定常波・定在波の性質

POINT

  • 定常波・定在波の性質について考察する.
  • 自由端反射と固定端反射による定常波の特徴.

【関連記事】
[A]2層・垂直入射の反射と透過(電磁波・音波・量子力学) - Notes_JP:振幅反射率の具体的な表式を求めています.
[B]【旧版】定常波・定在波の性質 - Notes_JP:この記事は,関連記事[B]を書き換えたものです.

平面進行波と位相

定在波の説明で必要になるので,「進行波が形を保って進んで見えるのは,各位置で位相がずれているから」ということを注意しておきます.

$\boldsymbol{k}$方向に進む平面進行波は

\begin{aligned}
Ae^{i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x} - \omega t)}
= |A|e^{i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x} - \omega t + \theta)}
\end{aligned}
と表すことができます($A=|A|e^{i\theta}$).時刻$t$を固定してみれば,各位置$\boldsymbol{x}$での波の位相は($\boldsymbol{x}=0$での位相に比べて)$e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}$だけずれていることになります.この「位相のずれ」によって波が形を保つために移動して見えるのです.

この「位相のずれ」がなければ,波はその場でバタバタと振動して形を変えて見えます(全て位置の振幅がゼロになる瞬間や,最大になる瞬間が同時に訪れる).これを「定在波」と呼びます.

定常波と定在波

文献[1]によると,「定常波 (standing wave)」と「定在波 (stationary wave)」は本来区別されて使用されるものだそうです.

定常波

$x=d$に反射面があるとし,$x$軸正方向に進む波
\begin{aligned}
&\psi_\mathrm{i}(x,t) = A_{\mathrm{i}} e^{i(kx-\omega t)} \\
&(A_\mathrm{i}=|A_\mathrm{i}| e^{i\theta_\mathrm{i}})
\end{aligned}
が反射面に入射する場合を考える.

このとき.振幅反射率を$R=|R|e^{i\delta_{\mathrm{R}}}$で表すと,反射波は

\begin{aligned}
\psi_\mathrm{r}(x,t)
&= A_\mathrm{r} e^{-i(kx + \omega t)} \\
&=R A_\mathrm{i} e^{-i(kx + \omega t)}
\end{aligned}
と表すことができる($A_\mathrm{r}=R A_\mathrm{i}$).また,反射面$x=d$において
\begin{aligned}
\psi_\mathrm{r}(d,t)
&= Re^{-i2kd}\cdot \psi_\mathrm{i}(d,t) \\
&=|R|e^{i(-2kd+\delta_{\mathrm{R}})} \cdot \psi_\mathrm{i}(d,t)
\end{aligned}
の関係がある.この関係は「定在波」の議論で用いる.

入射波と反射波の合成波は

\begin{aligned}
&\psi(x,t) \\
&=\psi_\mathrm{i}(x,t) + \psi_\mathrm{r}(x,t)\\
&= A_{\mathrm{i}}
( \underbrace{e^{ikx} + |R|e^{i\delta_{\mathrm{R}}}\cdot e^{-ikx}}
_{\mathrlap{=r(x) e^{i\phi(x)} }} )
e^{-i\omega t} \\
&= A(x) e^{i[\phi(x) -\omega t + \theta_\mathrm{i}]}
\end{aligned}
となる.ここで,
\begin{aligned}
&A(x) = |A_{\mathrm{i}}| r(x) \\
&
\begin{cases}
\, r(x) =\sqrt{1+|R|^2 + 2|R| \cos(2kx - \delta_{\mathrm{R}})} \\
\, \cos\phi(x) = [\cos(kx)+|R| \cos(kx - \delta_{\mathrm{R}})] / r(x) \\
\, \sin\phi(x) = [\sin(kx) - |R| \sin(kx - \delta_{\mathrm{R}})] / r(x)
\end{cases}
\end{aligned}
です.

これを「定常波 (standing wave)」と呼びます.特徴をまとめておきます:

定常波の特徴
  • 振幅$A(x)$は,位置$x$に関する周期関数である.
  • 振幅$A(x)$が極大値
    \begin{aligned} A(x)&=|A_{\mathrm{i}}| + |R A_{\mathrm{i}}|\\&=|A_{\mathrm{i}}| + |A_{\mathrm{r}}|\end{aligned}
    及び極小値
    \begin{aligned} A(x)&=|A_{\mathrm{i}}| - |R A_{\mathrm{i}}|\\&=|A_{\mathrm{i}}| - |A_{\mathrm{r}}|\end{aligned}
    をとる位置は時間に依らない(静止したまま).

定在波

特に,反射面$x=d$において
\begin{aligned}
&
\begin{cases}
\, \psi_\mathrm{r}(d,t) = \psi_\mathrm{i}(d,t) & (\text{自由端反射}) \\
\, \psi_\mathrm{r}(d,t) = - \psi_\mathrm{i}(d,t) & (\text{固定端反射})
\end{cases} \\
&\Leftrightarrow
\begin{cases}
\, |R|=1 \\
\, \delta_{\mathrm{R}} =
\begin{cases}
\, 2kd + 2n\pi & (\text{自由端反射}) \\
\, 2kd + (2n+1)\pi & (\text{固定端反射})
\end{cases}
\end{cases}
\end{aligned}
を満たす場合($n$は整数)を考えれば,
\begin{aligned}
&\psi(x,t) \\
&=\psi_\mathrm{i}(x,t) + \psi_\mathrm{r}(x,t)\\
&=A_{\mathrm{i}} e^{-i\omega t} (e^{ikx} \pm e^{i2kd}\cdot e^{-ikx}) \\
&=A_{\mathrm{i}} e^{i(-\omega t +kd)}
(e^{ik(x-d)} \pm e^{-ik(x-d)}) \\
&=
\begin{cases}
\, 2 |A_{\mathrm{i}}| e^{i(-\omega t + kd + \theta_\mathrm{i})}
\cos[k(x-d)] \\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (\text{自由端反射}) \\
\, 2i |A_{\mathrm{i}}| e^{i(-\omega t + kd + \theta_\mathrm{i})}
\sin[k(x-d)] \\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (\text{固定端反射})
\end{cases}
\end{aligned}
となる.よって,
境界面$x=d$での振幅
自由端反射
$(\psi_\mathrm{r}(d,t) = \psi_\mathrm{i}(d,t))$
$2|A_{\mathrm{i}}|$
固定端反射
$(\psi_\mathrm{r}(d,t) = -\psi_\mathrm{i}(d,t))$
$0$

これを「定在波 (stationary wave)」と呼びます.「すべての位置において同じ位相で振動する」ことが特徴です(一般の定常波では,位置$x$において位相が$\phi(x)$だけ違っていることに注意しましょう).

参考文献

[1]音と音波 (基礎物理学選書 (4)):$\S 5.1$ 入射音と反射音の干渉,定常波
[2]振動・波動 (基礎物理学選書 (8)):$\S 8.3$ 定常波