POINT
電磁波・音波・波動関数（量子力学）による平面波の「反射・透過」の問題について整理します．これらは，境界条件が同じ形をとることに由来して同じ表式になります．- 波（電磁波・音波）が，異なる媒質の境界面に対し垂直に入射した場合の反射・透過について．
- 量子力学で，1次元の階段型ポテンシャルに平面波が入射したときの反射・透過について．
- これらの波動現象が，ほとんど同じ方法で扱えることを，計算を比較しながら確認する．
【関連記事】
境界条件
反射波・透過波の振幅は，境界条件によって決定されます．電磁波
2つの異なる誘電体の境界面において- $\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t), \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)$の法線成分
- $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t), \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)$の接線成分
音波
2つの異なる物質の境界面において- $p(\boldsymbol{x},t)$
- $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)$の法線成分
量子力学
時間を含まない1次元Schrödinger方程式の解を$\varphi(x)$とする．ポテンシャル$V(x)$が$x=x_1$で有限の不連続性を持つとき- $\varphi$
- $\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}$
【補足】
1次元Schrödinger方程式
\begin{aligned}
i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (x,t)
=\biggl[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}
+V(x) \biggr]
\psi(x,t)
\end{aligned}
の定常解をi\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (x,t)
=\biggl[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}
+V(x) \biggr]
\psi(x,t)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\psi(x,t)
=e^{-iEt/\hbar}\varphi(x)
\end{aligned}
とする．つまり，$\varphi$は時間を含まないSchrödinger方程式\psi(x,t)
=e^{-iEt/\hbar}\varphi(x)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\biggl[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}
+V(x) \biggr]\varphi(x)
=E\varphi(x)
\end{aligned}
の解である．\biggl[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}
+V(x) \biggr]\varphi(x)
=E\varphi(x)
\end{aligned}
エネルギーの流れ・確率の流れ
ここでは，エネルギーの流れ（波動関数の場合は，確率の流れ）の保存則について説明する．平面波の「反射・透過」の問題では，波の進む向きは1次元方向だけを考えればよい．このとき，エネルギーの流れ（波動関数の場合は，確率の流れ）は
\begin{aligned}
j_\mathrm{i}
= j_\mathrm{r} + j_\mathrm{t}
\end{aligned}
と分解できることが示される（後述）．j_\mathrm{i}
= j_\mathrm{r} + j_\mathrm{t}
\end{aligned}
したがって，エネルギー（波動関数の場合は確率確率）の反射率・透過率をそれぞれ
反射率・透過率の定義
\begin{aligned}
r=\frac{j_\mathrm{r}}{j_\mathrm{i}},\quad
t=\frac{j_\mathrm{t}}{j_\mathrm{i}}
\end{aligned}
r=\frac{j_\mathrm{r}}{j_\mathrm{i}},\quad
t=\frac{j_\mathrm{t}}{j_\mathrm{i}}
\end{aligned}
\begin{aligned}
r+t=1
\end{aligned}
が成り立つ（例えば，文献[3] $\text{\sect} 3.2$ [問題3]）．r+t=1
\end{aligned}
電磁波
電磁場のエネルギー保存則を考えれば，エネルギー保存則
\begin{aligned}
&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_V w \,\mathrm{d}V \\
&\quad
=-\int_V\boldsymbol{i}_e \cdot \boldsymbol{E}\,\mathrm{d}V
-\int_{\partial V} \boldsymbol{S}\cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S \\
&\begin{cases}
\, \displaystyle
w=\int^t \biggl(\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t^\prime}
+\boldsymbol{H}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t^\prime} \biggr)
\,\mathrm{d}t^\prime \\
\, \boldsymbol{S}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}
\end{cases}
\end{aligned}
&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_V w \,\mathrm{d}V \\
&\quad
=-\int_V\boldsymbol{i}_e \cdot \boldsymbol{E}\,\mathrm{d}V
-\int_{\partial V} \boldsymbol{S}\cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S \\
&\begin{cases}
\, \displaystyle
w=\int^t \biggl(\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t^\prime}
+\boldsymbol{H}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t^\prime} \biggr)
\,\mathrm{d}t^\prime \\
\, \boldsymbol{S}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\int_{\partial V}
\langle \boldsymbol{S}\rangle \cdot \boldsymbol{n}
\,\mathrm{d}S
=
\int_{V}
\mathrm{div\,} \langle \boldsymbol{S} \rangle
\,\mathrm{d}V
=0
\end{aligned}
となる．\int_{\partial V}
\langle \boldsymbol{S}\rangle \cdot \boldsymbol{n}
\,\mathrm{d}S
=
\int_{V}
\mathrm{div\,} \langle \boldsymbol{S} \rangle
\,\mathrm{d}V
=0
\end{aligned}
ここで，時間平均を
\begin{aligned}
\langle f \rangle
=\frac{1}{T_{\mathrm{p}}}\int_0^{T_{\mathrm{p}}} f(t)\,\mathrm{d}t
\end{aligned}
と表し，\langle f \rangle
=\frac{1}{T_{\mathrm{p}}}\int_0^{T_{\mathrm{p}}} f(t)\,\mathrm{d}t
\end{aligned}
\begin{aligned}
\biggl\langle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} \biggr\rangle
&=\frac{1}{T_{\mathrm{p}}}
\underbrace{\int_0^{T_{\mathrm{p}}}
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} (t) \,\mathrm{d}t}
_{=f(T_{\mathrm{p}}) - f(0)} \\
&= 0
\end{aligned}
であることを用いた．\biggl\langle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} \biggr\rangle
&=\frac{1}{T_{\mathrm{p}}}
\underbrace{\int_0^{T_{\mathrm{p}}}
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} (t) \,\mathrm{d}t}
_{=f(T_{\mathrm{p}}) - f(0)} \\
&= 0
\end{aligned}
また，1次元系では
\begin{aligned}
0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \langle S_x \rangle \,\mathrm{d}x \\
&=\langle S_x \rangle|_{x=b} - \langle S_x \rangle|_{x=a}
\end{aligned}
となる．これは後で用いる．0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \langle S_x \rangle \,\mathrm{d}x \\
&=\langle S_x \rangle|_{x=b} - \langle S_x \rangle|_{x=a}
\end{aligned}
音波
音波を考える場合，速度ポテンシャルは波動方程式を満たす：\begin{aligned}
&\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)
=\mathrm{grad\,} \Phi(\boldsymbol{x},t) \\
&p(\boldsymbol{x},t)
=-\rho \frac{\partial\Phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
&\biggl(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta \biggr) \Phi =0
\end{aligned}
よって，波動方程式のエネルギー保存則を考えれば，&\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)
=\mathrm{grad\,} \Phi(\boldsymbol{x},t) \\
&p(\boldsymbol{x},t)
=-\rho \frac{\partial\Phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
&\biggl(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta \biggr) \Phi =0
\end{aligned}
エネルギー保存則
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d}t}(t)
+\int_{\partial V}
p\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{n}
\,\mathrm{d}S
=0
\end{aligned}
\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d}t}(t)
+\int_{\partial V}
p\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{n}
\,\mathrm{d}S
=0
\end{aligned}
\begin{aligned}
&E(t)=\int_V (K+U)\,\mathrm{d}V \\
&
\begin{cases}
\,\displaystyle
K= \frac{1}{2} \rho | \boldsymbol{\nabla} \Phi |^2
&\text{：運動エネルギー密度}\\
\,\displaystyle
U=\frac{1}{2} \frac{\rho}{c^2} \biggl(\frac{\partial \Phi}{\partial t}\biggr)^2
&\text{：ポテンシャルエネルギー密度}
\end{cases}
\end{aligned}
&E(t)=\int_V (K+U)\,\mathrm{d}V \\
&
\begin{cases}
\,\displaystyle
K= \frac{1}{2} \rho | \boldsymbol{\nabla} \Phi |^2
&\text{：運動エネルギー密度}\\
\,\displaystyle
U=\frac{1}{2} \frac{\rho}{c^2} \biggl(\frac{\partial \Phi}{\partial t}\biggr)^2
&\text{：ポテンシャルエネルギー密度}
\end{cases}
\end{aligned}
特に$\Phi(\boldsymbol{x},t)$が周期関数であるとき，エネルギー保存則の時間平均をとれば，上の電磁波の場合と同様に
\begin{aligned}
\int_{\partial V}
\langle p\boldsymbol{u}\rangle \cdot \boldsymbol{n}
\,\mathrm{d}S
=
\int_{V}
\mathrm{div\,} \langle p\boldsymbol{u}\rangle
\,\mathrm{d}V
=0
\end{aligned}
となる．特に，1次元系では\int_{\partial V}
\langle p\boldsymbol{u}\rangle \cdot \boldsymbol{n}
\,\mathrm{d}S
=
\int_{V}
\mathrm{div\,} \langle p\boldsymbol{u}\rangle
\,\mathrm{d}V
=0
\end{aligned}
\begin{aligned}
0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \langle pu\rangle \,\mathrm{d}x \\
&=\langle pu\rangle|_{x=b} - \langle pu\rangle|_{x=a}
\end{aligned}
となる．これは後で用いる．0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \langle pu\rangle \,\mathrm{d}x \\
&=\langle pu\rangle|_{x=b} - \langle pu\rangle|_{x=a}
\end{aligned}
量子力学
量子力学において，確率の保存はSchrödinger方程式の解である波動関数$\psi(\boldsymbol{x},t)$を用いて確率の保存則
\begin{aligned}
&\frac{\partial \rho}{\partial t}
+\mathrm{div\,} \boldsymbol{j}
=0 \\
&\begin{cases}
\, \rho(\boldsymbol{x},t)
=|\psi(\boldsymbol{x},t)|^2
=\psi^*(\boldsymbol{x},t)\psi(\boldsymbol{x},t) \\
\, \boldsymbol{j}(\boldsymbol{x},t)
=\dfrac{\hbar}{2mi} \Bigl[\psi^*(\boldsymbol{x},t) \cdot \boldsymbol{\nabla}\psi(\boldsymbol{x},t)
\end{cases}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad
- \boldsymbol{\nabla}\psi^*(\boldsymbol{x},t) \cdot \psi(\boldsymbol{x},t)\Bigr] \\
&\qquad\qquad
=\dfrac{1}{m} \mathrm{Re\,}
\Bigl[\psi^*(\boldsymbol{x},t) \cdot \frac{\hbar}{i}\boldsymbol{\nabla}\psi(\boldsymbol{x},t) \Bigr]
\end{aligned}
&\frac{\partial \rho}{\partial t}
+\mathrm{div\,} \boldsymbol{j}
=0 \\
&\begin{cases}
\, \rho(\boldsymbol{x},t)
=|\psi(\boldsymbol{x},t)|^2
=\psi^*(\boldsymbol{x},t)\psi(\boldsymbol{x},t) \\
\, \boldsymbol{j}(\boldsymbol{x},t)
=\dfrac{\hbar}{2mi} \Bigl[\psi^*(\boldsymbol{x},t) \cdot \boldsymbol{\nabla}\psi(\boldsymbol{x},t)
\end{cases}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad
- \boldsymbol{\nabla}\psi^*(\boldsymbol{x},t) \cdot \psi(\boldsymbol{x},t)\Bigr] \\
&\qquad\qquad
=\dfrac{1}{m} \mathrm{Re\,}
\Bigl[\psi^*(\boldsymbol{x},t) \cdot \frac{\hbar}{i}\boldsymbol{\nabla}\psi(\boldsymbol{x},t) \Bigr]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_V \rho(\boldsymbol{x},t) \,\mathrm{d}V
+\int_{\partial V} \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=0
\end{aligned}
となる．\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_V \rho(\boldsymbol{x},t) \,\mathrm{d}V
+\int_{\partial V} \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=0
\end{aligned}
特に，定常解
\begin{aligned}
\psi(\boldsymbol{x},t)
=e^{-iEt/\hbar}\varphi(\boldsymbol{x})
\end{aligned}
に対しては$\rho=|\varphi(\boldsymbol{x})|^2$が時間に依存しないことから\psi(\boldsymbol{x},t)
=e^{-iEt/\hbar}\varphi(\boldsymbol{x})
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\mathrm{div\,} \boldsymbol{j}
=0 \\
&\biggl(\boldsymbol{j}
=\frac{\hbar}{2mi}
\bigl[\varphi^*(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{\nabla}\varphi(\boldsymbol{x})
- \boldsymbol{\nabla}\varphi^*(\boldsymbol{x}) \cdot \varphi(\boldsymbol{x})\bigr] \biggr)
\end{aligned}
あるいは積分形で表した&\mathrm{div\,} \boldsymbol{j}
=0 \\
&\biggl(\boldsymbol{j}
=\frac{\hbar}{2mi}
\bigl[\varphi^*(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{\nabla}\varphi(\boldsymbol{x})
- \boldsymbol{\nabla}\varphi^*(\boldsymbol{x}) \cdot \varphi(\boldsymbol{x})\bigr] \biggr)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\int_{\partial V} \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=\int_{V} \mathrm{div\,}\boldsymbol{j} \,\mathrm{d}V
=0
\end{aligned}
が成り立つ．\int_{\partial V} \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=\int_{V} \mathrm{div\,}\boldsymbol{j} \,\mathrm{d}V
=0
\end{aligned}
特に，1次元系では
\begin{aligned}
0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d}j}{\mathrm{d}x} \,\mathrm{d}x \\
&=j(b)-j(a)
\end{aligned}
と表せる．これは後で用いる．0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d}j}{\mathrm{d}x} \,\mathrm{d}x \\
&=j(b)-j(a)
\end{aligned}
平面波の記述方法
以下では，平面波の反射や透過を考察する．そこで，各波動現象で平面波がどのように記述されるか整理しておく．電磁波
自由電磁場（電荷・電流がない場合の電磁場）を考えるとき，スカラーポテンシャルをゼロにとることができる（文献[2]：第8章$\text{\sect} 1$「真空中の電磁波の基本法則」，$\text{\sect} 3$「誘電体中の電磁波」）．ベクトルポテンシャルを
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)
=\frac{1}{i\omega(k)}\boldsymbol{E}_0 e^{i\bigl(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega(k) t\bigr)}
\end{aligned}
とすれば，平面波\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)
=\frac{1}{i\omega(k)}\boldsymbol{E}_0 e^{i\bigl(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega(k) t\bigr)}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)
&=-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
=\boldsymbol{E}_0 e^{i\bigl(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega(k) t\bigr)} \\
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)
&=\mathrm{rot\,} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)
=\frac{\boldsymbol{k}}{\omega(k)} \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)
\end{aligned}
が得られる（文献[2]：第8章$\text{\sect} 4$「電磁波の反射と屈折」）．\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)
&=-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
=\boldsymbol{E}_0 e^{i\bigl(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega(k) t\bigr)} \\
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)
&=\mathrm{rot\,} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)
=\frac{\boldsymbol{k}}{\omega(k)} \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)
\end{aligned}
また，$\mathrm{div\,}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)=0$より$\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{E}_0=0$であることがわかる．つまり，偏りの方向と進行方向は直交する．
音波
速度ポテンシャルとして\begin{aligned}
\Phi(\boldsymbol{x},t)
&=\frac{p_0}{i\rho \omega} e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)}
\end{aligned}
を考えると，平面波\Phi(\boldsymbol{x},t)
&=\frac{p_0}{i\rho \omega} e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)}
\end{aligned}
\begin{aligned}
p(\boldsymbol{x},t)
&=-\rho \frac{\partial \Phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
&=p_0 e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)} \\
\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)
&=\mathrm{grad\,} \Phi \\
&=\frac{p_0}{\rho c} \frac{\boldsymbol{k}}{k} e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)} \\
&=\frac{p(\boldsymbol{x},t)}{\rho c}\frac{\boldsymbol{k}}{k}
\end{aligned}
（但し，$k=|\boldsymbol{k}|$, $c=\omega/k$）が得られる．p(\boldsymbol{x},t)
&=-\rho \frac{\partial \Phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
&=p_0 e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)} \\
\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)
&=\mathrm{grad\,} \Phi \\
&=\frac{p_0}{\rho c} \frac{\boldsymbol{k}}{k} e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)} \\
&=\frac{p(\boldsymbol{x},t)}{\rho c}\frac{\boldsymbol{k}}{k}
\end{aligned}
【参考】
エネルギーを具体的に計算してみる．物理的に意味があるのは速度ポテンシャルの実部と虚部をとったときである．このとき，圧力と速度は$\mathrm{Re\,}[p(\boldsymbol{x},t)]$と$\mathrm{Re\,}[\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)]$（または$\mathrm{Im\,}[p(\boldsymbol{x},t)]$と$\mathrm{Im\,}[\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)]$）である．それぞれの場合に対して
\begin{aligned}
& K=U=\frac{(\mathrm{Re\,}p)^2}{2\rho c^2} , \text{or}\: \frac{(\mathrm{Im\,}p)^2}{2\rho c^2}\\
& (\mathrm{Re\,}p) (\mathrm{Re\,}u ) =\frac{(\mathrm{Re\,}p)^2}{\rho c}, \\
&\quad \text{or}\: (\mathrm{Im\,}p) (\mathrm{Im\,}u ) = \frac{(\mathrm{Im\,}p)^2}{\rho c}
\end{aligned}
となる．& K=U=\frac{(\mathrm{Re\,}p)^2}{2\rho c^2} , \text{or}\: \frac{(\mathrm{Im\,}p)^2}{2\rho c^2}\\
& (\mathrm{Re\,}p) (\mathrm{Re\,}u ) =\frac{(\mathrm{Re\,}p)^2}{\rho c}, \\
&\quad \text{or}\: (\mathrm{Im\,}p) (\mathrm{Im\,}u ) = \frac{(\mathrm{Im\,}p)^2}{\rho c}
\end{aligned}
量子力学
ポテンシャルエネルギーが一定$V(x)=V_0$の場合，Schrödinger方程式は\begin{aligned}
\biggl[\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}+\frac{2m}{\hbar^2} (E-V_0)\biggr] \varphi(x)=0
\end{aligned}
となる．\biggl[\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}+\frac{2m}{\hbar^2} (E-V_0)\biggr] \varphi(x)=0
\end{aligned}
したがって，
\begin{aligned}
\varphi(x)
=
\begin{cases}
\, Ae^{ikx} + Be^{-ikx} &(E - V_0 > 0) \\
\Biggl(k=\sqrt{\dfrac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}} \Biggr) \\
\,Ae^{\rho x} + Be^{-\rho x} & (E - V_0 < 0) \\
\Biggl(\rho=\sqrt{-\dfrac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}} \Biggr)
\end{cases}
\end{aligned}
が得られる（$A,B$は任意定数）．つまり，定常解は\varphi(x)
=
\begin{cases}
\, Ae^{ikx} + Be^{-ikx} &(E - V_0 > 0) \\
\Biggl(k=\sqrt{\dfrac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}} \Biggr) \\
\,Ae^{\rho x} + Be^{-\rho x} & (E - V_0 < 0) \\
\Biggl(\rho=\sqrt{-\dfrac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}} \Biggr)
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\psi(x,t) \\
&=e^{-iEt/\hbar}\varphi(x) \\
&=
\begin{cases}
\, Ae^{i(kx-Et/\hbar)} + Be^{-i(kx+Et/\hbar)} &(E - V_0 > 0) \\
\, Ae^{\rho x-iEt/\hbar} + Be^{-\rho x-iEt/\hbar}& (E - V_0 < 0)
\end{cases}
\end{aligned}
である．&\psi(x,t) \\
&=e^{-iEt/\hbar}\varphi(x) \\
&=
\begin{cases}
\, Ae^{i(kx-Et/\hbar)} + Be^{-i(kx+Et/\hbar)} &(E - V_0 > 0) \\
\, Ae^{\rho x-iEt/\hbar} + Be^{-\rho x-iEt/\hbar}& (E - V_0 < 0)
\end{cases}
\end{aligned}
特に，$E - V_0 > 0$の場合は平面波解になっている．
反射率・透過率の計算
電磁波
$\boldsymbol{A}$が$x$軸方向に直線的な偏りをもつ，角振動数$\omega_0$の平面波を$z$軸正方向に入射することを考える．上で見たように$\boldsymbol{k}$は偏りの方向と直行するから，$\boldsymbol{k}$を$z$軸方向に取る．すると，$\boldsymbol{E} \propto \boldsymbol{A}$から$\boldsymbol{E}$は$x$軸方向に偏りを持ち，$\boldsymbol{B} \propto \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{E}$から$\boldsymbol{B}$は$y$軸方向に偏りを持つことがわかる（下図）．
振幅
境界面に対して接線成分だけがゼロでない値を持つから，境界条件は$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t), \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)$の接線成分の連続性を考える必要がある．
各誘電体中での電場を
\begin{aligned}
&E_x(z,t)\\
&=
\begin{cases}
\, E_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} + E_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)} & (z<0) \\
\, E_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)} & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
&E_x(z,t)\\
&=
\begin{cases}
\, E_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} + E_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)} & (z<0) \\
\, E_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)} & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)
=B_y(z,t) \boldsymbol{e}_y, \\
&B_y(z,t) \\
&=
\begin{cases}
\, [E_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} - E_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)}]/v_1 & (z<0) \\
\, [E_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)}]/v_2 & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
となる（$v_i(\omega)=1/\sqrt{\varepsilon_i(\omega)\mu_i(\omega)}=\omega/k_i$，$v_i=v_i(\omega_0)$）．&\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)
=B_y(z,t) \boldsymbol{e}_y, \\
&B_y(z,t) \\
&=
\begin{cases}
\, [E_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} - E_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)}]/v_1 & (z<0) \\
\, [E_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)}]/v_2 & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
ここで，分散性を持つ一様な誘電体中では（強誘電体や強磁性体を除き）
\begin{aligned}
\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)
&=\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{1}{\mu(\omega)} \hat{\boldsymbol{B}} (\boldsymbol{x},\omega)
e^{-i\omega t} \,\mathrm{d}\omega \\
&\biggl(\hat{\boldsymbol{B}}(\boldsymbol{x},\omega)
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)
e^{i\omega t} \,\mathrm{d}t \biggr)
\end{aligned}
が成り立つ（文献[2]：第3章$\text{\sect} 2$「物質中のMaxwell方程式」，第8章$\text{\sect} 3$「誘電体中の電磁波」）．特に$\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)=\boldsymbol{B}_0(\boldsymbol{x}) e^{-i\omega_0 t}$の場合には，$\hat{\boldsymbol{B}} (\boldsymbol{x},\omega)=\boldsymbol{B}_0(\boldsymbol{x})\delta(\omega-\omega_0)$より$\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)/\mu(\omega_0)$となる．よって，\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)
&=\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{1}{\mu(\omega)} \hat{\boldsymbol{B}} (\boldsymbol{x},\omega)
e^{-i\omega t} \,\mathrm{d}\omega \\
&\biggl(\hat{\boldsymbol{B}}(\boldsymbol{x},\omega)
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)
e^{i\omega t} \,\mathrm{d}t \biggr)
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)
=H_y(z,t) \boldsymbol{e}_y, \\
&H_y(z,t) \\
&=
\begin{cases}
\, [E_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} - E_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)}]N_1 & (z<0) \\
\, [E_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)}]N_2 & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
&\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)
=H_y(z,t) \boldsymbol{e}_y, \\
&H_y(z,t) \\
&=
\begin{cases}
\, [E_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} - E_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)}]N_1 & (z<0) \\
\, [E_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)}]N_2 & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
$z=0$における$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t), \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)$の接線成分の連続性から，
境界条件
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, E_\mathrm{i} + E_\mathrm{r} = E_\mathrm{t} \\
\, N_1(E_\mathrm{i} - E_\mathrm{r}) = N_2 E_\mathrm{t}
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{cases}
\, E_\mathrm{i} + E_\mathrm{r} = E_\mathrm{t} \\
\, N_1(E_\mathrm{i} - E_\mathrm{r}) = N_2 E_\mathrm{t}
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
E_\mathrm{i} &= \underbrace{\frac{1}{2}\biggl(1+\frac{N_2}{N_1}\biggr)}_{=A} E_\mathrm{t} \\
E_\mathrm{r} &= \underbrace{\frac{1}{2}\biggl(1-\frac{N_2}{N_1}\biggr)}_{=B} E_\mathrm{t}
\end{aligned}
だから，反射波・透過波の振幅を「入射波の振幅」を用いて表すとE_\mathrm{i} &= \underbrace{\frac{1}{2}\biggl(1+\frac{N_2}{N_1}\biggr)}_{=A} E_\mathrm{t} \\
E_\mathrm{r} &= \underbrace{\frac{1}{2}\biggl(1-\frac{N_2}{N_1}\biggr)}_{=B} E_\mathrm{t}
\end{aligned}
振幅
\begin{aligned}
E_\mathrm{r}
&=\frac{B}{A} E_\mathrm{i}
=\frac{N_1 - N_2}{N_1 + N_2} E_\mathrm{i} \\
E_\mathrm{t}
&=\frac{1}{A} E_\mathrm{i}
=\frac{2 N_1}{N_1 + N_2} E_\mathrm{i}
\end{aligned}
E_\mathrm{r}
&=\frac{B}{A} E_\mathrm{i}
=\frac{N_1 - N_2}{N_1 + N_2} E_\mathrm{i} \\
E_\mathrm{t}
&=\frac{1}{A} E_\mathrm{i}
=\frac{2 N_1}{N_1 + N_2} E_\mathrm{i}
\end{aligned}
エネルギー
上の表式で\begin{aligned}
\psi_\mathrm{i}(z,t) &= E_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} \\
\psi_\mathrm{r}(z,t) &= E_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)} \\
\psi_\mathrm{t}(z,t) &= E_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)}
\end{aligned}
と表すと\psi_\mathrm{i}(z,t) &= E_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} \\
\psi_\mathrm{r}(z,t) &= E_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)} \\
\psi_\mathrm{t}(z,t) &= E_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)}
\end{aligned}
\begin{aligned}
S_z
&= \mathrm{Re\,}E_x \cdot \mathrm{Re\,} H_y \\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{1}{2}[(\psi_\mathrm{i}+\psi_\mathrm{r}) + (\psi^*_\mathrm{i}+\psi^*_\mathrm{r})] \\
\, \displaystyle
\quad \cdot \frac{N_1}{2}[(\psi_\mathrm{i}-\psi_\mathrm{r}) + (\psi^*_\mathrm{i}-\psi^*_\mathrm{r})]
& (z < 0)\\
\, \displaystyle
\frac{1}{2}(\psi_\mathrm{t} + \psi^*_\mathrm{t})
\cdot \frac{N_2}{2}(\psi_\mathrm{t} + \psi^*_\mathrm{t})
& (z > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
である．$e^{\pm i2\omega_0 t}$が残る項は時間平均を取るとゼロになるから，時間平均をとったときに残るのは$\psi^*_{k}\psi_l$の形になるものだけである．したがって，S_z
&= \mathrm{Re\,}E_x \cdot \mathrm{Re\,} H_y \\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{1}{2}[(\psi_\mathrm{i}+\psi_\mathrm{r}) + (\psi^*_\mathrm{i}+\psi^*_\mathrm{r})] \\
\, \displaystyle
\quad \cdot \frac{N_1}{2}[(\psi_\mathrm{i}-\psi_\mathrm{r}) + (\psi^*_\mathrm{i}-\psi^*_\mathrm{r})]
& (z < 0)\\
\, \displaystyle
\frac{1}{2}(\psi_\mathrm{t} + \psi^*_\mathrm{t})
\cdot \frac{N_2}{2}(\psi_\mathrm{t} + \psi^*_\mathrm{t})
& (z > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\langle S_z \rangle
& = \langle \mathrm{Re\,}E_x\cdot \mathrm{Re\,} H_y \rangle \\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{N_1}{4}
[(\psi_\mathrm{i}+\psi_\mathrm{r})(\psi^*_\mathrm{i}-\psi^*_\mathrm{r}) \\
\qquad\qquad + (\psi^*_\mathrm{i}+\psi^*_\mathrm{r})(\psi_\mathrm{i}-\psi_\mathrm{r})]
& (z < 0)\\
\, \displaystyle
\frac{N_2}{4} 2|\psi_\mathrm{t}|^2
& (z > 0)
\end{cases}\\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{N_1}{2}(|\psi_\mathrm{i}|^2 - |\psi_\mathrm{r}|^2)
& (z < 0)\\[8pt]
\, \displaystyle
\frac{N_2}{2} |\psi_\mathrm{t}|^2
& (z > 0)
\end{cases}\\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{N_1}{2}(|E_\mathrm{i}|^2 - |E_\mathrm{r}|^2)
& (z < 0)\\[8pt]
\, \displaystyle
\frac{N_2}{2} |E_\mathrm{t}|^2
& (z > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
となる．\langle S_z \rangle
& = \langle \mathrm{Re\,}E_x\cdot \mathrm{Re\,} H_y \rangle \\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{N_1}{4}
[(\psi_\mathrm{i}+\psi_\mathrm{r})(\psi^*_\mathrm{i}-\psi^*_\mathrm{r}) \\
\qquad\qquad + (\psi^*_\mathrm{i}+\psi^*_\mathrm{r})(\psi_\mathrm{i}-\psi_\mathrm{r})]
& (z < 0)\\
\, \displaystyle
\frac{N_2}{4} 2|\psi_\mathrm{t}|^2
& (z > 0)
\end{cases}\\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{N_1}{2}(|\psi_\mathrm{i}|^2 - |\psi_\mathrm{r}|^2)
& (z < 0)\\[8pt]
\, \displaystyle
\frac{N_2}{2} |\psi_\mathrm{t}|^2
& (z > 0)
\end{cases}\\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{N_1}{2}(|E_\mathrm{i}|^2 - |E_\mathrm{r}|^2)
& (z < 0)\\[8pt]
\, \displaystyle
\frac{N_2}{2} |E_\mathrm{t}|^2
& (z > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
よって，
\begin{aligned}
j_\mathrm{i} = \frac{N_1}{2}| E_\mathrm{i}|^2 ,\quad
j_\mathrm{r} = \frac{N_1}{2}| E_\mathrm{r}|^2 ,\quad
j_\mathrm{t} = \frac{N_2}{2}| E_\mathrm{t}|^2
\end{aligned}
とすれば，$a < 0 < b$に対するエネルギー保存則j_\mathrm{i} = \frac{N_1}{2}| E_\mathrm{i}|^2 ,\quad
j_\mathrm{r} = \frac{N_1}{2}| E_\mathrm{r}|^2 ,\quad
j_\mathrm{t} = \frac{N_2}{2}| E_\mathrm{t}|^2
\end{aligned}
\begin{aligned}
0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d} \langle S_z \rangle}{\mathrm{d}z} \,\mathrm{d}z \\
&=\langle S_z \rangle _{z=b} - \langle S_z \rangle |_{z=a}
\end{aligned}
から0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d} \langle S_z \rangle}{\mathrm{d}z} \,\mathrm{d}z \\
&=\langle S_z \rangle _{z=b} - \langle S_z \rangle |_{z=a}
\end{aligned}
\begin{aligned}
j_\mathrm{i} = j_\mathrm{r} + j_\mathrm{t}
\end{aligned}
が成り立つ．j_\mathrm{i} = j_\mathrm{r} + j_\mathrm{t}
\end{aligned}
エネルギーの反射率$r$と透過率$t$は，それぞれ
反射率・透過率
\begin{aligned}
r&=\frac{j_\mathrm{r}}{j_\mathrm{i}}
=\biggl| \frac{E_\mathrm{r}}{E_\mathrm{i}}\biggr|^2
=\biggl(\frac{N_1 - N_2}{N_1 + N_2}\biggr)^2 \\
t&=\frac{j_\mathrm{t}}{j_\mathrm{i}}
=\frac{N_2}{N_1} \biggl| \frac{E_\mathrm{t}}{E_\mathrm{i}}\biggr|^2
=\frac{4 N_1 N_2}{(N_1 + N_2)^2}
\end{aligned}
r&=\frac{j_\mathrm{r}}{j_\mathrm{i}}
=\biggl| \frac{E_\mathrm{r}}{E_\mathrm{i}}\biggr|^2
=\biggl(\frac{N_1 - N_2}{N_1 + N_2}\biggr)^2 \\
t&=\frac{j_\mathrm{t}}{j_\mathrm{i}}
=\frac{N_2}{N_1} \biggl| \frac{E_\mathrm{t}}{E_\mathrm{i}}\biggr|^2
=\frac{4 N_1 N_2}{(N_1 + N_2)^2}
\end{aligned}
音波
音波の場合は，各媒質での音場，速度場は\begin{aligned}
&p(z,t)\\
&=
\begin{cases}
\, P_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} + P_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)} & (z<0) \\
\, P_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)} & (0 < z)
\end{cases}\\
&\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t)
=v_z(z,t) \boldsymbol{e}_z, \\
&v_z(z,t) \\
&=
\begin{cases}
\, [P_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} - P_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)}]/Z_1 & (z<0) \\
\, [P_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)}]/Z_2 & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
となる（$c_i=\omega/k_i$，$Z_i=\rho_i c_i$）．&p(z,t)\\
&=
\begin{cases}
\, P_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} + P_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)} & (z<0) \\
\, P_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)} & (0 < z)
\end{cases}\\
&\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t)
=v_z(z,t) \boldsymbol{e}_z, \\
&v_z(z,t) \\
&=
\begin{cases}
\, [P_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} - P_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)}]/Z_1 & (z<0) \\
\, [P_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)}]/Z_2 & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
振幅
$z=0$での境界条件から\begin{aligned}
\begin{cases}
\, P_\mathrm{i} + P_\mathrm{r} = P_\mathrm{t} \\
\, (P_\mathrm{i} - P_\mathrm{r})/Z_1 = P_\mathrm{t} / Z_2
\end{cases}
\end{aligned}
となる．よって，電磁波の計算で$E\rightarrow P$，$N_i\rightarrow 1/Z_i$とすればよく，振幅は\begin{cases}
\, P_\mathrm{i} + P_\mathrm{r} = P_\mathrm{t} \\
\, (P_\mathrm{i} - P_\mathrm{r})/Z_1 = P_\mathrm{t} / Z_2
\end{cases}
\end{aligned}
振幅
\begin{aligned}
P_\mathrm{r}
&=\frac{1/Z_1 - 1/Z_2}{1/Z_1 + 1/Z_2} P_\mathrm{i}
=\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} P_\mathrm{i} \\
P_\mathrm{t}
&=\frac{2 /Z_1}{1/Z_1 + 1/Z_2} P_\mathrm{i}
=\frac{2 Z_2}{Z_2 + Z_1} P_\mathrm{i}
\end{aligned}
P_\mathrm{r}
&=\frac{1/Z_1 - 1/Z_2}{1/Z_1 + 1/Z_2} P_\mathrm{i}
=\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} P_\mathrm{i} \\
P_\mathrm{t}
&=\frac{2 /Z_1}{1/Z_1 + 1/Z_2} P_\mathrm{i}
=\frac{2 Z_2}{Z_2 + Z_1} P_\mathrm{i}
\end{aligned}
エネルギー
同様に電磁波の計算で$E\rightarrow P$，$N_i\rightarrow 1/Z_i$とすれば\begin{aligned}
& \langle \mathrm{Re\,}p\cdot \mathrm{Re\,} u \rangle \\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{1}{2 Z_1}(|P_\mathrm{i}|^2 - |P_\mathrm{r}|^2)
& (z < 0)\\
\, \displaystyle
\frac{1}{2 Z_2} |P_\mathrm{t}|^2
& (z > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
となる．& \langle \mathrm{Re\,}p\cdot \mathrm{Re\,} u \rangle \\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{1}{2 Z_1}(|P_\mathrm{i}|^2 - |P_\mathrm{r}|^2)
& (z < 0)\\
\, \displaystyle
\frac{1}{2 Z_2} |P_\mathrm{t}|^2
& (z > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
よって，
\begin{aligned}
j_\mathrm{i} = \frac{|P_\mathrm{i}|^2}{2 Z_1} ,\quad
j_\mathrm{r} = \frac{|P_\mathrm{r}|^2}{2 Z_1} ,\quad
j_\mathrm{t} = \frac{|P_\mathrm{t}|^2}{2 Z_2}
\end{aligned}
とすれば，$a < 0 < b$に対するエネルギー保存則j_\mathrm{i} = \frac{|P_\mathrm{i}|^2}{2 Z_1} ,\quad
j_\mathrm{r} = \frac{|P_\mathrm{r}|^2}{2 Z_1} ,\quad
j_\mathrm{t} = \frac{|P_\mathrm{t}|^2}{2 Z_2}
\end{aligned}
\begin{aligned}
0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \langle pu\rangle \,\mathrm{d}x \\
&=\langle pu\rangle|_{x=b} - \langle pu\rangle|_{x=a}
\end{aligned}
から0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \langle pu\rangle \,\mathrm{d}x \\
&=\langle pu\rangle|_{x=b} - \langle pu\rangle|_{x=a}
\end{aligned}
\begin{aligned}
j_\mathrm{i} = j_\mathrm{r} + j_\mathrm{t}
\end{aligned}
が成り立つ．j_\mathrm{i} = j_\mathrm{r} + j_\mathrm{t}
\end{aligned}
よって，エネルギー反射率・透過率は
反射率・透過率
\begin{aligned}
r&=\frac{j_\mathrm{r}}{j_\mathrm{i}}
=\biggl| \frac{P_\mathrm{r}}{P_\mathrm{i}} \biggr|^2
=\biggl( \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} \biggr)^2 \\
t&=\frac{j_\mathrm{t}}{j_\mathrm{i}}
=\frac{Z_1}{Z_2}\biggl| \frac{P_\mathrm{t}}{P_\mathrm{i}} \biggr|^2
=\frac{4 Z_1 Z_2}{(Z_2 + Z_1)^2}
\end{aligned}
r&=\frac{j_\mathrm{r}}{j_\mathrm{i}}
=\biggl| \frac{P_\mathrm{r}}{P_\mathrm{i}} \biggr|^2
=\biggl( \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} \biggr)^2 \\
t&=\frac{j_\mathrm{t}}{j_\mathrm{i}}
=\frac{Z_1}{Z_2}\biggl| \frac{P_\mathrm{t}}{P_\mathrm{i}} \biggr|^2
=\frac{4 Z_1 Z_2}{(Z_2 + Z_1)^2}
\end{aligned}
量子力学（階段型ポテンシャル）
階段ポテンシャル\begin{aligned}
V(x)
&=
\begin{cases}
\, V_1 & (x < 0) \\
\, V_2 & (x > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
を考える．エネルギーの基準点と座標軸の正負を適当に取れば，$V_0 \geq 0$を用いてV(x)
&=
\begin{cases}
\, V_1 & (x < 0) \\
\, V_2 & (x > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
V(x)
&=
\begin{cases}
\, 0 & (x < 0) \\
\, V_0 & (x > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
の形に表せる．V(x)
&=
\begin{cases}
\, 0 & (x < 0) \\
\, V_0 & (x > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
このポテンシャル中での波動関数は
\begin{aligned}
&\psi(x,t) \\
&=
\begin{cases}
\, A_\mathrm{i} e^{i(k_1x-Et/\hbar)} + A_\mathrm{r} e^{-i(k_1x+Et/\hbar)} & (z<0) \\
\begin{cases}
\, A_\mathrm{t} e^{i(k_2x-Et/\hbar)} & (E > V_0) \\
\, A_\mathrm{t} e^{-\rho_2x - i(Et/\hbar)} & (E < V_0)
\end{cases} & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
となる．ここで，&\psi(x,t) \\
&=
\begin{cases}
\, A_\mathrm{i} e^{i(k_1x-Et/\hbar)} + A_\mathrm{r} e^{-i(k_1x+Et/\hbar)} & (z<0) \\
\begin{cases}
\, A_\mathrm{t} e^{i(k_2x-Et/\hbar)} & (E > V_0) \\
\, A_\mathrm{t} e^{-\rho_2x - i(Et/\hbar)} & (E < V_0)
\end{cases} & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
k_1 &= \sqrt{2mE/\hbar^2} \\
k_2 &= \sqrt{2m(E-V_0)/\hbar^2} \\
\rho_2 &= \sqrt{2m(V_0-E)/\hbar^2}
\end{aligned}
である．k_1 &= \sqrt{2mE/\hbar^2} \\
k_2 &= \sqrt{2m(E-V_0)/\hbar^2} \\
\rho_2 &= \sqrt{2m(V_0-E)/\hbar^2}
\end{aligned}
振幅
$\psi(x,t)=e^{-iEt/\hbar}\varphi(x)$に対して，$\varphi,\mathrm{d}\varphi/\mathrm{d}x$は$x=0$で連続となるから境界条件
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, A_\mathrm{i} + A_\mathrm{r} = A_\mathrm{t} \\
\begin{cases}
\, k_1 (A_\mathrm{i} - A_\mathrm{r}) = k_2 A_\mathrm{t} & (E > V_0) \\
\, k_1 (A_\mathrm{i} - A_\mathrm{r}) = i \rho_2 A_\mathrm{t} & (E < V_0)
\end{cases}
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{cases}
\, A_\mathrm{i} + A_\mathrm{r} = A_\mathrm{t} \\
\begin{cases}
\, k_1 (A_\mathrm{i} - A_\mathrm{r}) = k_2 A_\mathrm{t} & (E > V_0) \\
\, k_1 (A_\mathrm{i} - A_\mathrm{r}) = i \rho_2 A_\mathrm{t} & (E < V_0)
\end{cases}
\end{cases}
\end{aligned}
振幅
\begin{aligned}
A_\mathrm{r}
&=
\begin{cases}
\, \dfrac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} A_\mathrm{i} & (E > V_0) \\
\, \dfrac{k_1 - i\rho_2}{k_1 + i\rho_2} A_\mathrm{i} & (E < V_0)
\end{cases} \\
A_\mathrm{t}
&=
\begin{cases}
\, \dfrac{2 k_1}{k_1 + k_2} A_\mathrm{i} & (E > V_0) \\
\, \dfrac{2 k_1}{k_1 + i\rho_2} A_\mathrm{i} & (E < V_0)
\end{cases}
\end{aligned}
A_\mathrm{r}
&=
\begin{cases}
\, \dfrac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} A_\mathrm{i} & (E > V_0) \\
\, \dfrac{k_1 - i\rho_2}{k_1 + i\rho_2} A_\mathrm{i} & (E < V_0)
\end{cases} \\
A_\mathrm{t}
&=
\begin{cases}
\, \dfrac{2 k_1}{k_1 + k_2} A_\mathrm{i} & (E > V_0) \\
\, \dfrac{2 k_1}{k_1 + i\rho_2} A_\mathrm{i} & (E < V_0)
\end{cases}
\end{aligned}
エネルギー
1次元の階段型ポテンシャルの場合には（上で見たように）\begin{aligned}
\psi(x,t)
&=e^{-iEt/\hbar}\varphi(x) \\
\varphi(x)
&=
\begin{cases}
\, A_\mathrm{i} e^{ik_1x} + A_\mathrm{r} e^{-ik_1x} & (z<0) \\
\begin{cases}
\, A_\mathrm{t} e^{ik_2x} & (E > V_0) \\
\, A_\mathrm{t} e^{-\rho_2x} & (E < V_0)
\end{cases} & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
なので\psi(x,t)
&=e^{-iEt/\hbar}\varphi(x) \\
\varphi(x)
&=
\begin{cases}
\, A_\mathrm{i} e^{ik_1x} + A_\mathrm{r} e^{-ik_1x} & (z<0) \\
\begin{cases}
\, A_\mathrm{t} e^{ik_2x} & (E > V_0) \\
\, A_\mathrm{t} e^{-\rho_2x} & (E < V_0)
\end{cases} & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
j(x)
&=\frac{\hbar}{2mi}
\biggl[\varphi^*(x) \cdot \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}(x)
-\frac{\mathrm{d}\varphi^*}{\mathrm{d}x}(x) \cdot \varphi(x)\biggr] \\
&=
\begin{cases}
\, \dfrac{\hbar k_1}{m} (|A_\mathrm{i}|^2 - |A_\mathrm{r}|^2) & (z<0) \\[8pt]
\begin{cases}
\, \dfrac{\hbar k_2}{m} |A_\mathrm{t}|^2 & (E > V_0) \\
\, 0 & (E < V_0)
\end{cases} & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
となる．j(x)
&=\frac{\hbar}{2mi}
\biggl[\varphi^*(x) \cdot \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}(x)
-\frac{\mathrm{d}\varphi^*}{\mathrm{d}x}(x) \cdot \varphi(x)\biggr] \\
&=
\begin{cases}
\, \dfrac{\hbar k_1}{m} (|A_\mathrm{i}|^2 - |A_\mathrm{r}|^2) & (z<0) \\[8pt]
\begin{cases}
\, \dfrac{\hbar k_2}{m} |A_\mathrm{t}|^2 & (E > V_0) \\
\, 0 & (E < V_0)
\end{cases} & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
$a < 0 < b$となるように区間$[a,b]$を考えて，確率の保存則の積分形
\begin{aligned}
\cancel{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_a^b \underbrace{\rho(x,t)}_{|\varphi(x)|^2} \,\mathrm{d}x}
+\underbrace{\int_a^b \frac{\mathrm{d}j}{\mathrm{d}x} \,\mathrm{d}x}_{=j(b)-j(a)}
=0
\end{aligned}
を適用すれば\cancel{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_a^b \underbrace{\rho(x,t)}_{|\varphi(x)|^2} \,\mathrm{d}x}
+\underbrace{\int_a^b \frac{\mathrm{d}j}{\mathrm{d}x} \,\mathrm{d}x}_{=j(b)-j(a)}
=0
\end{aligned}
\begin{aligned}
j(b) - j(a) = 0
\end{aligned}
となるから，j(b) - j(a) = 0
\end{aligned}
\begin{aligned}
j_\mathrm{i}&= \frac{\hbar k_1}{m} |A_\mathrm{i}|^2 \\
j_\mathrm{r}&= \frac{\hbar k_1}{m} |A_\mathrm{r}|^2 \\
j_\mathrm{t}
&=
\begin{cases}
\, \dfrac{\hbar k_2}{m} |A_\mathrm{t}|^2 & (E > V_0) \\
\, 0 & (E < V_0)
\end{cases}
\end{aligned}
と定めればj_\mathrm{i}&= \frac{\hbar k_1}{m} |A_\mathrm{i}|^2 \\
j_\mathrm{r}&= \frac{\hbar k_1}{m} |A_\mathrm{r}|^2 \\
j_\mathrm{t}
&=
\begin{cases}
\, \dfrac{\hbar k_2}{m} |A_\mathrm{t}|^2 & (E > V_0) \\
\, 0 & (E < V_0)
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
j_\mathrm{i} = j_\mathrm{r} + j_\mathrm{t}
\end{aligned}
が成り立つ．j_\mathrm{i} = j_\mathrm{r} + j_\mathrm{t}
\end{aligned}
よって，エネルギー反射率・透過率は
反射率・透過率
\begin{aligned}
r&=\frac{j_\mathrm{r}}{j_\mathrm{i}}
=\biggl| \frac{A_\mathrm{r}}{A_\mathrm{i}} \biggr|^2 \\
&=
\begin{cases}
\, \biggl(\dfrac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} \biggr)^2 & (E > V_0) \\
\, \biggl| \dfrac{k_1 - i\rho_2}{k_1 + i\rho_2} \biggr|^2 & (E < V_0)
\end{cases} \\
t&=
\begin{cases}
\,\displaystyle
\frac{j_\mathrm{t}}{j_\mathrm{i}}
=\frac{k_2}{k_1} \biggl| \frac{A_\mathrm{t}}{A_\mathrm{i}} \biggr|^2
=\frac{4 k_1 k_2}{(k_1 + k_2)^2}
& (E > V_0) \\
\, 0 & (E < V_0)
\end{cases}
\end{aligned}
r&=\frac{j_\mathrm{r}}{j_\mathrm{i}}
=\biggl| \frac{A_\mathrm{r}}{A_\mathrm{i}} \biggr|^2 \\
&=
\begin{cases}
\, \biggl(\dfrac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} \biggr)^2 & (E > V_0) \\
\, \biggl| \dfrac{k_1 - i\rho_2}{k_1 + i\rho_2} \biggr|^2 & (E < V_0)
\end{cases} \\
t&=
\begin{cases}
\,\displaystyle
\frac{j_\mathrm{t}}{j_\mathrm{i}}
=\frac{k_2}{k_1} \biggl| \frac{A_\mathrm{t}}{A_\mathrm{i}} \biggr|^2
=\frac{4 k_1 k_2}{(k_1 + k_2)^2}
& (E > V_0) \\
\, 0 & (E < V_0)
\end{cases}
\end{aligned}
境界面が$z=d$にある場合
$z=d$に境界面があるときは，$z^\prime = z -d$と座標変換すれば上の議論が使える．ただし，
\begin{aligned}
E_0 e^{\pm i(kz \mp\omega_0t)}
=E_0e^{\pm ikd} \cdot e^{\pm i(k\color{red}{z^\prime} \mp\omega_0t)}
\end{aligned}
であるから，上の議論でE_0 e^{\pm i(kz \mp\omega_0t)}
=E_0e^{\pm ikd} \cdot e^{\pm i(k\color{red}{z^\prime} \mp\omega_0t)}
\end{aligned}
\begin{aligned}
E_\mathrm{i} &\rightarrow E_\mathrm{i} e^{ik_1 d} \\
E_\mathrm{r} &\rightarrow E_\mathrm{r} e^{-ik_1 d} \\
E_\mathrm{t} &\rightarrow E_\mathrm{t} e^{ik_2 d}
\end{aligned}
と置き換える必要がある（電場の表式を決める際に，$t = 0, z = 0$で位相が$E_{\mathrm{i,r,t}}$に含まれ，顕にならないように定義したことの影響）．E_\mathrm{i} &\rightarrow E_\mathrm{i} e^{ik_1 d} \\
E_\mathrm{r} &\rightarrow E_\mathrm{r} e^{-ik_1 d} \\
E_\mathrm{t} &\rightarrow E_\mathrm{t} e^{ik_2 d}
\end{aligned}
エネルギー反射率・透過率は振幅の絶対値をとるので修正を受けないが，振幅は修正を受け
\begin{aligned}
&
\begin{cases}
\,\displaystyle
E_\mathrm{r}
=\frac{N_1 - N_2}{N_1 + N_2} e^{i2k_1 d} E_\mathrm{i} \\[8pt]
\,\displaystyle
E_\mathrm{t}
=\frac{2 N_1}{N_1 + N_2} e^{i(k_1-k_2) d} E_\mathrm{i}
\end{cases}\\
&
\begin{cases}
\,\displaystyle
P_\mathrm{r}
=\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} e^{i2k_1 d} P_\mathrm{i} \\[8pt]
\,\displaystyle
P_\mathrm{t}
=\frac{2 Z_2}{Z_2 + Z_1} e^{i(k_1-k_2) d} P_\mathrm{i}
\end{cases} \\
&
\begin{cases}
A_\mathrm{r}
=
\begin{cases}
\, \dfrac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} e^{i2k_1 d} A_\mathrm{i} & (E > V_0) \\
\, \dfrac{k_1 - i\rho_2}{k_1 + i\rho_2} e^{i2k_1 d} A_\mathrm{i} & (E < V_0)
\end{cases} \\[8pt]
A_\mathrm{t}
=
\begin{cases}
\, \dfrac{2 k_1}{k_1 + k_2} A_\mathrm{i} e^{i(k_1-k_2) d} & (E > V_0) \\
\, \dfrac{2 k_1}{k_1 + i\rho_2} A_\mathrm{i} e^{(ik_1 + \rho_2) d} & (E < V_0)
\end{cases}
\end{cases}
\end{aligned}
となる（階段型ポテンシャルの波動関数で$E < V_0$の場合は$A_\mathrm{t}\rightarrow A_\mathrm{t}e^{-\rho_2 d}$）．&
\begin{cases}
\,\displaystyle
E_\mathrm{r}
=\frac{N_1 - N_2}{N_1 + N_2} e^{i2k_1 d} E_\mathrm{i} \\[8pt]
\,\displaystyle
E_\mathrm{t}
=\frac{2 N_1}{N_1 + N_2} e^{i(k_1-k_2) d} E_\mathrm{i}
\end{cases}\\
&
\begin{cases}
\,\displaystyle
P_\mathrm{r}
=\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} e^{i2k_1 d} P_\mathrm{i} \\[8pt]
\,\displaystyle
P_\mathrm{t}
=\frac{2 Z_2}{Z_2 + Z_1} e^{i(k_1-k_2) d} P_\mathrm{i}
\end{cases} \\
&
\begin{cases}
A_\mathrm{r}
=
\begin{cases}
\, \dfrac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} e^{i2k_1 d} A_\mathrm{i} & (E > V_0) \\
\, \dfrac{k_1 - i\rho_2}{k_1 + i\rho_2} e^{i2k_1 d} A_\mathrm{i} & (E < V_0)
\end{cases} \\[8pt]
A_\mathrm{t}
=
\begin{cases}
\, \dfrac{2 k_1}{k_1 + k_2} A_\mathrm{i} e^{i(k_1-k_2) d} & (E > V_0) \\
\, \dfrac{2 k_1}{k_1 + i\rho_2} A_\mathrm{i} e^{(ik_1 + \rho_2) d} & (E < V_0)
\end{cases}
\end{cases}
\end{aligned}
参考文献
[1]詳解電磁気学演習：第10章$\text{\sect} 1.$ 問題〔1〕（2層・垂直入射）．※「理論電磁気学 第8章 問題(7)」と（ほぼ）同じもの．[2]理論電磁気学
[3]量子力学1 (KS物理専門書)：$\text{\sect} 3.2$「波動の反射と透過」．その他，第3章「1次元の量子系」の内容を参考にしています．
[4]音と音波 (基礎物理学選書 (4))
[5]物理とグリーン関数 (物理数学シリーズ 4)：補遺[A]「取り扱う方程式の出所」に波動現象のまとめがあります．
