POINT
- 定常波・定在波の性質について考察する．
- 自由端反射と固定端反射による定常波の特徴．
意外とちゃんと考えたことがなかったので，丁寧に考察してみました．
【関連記事】
[A]定常波・定在波の性質 - Notes_JP：この記事を複素表記$Ae^{i(\omega t - kx)},(A=|A|e^{i\phi})$，反射率$R$$(R=|R|e^{i\varphi})$を使って書き換えたものです．こちらの方が，この【旧版】の記事よりも見通しが良いです．
【メモ】
- 「共鳴」は書きかけ．．．
記法
2通りの記法の間の変換公式を求めておきます．この記事では，正弦波を$A>0$として
\begin{aligned}
f(x,t)
&=A \sin(\textcolor{blue}{\omega t}\pm \textcolor{red}{kx}+\psi) \\
&=A \sin(\textcolor{red}{kx}\pm\textcolor{blue}{\omega t}+\phi)
\end{aligned}
と表します．つまり，f(x,t)
&=A \sin(\textcolor{blue}{\omega t}\pm \textcolor{red}{kx}+\psi) \\
&=A \sin(\textcolor{red}{kx}\pm\textcolor{blue}{\omega t}+\phi)
\end{aligned}
- $\psi$は$\omega t \pm kx$のときに用いる位相
- $\phi$は$kx\pm\omega t$のときに用いる位相
ここで，
\begin{aligned}
A \sin(\textcolor{red}{kx}-\textcolor{blue}{\omega t}+\phi)
&=-A \sin(\textcolor{blue}{\omega t} - \textcolor{red}{kx} - \phi) \\
&=A \sin(\textcolor{blue}{\omega t} - \textcolor{red}{kx} - \phi + \pi)\\
A \sin(\textcolor{red}{kx}+\textcolor{blue}{\omega t}+\phi)
&=A \sin(\textcolor{blue}{\omega t} + \textcolor{red}{kx} +\phi) \\
\end{aligned}
から，$\psi$と$\phi$の間には以下の関係があることがわかります：A \sin(\textcolor{red}{kx}-\textcolor{blue}{\omega t}+\phi)
&=-A \sin(\textcolor{blue}{\omega t} - \textcolor{red}{kx} - \phi) \\
&=A \sin(\textcolor{blue}{\omega t} - \textcolor{red}{kx} - \phi + \pi)\\
A \sin(\textcolor{red}{kx}+\textcolor{blue}{\omega t}+\phi)
&=A \sin(\textcolor{blue}{\omega t} + \textcolor{red}{kx} +\phi) \\
\end{aligned}
$\psi$と$\phi$の関係
$n$を整数とするとき，
整数$n$は何でも良いので，以下では$n=0$として変換します．- $A\sin(kx-\omega t+\phi)=A\sin(\omega t - kx +\psi)$の間の関係：
- $\psi=(-\phi+\pi)+2n\pi$
- $A\sin(kx+\omega t+\phi)=A\sin(\omega t + kx +\psi)$の間の関係：
- $\psi=\phi+2n\pi$
定常波と定在波
文献[1]によると，「定常波 (standing wave)」と「定在波 (stationary wave)」は本来区別されて使用されるものだそうです．定常波
$x$軸正・負方向に進む，同じ振動数の正弦波\begin{aligned}
f_1(x,t)&=A_1 \sin(kx-\omega t+\phi_1) \\
f_2(x,t)&=A_2 \sin(kx+\omega t+\phi_2)
\end{aligned}
が同時に存在する場合を考えます．ここで，$A_1 >0, A_2 > 0$として一般性を失いません．負の場合は$\phi_i+\pi$とすれば良いためです．f_1(x,t)&=A_1 \sin(kx-\omega t+\phi_1) \\
f_2(x,t)&=A_2 \sin(kx+\omega t+\phi_2)
\end{aligned}
このとき，2つの波の合成波形は加法定理と三角関数の合成を用いて
\begin{aligned}
&f_{\mathrm{standing}}(x,t)\\
&=f_1(x,t) + f_2(x,t) \\
&=\overbrace{\bigl[-A_1\cos(kx+\phi_1)+A_2\cos(kx+\phi_2)\bigr]}^{=a} \sin(\omega t) \\
&\quad\, +\underbrace{\bigl[A_1\sin(kx+\phi_1)+A_2\sin(kx+\phi_2)\bigr]}_{=b} \cos(\omega t)\\
&= A(x) \sin[\omega t + \phi(x)]
\end{aligned}
となります．ここで，&f_{\mathrm{standing}}(x,t)\\
&=f_1(x,t) + f_2(x,t) \\
&=\overbrace{\bigl[-A_1\cos(kx+\phi_1)+A_2\cos(kx+\phi_2)\bigr]}^{=a} \sin(\omega t) \\
&\quad\, +\underbrace{\bigl[A_1\sin(kx+\phi_1)+A_2\sin(kx+\phi_2)\bigr]}_{=b} \cos(\omega t)\\
&= A(x) \sin[\omega t + \phi(x)]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&A(x) =\sqrt{a^2+b^2}\\
&=\sqrt{A_1^2 + A_2^2 -2A_1 A_2\cos[2kx+(\phi_1+\phi_2)]} \\
&\cos\phi(x)=a/A(x) \\
&\sin\phi(x)=b/A(x)
\end{aligned}
です．&A(x) =\sqrt{a^2+b^2}\\
&=\sqrt{A_1^2 + A_2^2 -2A_1 A_2\cos[2kx+(\phi_1+\phi_2)]} \\
&\cos\phi(x)=a/A(x) \\
&\sin\phi(x)=b/A(x)
\end{aligned}
この$f_{\mathrm{standing}}(x,t)$を「定常波 (standing wave)」と呼びます．特徴をまとめておきます：
定常波の特徴
- 振幅$A(x)$は，位置$x$に関する周期関数である．
- 振幅$A(x)$が極大値$A(x)=| A_1+A_2 |$・極小値$A(x)=|A_1-A_2|$をとる位置は時間に依らない（静止したまま）．
【補足】
振幅$A(x)$$=\sqrt{A_1^2 + A_2^2 -2A_1 A_2\cos[2kx+(\phi_1+\phi_2)]}$の極大位置$x_{\mathrm{max}}$，極小位置$x_{\mathrm{min}}$はそれぞれ$n$を整数として
\begin{aligned}
2kx_{\mathrm{max}}+(\phi_1+\phi_2)
&=(2n+1)\pi \\
2kx_{\mathrm{min}}+(\phi_1+\phi_2)
&=2n\pi
\end{aligned}
すなわち2kx_{\mathrm{max}}+(\phi_1+\phi_2)
&=(2n+1)\pi \\
2kx_{\mathrm{min}}+(\phi_1+\phi_2)
&=2n\pi
\end{aligned}
\begin{aligned}
x_{\mathrm{max}}
&=\bigl[(2n+1)\pi - (\phi_1+\phi_2)\bigr]/2k
\tag{1}
% \label{eq:x_max}
\end{aligned}
x_{\mathrm{max}}
&=\bigl[(2n+1)\pi - (\phi_1+\phi_2)\bigr]/2k
\tag{1}
% \label{eq:x_max}
\end{aligned}
\begin{aligned}
x_{\mathrm{mim}}
&=\bigl[2n\pi - (\phi_1+\phi_2)\bigr]/2k
\tag{2}
% \label{eq:x_min}
\end{aligned}
で与えられます．これから，隣接する$x_{\mathrm{max}}$と$x_{\mathrm{min}}$の距離はx_{\mathrm{mim}}
&=\bigl[2n\pi - (\phi_1+\phi_2)\bigr]/2k
\tag{2}
% \label{eq:x_min}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\pi}{2k}
&=\frac{\lambda}{4}
\end{aligned}
であることがわかります（$k=2\pi/\lambda$）．//\frac{\pi}{2k}
&=\frac{\lambda}{4}
\end{aligned}
定在波
上の定常波の議論において，$A_1=A_2=A$の場合，すなわち\begin{aligned}
f_1(x,t)&=A \sin(kx-\omega t+\phi_1) \\
f_2(x,t)&=A \sin(kx+\omega t+\phi_2)
\end{aligned}
の場合を考える．このとき，和積の公式からf_1(x,t)&=A \sin(kx-\omega t+\phi_1) \\
f_2(x,t)&=A \sin(kx+\omega t+\phi_2)
\end{aligned}
\begin{aligned}
&f_{\mathrm{stationary}}(x,t)\\
&=f_1(x,t) + f_2(x,t) \\
&=2A\sin\biggl(kx+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)
\cos\biggl(\omega t-\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr)
\end{aligned}
となります．この$f_{\mathrm{stationary}}(x,t)$を「定在波 (stationary wave)」と呼びます．&f_{\mathrm{stationary}}(x,t)\\
&=f_1(x,t) + f_2(x,t) \\
&=2A\sin\biggl(kx+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)
\cos\biggl(\omega t-\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr)
\end{aligned}
「すべての位置において，時間的に同位相で振動する」ことが特徴です（一般の定常波では，$\phi(x)$だけ位相がずれる）．
【補足（定常波の表式から導出する方法）】
$f_{\mathrm{standing}}(x,t)$の表式で$A_1=A_2=A > 0$として導出してみます．
\begin{aligned}
&A(x) \\
&=\sqrt{2A^2 -2A^2 \Bigl\{1-2\sin^2[kx+(\phi_1+\phi_2)/2]\Bigr\} } \\
&=2A \biggl|\sin[kx+(\phi_1+\phi_2)/2] \biggr| \\
&\cos\phi(x) \\
&=2A\sin\biggl(kx+ \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)
\sin\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr) / A(x) \\
&=\mathrm{sgn\,}\Biggl[\sin\biggl(kx+ \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)\Biggr]
\sin\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr) \\
&\sin\phi(x) \\
&=2A\sin\biggl(kx+ \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)
\cos\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr)/ A(x) \\
&=\mathrm{sgn\,}\Biggl[\sin\biggl(kx+ \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)\Biggr]
\cos\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr)
\end{aligned}
なので，$f_{\mathrm{standing}}(x,t)=A(x) [\sin(\omega t)\cos\phi+\cos(\omega t)\sin\phi]$に代入すると（$\theta=kx+(\phi_1+\phi_2)/2$として）&A(x) \\
&=\sqrt{2A^2 -2A^2 \Bigl\{1-2\sin^2[kx+(\phi_1+\phi_2)/2]\Bigr\} } \\
&=2A \biggl|\sin[kx+(\phi_1+\phi_2)/2] \biggr| \\
&\cos\phi(x) \\
&=2A\sin\biggl(kx+ \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)
\sin\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr) / A(x) \\
&=\mathrm{sgn\,}\Biggl[\sin\biggl(kx+ \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)\Biggr]
\sin\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr) \\
&\sin\phi(x) \\
&=2A\sin\biggl(kx+ \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)
\cos\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr)/ A(x) \\
&=\mathrm{sgn\,}\Biggl[\sin\biggl(kx+ \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\biggr)\Biggr]
\cos\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr)
\end{aligned}
\begin{aligned}
&f_{\mathrm{stationary}}(x,t)\\
&=2A\biggl|\sin\theta \biggr| \\
&\quad\cdot \mathrm{sgn\,}\bigl(\sin\theta\bigr)
\Biggl[\sin(\omega t)\sin\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr) \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad
+\cos(\omega t)\cos\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr) \Biggr]\\
&=2A \sin\theta \cos\biggl(\omega t-\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr)
\end{aligned}
となり，上で導いた表式と一致します．//&f_{\mathrm{stationary}}(x,t)\\
&=2A\biggl|\sin\theta \biggr| \\
&\quad\cdot \mathrm{sgn\,}\bigl(\sin\theta\bigr)
\Biggl[\sin(\omega t)\sin\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr) \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad
+\cos(\omega t)\cos\biggl(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr) \Biggr]\\
&=2A \sin\theta \cos\biggl(\omega t-\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\biggr)
\end{aligned}
反射波による定常波
定常波は反射波の存在により現れます．以下では，上の議論\begin{aligned}
f_1(x,t)&=A_1 \sin(kx-\omega t+\phi_1) \\
f_2(x,t)&=A_2 \sin(kx+\omega t+\phi_2)
\end{aligned}
における$f_1$を入射波，$f_2$を反射波として扱います．f_1(x,t)&=A_1 \sin(kx-\omega t+\phi_1) \\
f_2(x,t)&=A_2 \sin(kx+\omega t+\phi_2)
\end{aligned}
以下では，$x=0$での反射を考えます（$x=a$に反射面がある場合は，$x=a$を原点に取り直し$f_1$, $f_2$の位相を$\psi_i \pm ka$とすれば$x=0$に反射面がある場合に帰着できます：$\omega t \pm kx+\psi_i$$=\omega t\pm k(x-a)+(\psi_i \pm ka)$）．
反射の際，位相が保たれる自由端反射と，位相が反転する固定端反射があります．
自由端反射
反射面$x=0$で「反射波の位相＝入射波の位相」となる場合を「自由端反射」と呼びます．反射面$x=0$で
\begin{aligned}
f_1(0,t)
&=A_1 \sin(\omega t + \psi_1)
\tag{3-1}
% \label{eq:f_1_x=0}
\end{aligned}
f_1(0,t)
&=A_1 \sin(\omega t + \psi_1)
\tag{3-1}
% \label{eq:f_1_x=0}
\end{aligned}
\begin{aligned}
f_2(0,t)
&=A_2 \sin(\omega t + \psi_2)
\tag{3-2}
% \label{eq:f_2_x=0}
\end{aligned}
なので（*1），位相が等しいという条件はf_2(0,t)
&=A_2 \sin(\omega t + \psi_2)
\tag{3-2}
% \label{eq:f_2_x=0}
\end{aligned}
\begin{aligned}
(\omega t + \psi_2) =
(\omega t + \psi_1)
\end{aligned}
となり，(\omega t + \psi_2) =
(\omega t + \psi_1)
\end{aligned}
入射波・反射波の位相関係（自由端反射）
\begin{aligned}
\psi_2 - \psi_1
&=0 \\
\phi_1 +\phi_2
&=\pi
\end{aligned}
\psi_2 - \psi_1
&=0 \\
\phi_1 +\phi_2
&=\pi
\end{aligned}
振幅の極大値の位置$x_{\mathrm{max}}$を与える式(1)に代入すると，$n$を整数として
\begin{aligned}
x_{\mathrm{max}}
&=\bigl[(2n+1)\pi - (\phi_1+\phi_2)\bigr]/2k \\
&=2n\pi/2k \\
&=n\pi/k \quad(=n\lambda/2 )
\end{aligned}
となります．x_{\mathrm{max}}
&=\bigl[(2n+1)\pi - (\phi_1+\phi_2)\bigr]/2k \\
&=2n\pi/2k \\
&=n\pi/k \quad(=n\lambda/2 )
\end{aligned}
特に，「反射面$x=0$で振幅が極大となる」ことがわかります．
固定端反射
反射面$x=0$で「反射波の位相＝入射波の位相$+\pi$」となる場合を「固定端反射」と呼びます．この条件は，式(3-1), (3-2)から
\begin{aligned}
(\omega t + \psi_2) =
(\omega t + \psi_1 ) + \pi
\end{aligned}
となり，(\omega t + \psi_2) =
(\omega t + \psi_1 ) + \pi
\end{aligned}
入射波・反射波の位相関係（固定端反射）
\begin{aligned}
\psi_2 - \psi_1
&=\pi \\
\phi_1 +\phi_2
&=0
\end{aligned}
\psi_2 - \psi_1
&=\pi \\
\phi_1 +\phi_2
&=0
\end{aligned}
振幅の極大値の位置$x_{\mathrm{min}}$を与える式(2)に代入すると，$n$を整数として
\begin{aligned}
x_{\mathrm{mim}}
&=\bigl[2n\pi - (\phi_1+\phi_2)\bigr]/2k \\
&=2n\pi /2k \\
&=n\pi/k \quad(=n\lambda/2 )
\end{aligned}
となります．x_{\mathrm{mim}}
&=\bigl[2n\pi - (\phi_1+\phi_2)\bigr]/2k \\
&=2n\pi /2k \\
&=n\pi/k \quad(=n\lambda/2 )
\end{aligned}
特に，「反射面$x=0$で振幅が極小となる」ことがわかります．
共鳴
$x=-l/2$に波源1（かつ反射面1）があり，$x=l/2$に反射面2がある場合を考えます．波は反射面1, 2で反射されるとします．準備：入射波と反射波の位相関係
波源1（反射面1）から発せられた波を\begin{aligned}
f_1(x,t)
&=A_1 \sin[\theta_1(x,t)] \\
&=A_1 \sin\bigl\{\omega t - k[x-(-l/2)] + \psi_1\bigr\} \\
&=A_1 \sin\bigl[\omega t - kx + (\psi_1-kl/2)\bigr]
\end{aligned}
と表し，反射面2から発せられた波をf_1(x,t)
&=A_1 \sin[\theta_1(x,t)] \\
&=A_1 \sin\bigl\{\omega t - k[x-(-l/2)] + \psi_1\bigr\} \\
&=A_1 \sin\bigl[\omega t - kx + (\psi_1-kl/2)\bigr]
\end{aligned}
\begin{aligned}
f_2(x,t)
&=A_2 \sin[\theta_2(x,t)] \\
&=A_2 \sin\bigl[\omega t + k(x-l/2) + \psi_2\bigr] \\
&=A_2 \sin\bigl[\omega t + kx + (\psi_2 - kl/2)\bigr]
\end{aligned}
と表します．f_2(x,t)
&=A_2 \sin[\theta_2(x,t)] \\
&=A_2 \sin\bigl[\omega t + k(x-l/2) + \psi_2\bigr] \\
&=A_2 \sin\bigl[\omega t + kx + (\psi_2 - kl/2)\bigr]
\end{aligned}
ここで，「反射面$i$」に対して$m_i$を
\begin{aligned}
m_i=
\begin{cases}
\,0 & (\text{「反射面$i$」が自由端反射の場合}) \\
\,1 & (\text{「反射面$i$」が固定端反射の場合})
\end{cases}
\end{aligned}
で定めるとm_i=
\begin{cases}
\,0 & (\text{「反射面$i$」が自由端反射の場合}) \\
\,1 & (\text{「反射面$i$」が固定端反射の場合})
\end{cases}
\end{aligned}
- 「反射面1」での反射による位相変化：
- $\theta_1(-l/2,t)-\theta_2(-l/2,t)=m\pi$より，$\psi_2 - \psi_1=-kl + m_1\pi$.
- 「反射面2」での反射による位相変化：
- $\theta_2(l/2,t)-\theta_1(l/2,t)=m\pi$より，$\psi_1 - \psi_2=-kl + m_2\pi$.
つまり，上の形の$f_1$, $f_2$を用いて入射波・反射波を表せば，
「反射面$i$」での反射のたびに$-kl + m_i\pi$の位相を獲得する
ことがわかります．全ての波の合成
計算の簡単化のために，正弦波を$\sin$ではなく$\exp$で表すことにします（虚部を取れば$\sin$になります）．波源1から
\begin{aligned}
&A_0 e^{i \bigl\{\omega t - k[x-(-l/2)] + \phi_0\bigr\}}
\end{aligned}
という波が発せられているとします．また，$m_1=m_2=m$であるとします．&A_0 e^{i \bigl\{\omega t - k[x-(-l/2)] + \phi_0\bigr\}}
\end{aligned}
上で計算した「入射波と反射波の位相関係」から，「入射波」と「全ての反射波」の合成波は$n$を反射回数として
\begin{aligned}
&\sum_{n=0}^\infty A_n\exp\biggl\{i\bigl[\omega t - (-1)^n kx + (\phi_0-kl/2) \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + n(-kl + m\pi) \bigr]\biggr\} \\
&=e^{i[\omega t + (\phi_0-kl/2) ]}
\sum_{j=0}^\infty
\biggl[ A_{2j}e^{i[kx + 2j(-kl + m\pi)]} \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad
+ A_{2j+1} e^{i[-kx + (2j+1)(-kl + m\pi)]} \biggr] \\
&=e^{i[\omega t + (\phi_0-kl/2) ]}
\underbrace{ \sum_{j=0}^\infty
( A_{2j} e^{i\theta_{2j}(x)} + A_{2j+1} e^{i\theta_{2j+1}(x)} )}_{=|A(x)|e^{i\phi(x)}}
\end{aligned}
となります（$n=0$は入射波を表す）．ここで，&\sum_{n=0}^\infty A_n\exp\biggl\{i\bigl[\omega t - (-1)^n kx + (\phi_0-kl/2) \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + n(-kl + m\pi) \bigr]\biggr\} \\
&=e^{i[\omega t + (\phi_0-kl/2) ]}
\sum_{j=0}^\infty
\biggl[ A_{2j}e^{i[kx + 2j(-kl + m\pi)]} \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad
+ A_{2j+1} e^{i[-kx + (2j+1)(-kl + m\pi)]} \biggr] \\
&=e^{i[\omega t + (\phi_0-kl/2) ]}
\underbrace{ \sum_{j=0}^\infty
( A_{2j} e^{i\theta_{2j}(x)} + A_{2j+1} e^{i\theta_{2j+1}(x)} )}_{=|A(x)|e^{i\phi(x)}}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\theta_{2j}(x)
&=kx - 2jkl \\
\theta_{2j+1} (x)
&=- kx - (2j+1)kl + m\pi
\end{aligned}
と置きました．また，\theta_{2j}(x)
&=kx - 2jkl \\
\theta_{2j+1} (x)
&=- kx - (2j+1)kl + m\pi
\end{aligned}
\begin{aligned}
|A(x)|^2
&=\overline{\biggl(\sum_{n=0}^\infty A_{n} e^{i\theta_{n}(x)} \biggr)}
\biggl(\sum_{n=0}^\infty A_{n} e^{i\theta_{n}(x)} \biggr) \\
&=\sum_{n=0}^\infty A_{n}^2
+2\sum_{0 \leq m < n < \infty} A_m A_n \cos(\theta_n - \theta_m)
\end{aligned}
です（参考：三角関数の合成と一般化 - Notes_JP）．|A(x)|^2
&=\overline{\biggl(\sum_{n=0}^\infty A_{n} e^{i\theta_{n}(x)} \biggr)}
\biggl(\sum_{n=0}^\infty A_{n} e^{i\theta_{n}(x)} \biggr) \\
&=\sum_{n=0}^\infty A_{n}^2
+2\sum_{0 \leq m < n < \infty} A_m A_n \cos(\theta_n - \theta_m)
\end{aligned}
進行波との違い
極大・極小位置が移動しないため，どの時間$t$においても\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)=0
\end{aligned}
となる$x$が存在します．\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)=0
\end{aligned}
したがって，この点では流体粒子が加速されず静止したままとなります．
参考文献
[1]音と音波 (基礎物理学選書 4)：$\text{\sect} 5.1$ 入射音と反射音の干渉，定常波[2]振動・波動 (基礎物理学選書 (8))：$\text{\sect} 8.3$ 定常波
*1:$kx-\omega t + \phi$の形の位相で計算をスタートすると，境界条件を考える際に$\omega t - kx + \psi$の形に変形する必要があります．
