定常波・定在波の性質

POINT

• 定常波・定在波の性質について考察する．
• 自由端反射と固定端反射による定常波の特徴．

【関連記事】
[A]2層・垂直入射の反射と透過（電磁波・音波・量子力学） - Notes_JP：振幅反射率の具体的な表式を求めています．
[B]【旧版】定常波・定在波の性質 - Notes_JP：この記事は，関連記事[B]を書き換えたものです．

平面進行波と位相

定在波の説明で必要になるので，「進行波が形を保って進んで見えるのは，各位置で位相がずれているから」ということを注意しておきます．

$\boldsymbol{k}$方向に進む平面進行波は

\begin{aligned}
Ae^{i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x} - \omega t)}
= |A|e^{i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x} - \omega t + \theta)}
\end{aligned}

と表すことができます（$A=|A|e^{i\theta}$）．時刻$t$を固定してみれば，各位置$\boldsymbol{x}$での波の位相は（$\boldsymbol{x}=0$での位相に比べて）$e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}$だけずれていることになります．この「位相のずれ」によって波が形を保つために移動して見えるのです．

この「位相のずれ」がなければ，波はその場でバタバタと振動して形を変えて見えます（全て位置の振幅がゼロになる瞬間や，最大になる瞬間が同時に訪れる）．これを「定在波」と呼びます．

定常波と定在波

文献[1]によると，「定常波 (standing wave)」と「定在波 (stationary wave)」は本来区別されて使用されるものだそうです．

定常波

$x=d$に反射面があるとし，$x$軸正方向に進む波

\begin{aligned}
&\psi_\mathrm{i}(x,t) = A_{\mathrm{i}} e^{i(kx-\omega t)} \\
&(A_\mathrm{i}=|A_\mathrm{i}| e^{i\theta_\mathrm{i}})
\end{aligned}

が反射面に入射する場合を考える．

このとき．振幅反射率を$R=|R|e^{i\delta_{\mathrm{R}}}$で表すと，反射波は

\begin{aligned}
\psi_\mathrm{r}(x,t)
&= A_\mathrm{r} e^{-i(kx + \omega t)} \\
&=R A_\mathrm{i} e^{-i(kx + \omega t)}
\end{aligned}

と表すことができる（$A_\mathrm{r}=R A_\mathrm{i}$）．また，反射面$x=d$において

\begin{aligned}
\psi_\mathrm{r}(d,t)
&= Re^{-i2kd}\cdot \psi_\mathrm{i}(d,t) \\
&=|R|e^{i(-2kd+\delta_{\mathrm{R}})} \cdot \psi_\mathrm{i}(d,t)
\end{aligned}

の関係がある．この関係は「定在波」の議論で用いる．

入射波と反射波の合成波は

\begin{aligned}
&\psi(x,t) \\
&=\psi_\mathrm{i}(x,t) + \psi_\mathrm{r}(x,t)\\
&= A_{\mathrm{i}}
( \underbrace{e^{ikx} + |R|e^{i\delta_{\mathrm{R}}}\cdot e^{-ikx}}
_{\mathrlap{=r(x) e^{i\phi(x)} }} )
e^{-i\omega t} \\
&= A(x) e^{i[\phi(x) -\omega t + \theta_\mathrm{i}]}
\end{aligned}

となる．ここで，

\begin{aligned}
&A(x) = |A_{\mathrm{i}}| r(x) \\
&
\begin{cases}
\, r(x) =\sqrt{1+|R|^2 + 2|R| \cos(2kx - \delta_{\mathrm{R}})} \\
\, \cos\phi(x) = [\cos(kx)+|R| \cos(kx - \delta_{\mathrm{R}})] / r(x) \\
\, \sin\phi(x) = [\sin(kx) - |R| \sin(kx - \delta_{\mathrm{R}})] / r(x)
\end{cases}
\end{aligned}

です．

これを「定常波 (standing wave)」と呼びます．特徴をまとめておきます：

定常波の特徴

• 振幅$A(x)$は，位置$x$に関する周期関数である．
• 振幅$A(x)$が極大値
  \begin{aligned} A(x)&=|A_{\mathrm{i}}| + |R A_{\mathrm{i}}|\\&=|A_{\mathrm{i}}| + |A_{\mathrm{r}}|\end{aligned}
  及び極小値
  \begin{aligned} A(x)&=|A_{\mathrm{i}}| - |R A_{\mathrm{i}}|\\&=|A_{\mathrm{i}}| - |A_{\mathrm{r}}|\end{aligned}
  をとる位置は時間に依らない（静止したまま）．

定在波

特に，反射面$x=d$において

\begin{aligned}
&
\begin{cases}
\, \psi_\mathrm{r}(d,t) = \psi_\mathrm{i}(d,t) & (\text{自由端反射}) \\
\, \psi_\mathrm{r}(d,t) = - \psi_\mathrm{i}(d,t) & (\text{固定端反射})
\end{cases} \\
&\Leftrightarrow
\begin{cases}
\, |R|=1 \\
\, \delta_{\mathrm{R}} =
\begin{cases}
\, 2kd + 2n\pi & (\text{自由端反射}) \\
\, 2kd + (2n+1)\pi & (\text{固定端反射})
\end{cases}
\end{cases}
\end{aligned}

を満たす場合（$n$は整数）を考えれば，

\begin{aligned}
&\psi(x,t) \\
&=\psi_\mathrm{i}(x,t) + \psi_\mathrm{r}(x,t)\\
&=A_{\mathrm{i}} e^{-i\omega t} (e^{ikx} \pm e^{i2kd}\cdot e^{-ikx}) \\
&=A_{\mathrm{i}} e^{i(-\omega t +kd)}
(e^{ik(x-d)} \pm e^{-ik(x-d)}) \\
&=
\begin{cases}
\, 2 |A_{\mathrm{i}}| e^{i(-\omega t + kd + \theta_\mathrm{i})}
\cos[k(x-d)] \\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (\text{自由端反射}) \\
\, 2i |A_{\mathrm{i}}| e^{i(-\omega t + kd + \theta_\mathrm{i})}
\sin[k(x-d)] \\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (\text{固定端反射})
\end{cases}
\end{aligned}

となる．よって，

	境界面$x=d$での振幅
自由端反射 $(\psi_\mathrm{r}(d,t) = \psi_\mathrm{i}(d,t))$	$2|A_{\mathrm{i}}|$
固定端反射 $(\psi_\mathrm{r}(d,t) = -\psi_\mathrm{i}(d,t))$	$0$

これを「定在波 (stationary wave)」と呼びます．「すべての位置において同じ位相で振動する」ことが特徴です（一般の定常波では，位置$x$において位相が$\phi(x)$だけ違っていることに注意しましょう）．

参考文献

[1]音と音波 (基礎物理学選書 (4))：$\text{\sect} 5.1$ 入射音と反射音の干渉，定常波
[2]振動・波動 (基礎物理学選書 (8))：$\text{\sect} 8.3$ 定常波