eq:x_max})に代入すると,$n$を整数として
\begin{align}
x_{\mathrm{max}}
&=\bigl[(2n+1)\pi - (\phi_1+\phi_2)\bigr]/2k \\
&=2n\pi/2k \\
&=n\pi/k \quad(=n\lambda/2 )
\end{align}となります.

特に,「反射面$x=0$で振幅が極大となる」ことがわかります.

固定端反射

反射面$x=0$で「反射波の位相=入射波の位相$+\pi$」となる場合を「固定端反射」と呼びます.

この条件は,式(\ref{eq:f_1_x=0}), (\ref{eq:f_2_x=0})から
\begin{align}
(\omega t + \psi_2) =
(\omega t + \psi_1 ) + \pi
\end{align}となり,

入射波・反射波の位相関係(固定端反射)
\begin{align}
\psi_2 - \psi_1
&=\pi \\
\phi_1 +\phi_2
&=0
\end{align}
が得られます(したがって,$x=ka$に反射面があるときは$\psi_2 - \psi_1 = -2ka + \pi$).

振幅の極大値の位置$x_{\mathrm{min}}$を与える式(\ref{eq:x_min})に代入すると,$n$を整数として
\begin{align}
x_{\mathrm{mim}}
&=\bigl[2n\pi - (\phi_1+\phi_2)\bigr]/2k \\
&=2n\pi /2k \\
&=n\pi/k \quad(=n\lambda/2 )
\end{align}となります.

特に,「反射面$x=0$で振幅が極小となる」ことがわかります.

共鳴

$x=-l/2$に波源1(かつ反射面1)があり,$x=l/2$に反射面2がある場合を考えます.波は反射面1, 2で反射されるとします.

準備:入射波と反射波の位相関係

波源1(反射面1)から発せられた波を
\begin{align}
f_1(x,t)
&=A_1 \sin[\theta_1(x,t)] \\
&=A_1 \sin\bigl\{\omega t - k[x-(-l/2)] + \psi_1\bigr\} \\
&=A_1 \sin\bigl[\omega t - kx + (\psi_1-kl/2)\bigr]
\end{align}と表し,反射面2から発せられた波を
\begin{align}
f_2(x,t)
&=A_2 \sin[\theta_2(x,t)] \\
&=A_2 \sin\bigl[\omega t + k(x-l/2) + \psi_2\bigr] \\
&=A_2 \sin\bigl[\omega t + kx + (\psi_2 - kl/2)\bigr]
\end{align}と表します.

ここで,「反射面$i$」に対して$m_i$を
\begin{align}
m_i=
\begin{cases}
\,0 & (\text{「反射面$i$」が自由端反射の場合}) \\
\,1 & (\text{「反射面$i$」が固定端反射の場合})
\end{cases}
\end{align}で定めると

  1. 「反射面1」での反射による位相変化:
    • $\theta_1(-l/2,t)-\theta_2(-l/2,t)=m\pi$より,$\psi_2 - \psi_1=-kl + m_1\pi$.
  2. 「反射面2」での反射による位相変化:
    • $\theta_2(l/2,t)-\theta_1(l/2,t)=m\pi$より,$\psi_1 - \psi_2=-kl + m_2\pi$.
となります.

つまり,上の形の$f_1$, $f_2$を用いて入射波・反射波を表せば,

「反射面$i$」での反射のたびに$-kl + m_i\pi$の位相を獲得する
ことがわかります.

全ての波の合成

計算の簡単化のために,正弦波を$\sin$ではなく$\exp$で表すことにします(虚部を取れば$\sin$になります).

波源1から
\begin{align}
&A_0 e^{i \bigl\{\omega t - k[x-(-l/2)] + \phi_0\bigr\}}
\end{align}という波が発せられているとします.また,$m_1=m_2=m$であるとします.

上で計算した「入射波と反射波の位相関係」から,「入射波」と「全ての反射波」の合成波は$n$を反射回数として
\begin{align}
&\sum_{n=0}^\infty A_n\exp\biggl\{i\bigl[\omega t - (-1)^n kx + (\phi_0-kl/2) \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + n(-kl + m\pi) \bigr]\biggr\} \\
&=e^{i[\omega t + (\phi_0-kl/2) ]}
\sum_{j=0}^\infty
\biggl[ A_{2j}e^{i[kx + 2j(-kl + m\pi)]} \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
+ A_{2j+1} e^{i[-kx + (2j+1)(-kl + m\pi)]} \biggr] \\
&=e^{i[\omega t + (\phi_0-kl/2) ]}
\underbrace{ \sum_{j=0}^\infty
( A_{2j} e^{i\theta_{2j}(x)} + A_{2j+1} e^{i\theta_{2j+1}(x)} )}_{=|A(x)|e^{i\phi(x)}}
\end{align}となります($n=0$は入射波を表す).ここで,
\begin{align}
\theta_{2j}(x)
&=kx - 2jkl \\
\theta_{2j+1} (x)
&=- kx - (2j+1)kl + m\pi
\end{align}と置きました.また,
\begin{align}
|A(x)|^2
&=\overline{\biggl(\sum_{n=0}^\infty A_{n} e^{i\theta_{n}(x)} \biggr)}
\biggl(\sum_{n=0}^\infty A_{n} e^{i\theta_{n}(x)} \biggr) \\
&=\sum_{n=0}^\infty A_{n}^2
+2\sum_{0 \leq m < n < \infty} A_m A_n \cos(\theta_n - \theta_m)
\end{align}です(参考:三角関数の合成と一般化 - Notes_JP).

進行波との違い

極大・極小位置が移動しないため,どの時間$t$においても
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)=0
\end{align}となる$x$が存在します.

したがって,この点では流体粒子が加速されず静止したままとなります.


参考文献

*1:$kx-\omega t + \phi$の形の位相で計算をスタートすると,境界条件を考える際に$\omega t - kx + \psi$の形に変形する必要があります.