2層・垂直入射の反射と透過(電磁波・音波・量子力学)

POINT

  • 波(電磁波・音波)が,異なる媒質の境界面に対し垂直に入射した場合の反射・透過について.
  • 量子力学で,1次元の階段型ポテンシャルに平面波が入射したときの反射・透過について.
  • これらの波動現象が,ほとんど同じ方法で扱えることを,計算を比較しながら確認する.

電磁波・音波・波動関数(量子力学)による平面波の「反射・透過」の問題について整理します.これらは,境界条件が同じ形をとることに由来して同じ表式になります.

【関連記事】

境界条件

反射波・透過波の振幅は,境界条件によって決定されます.

電磁波

2つの異なる誘電体の境界面において
  1. $\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t), \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)$の法線成分
  2. $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t), \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)$の接線成分
は連続となる(文献[2]第8章$\S 4$).

音波

2つの異なる物質の境界面において
  1. $p(\boldsymbol{x},t)$
  2. $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)$の法線成分
は連続となる.

量子力学

時間を含まない1次元Schrödinger方程式の解を$\varphi(x)$とする.ポテンシャル$V(x)$が$x=x_1$で有限の不連続性を持つとき
  1. $\varphi$
  2. $\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}$
は$x=x_1$で連続となる(文献[3] $\S 3.1$).

【補足】
1次元Schrödinger方程式

\begin{aligned}
i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (x,t)
=\biggl[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}
+V(x) \biggr]
\psi(x,t)
\end{aligned}
の定常解を
\begin{aligned}
\psi(x,t)
=e^{-iEt/\hbar}\varphi(x)
\end{aligned}
とする.つまり,$\varphi$は時間を含まないSchrödinger方程式
\begin{aligned}
\biggl[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}
+V(x) \biggr]\varphi(x)
=E\varphi(x)
\end{aligned}
の解である.

エネルギーの流れ・確率の流れ

ここでは,エネルギーの流れ(波動関数の場合は,確率の流れ)の保存則について説明する.

平面波の「反射・透過」の問題では,波の進む向きは1次元方向だけを考えればよい.このとき,エネルギーの流れ(波動関数の場合は,確率の流れ)は

\begin{aligned}
j_\mathrm{i}
= j_\mathrm{r} + j_\mathrm{t}
\end{aligned}
と分解できることが示される(後述).

したがって,エネルギー(波動関数の場合は確率確率)の反射率・透過率をそれぞれ

反射率・透過率の定義
\begin{aligned}
r=\frac{j_\mathrm{r}}{j_\mathrm{i}},\quad
t=\frac{j_\mathrm{t}}{j_\mathrm{i}}
\end{aligned}
で定義すれば
\begin{aligned}
r+t=1
\end{aligned}
が成り立つ(例えば,文献[3] $\S 3.2$ [問題3]).

電磁波

電磁場のエネルギー保存則を考えれば,
エネルギー保存則
\begin{aligned}
&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_V w \,\mathrm{d}V \\
&\quad
=-\int_V\boldsymbol{i}_e \cdot \boldsymbol{E}\,\mathrm{d}V
-\int_{\partial V} \boldsymbol{S}\cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S \\
&\begin{cases}
\, \displaystyle
w=\int^t \biggl(\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t^\prime}
+\boldsymbol{H}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t^\prime} \biggr)
\,\mathrm{d}t^\prime \\
\, \boldsymbol{S}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}
\end{cases}
\end{aligned}
が成り立つ.電荷(電流)が存在せず$\boldsymbol{i}_e=0$であり,$\boldsymbol{E},\boldsymbol{D}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{H}$が周期関数(周期$T_\mathrm{p}$)である場合,エネルギー保存則の時間平均をとると
\begin{aligned}
\int_{\partial V}
\langle \boldsymbol{S}\rangle \cdot \boldsymbol{n}
\,\mathrm{d}S
=
\int_{V}
\mathrm{div\,} \langle \boldsymbol{S} \rangle
\,\mathrm{d}V
=0
\end{aligned}
となる.

ここで,時間平均を

\begin{aligned}
\langle f \rangle
=\frac{1}{T_{\mathrm{p}}}\int_0^{T_{\mathrm{p}}} f(t)\,\mathrm{d}t
\end{aligned}
と表し,
\begin{aligned}
\biggl\langle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} \biggr\rangle
&=\frac{1}{T_{\mathrm{p}}}
\underbrace{\int_0^{T_{\mathrm{p}}}
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} (t) \,\mathrm{d}t}
_{=f(T_{\mathrm{p}}) - f(0)} \\
&= 0
\end{aligned}
であることを用いた.

また,1次元系では

\begin{aligned}
0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \langle S_x \rangle \,\mathrm{d}x \\
&=\langle S_x \rangle|_{x=b} - \langle S_x \rangle|_{x=a}
\end{aligned}
となる.これは後で用いる.

音波

音波を考える場合,速度ポテンシャルは波動方程式を満たす
\begin{aligned}
&\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)
=\mathrm{grad\,} \Phi(\boldsymbol{x},t) \\
&p(\boldsymbol{x},t)
=-\rho \frac{\partial\Phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
&\biggl(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta \biggr) \Phi =0
\end{aligned}
よって,波動方程式のエネルギー保存則を考えれば,
エネルギー保存則
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d}t}(t)
+\int_{\partial V}
p\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{n}
\,\mathrm{d}S
=0
\end{aligned}

\begin{aligned}
&E(t)=\int_V (K+U)\,\mathrm{d}V \\
&
\begin{cases}
\,\displaystyle
K= \frac{1}{2} \rho | \boldsymbol{\nabla} \Phi |^2
&\text{:運動エネルギー密度}\\
\,\displaystyle
U=\frac{1}{2} \frac{\rho}{c^2} \biggl(\frac{\partial \Phi}{\partial t}\biggr)^2
&\text{:ポテンシャルエネルギー密度}
\end{cases}
\end{aligned}
が成り立つことがわかる.

特に$\Phi(\boldsymbol{x},t)$が周期関数であるとき,エネルギー保存則の時間平均をとれば,上の電磁波の場合と同様に

\begin{aligned}
\int_{\partial V}
\langle p\boldsymbol{u}\rangle \cdot \boldsymbol{n}
\,\mathrm{d}S
=
\int_{V}
\mathrm{div\,} \langle p\boldsymbol{u}\rangle
\,\mathrm{d}V
=0
\end{aligned}
となる.特に,1次元系では
\begin{aligned}
0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \langle pu\rangle \,\mathrm{d}x \\
&=\langle pu\rangle|_{x=b} - \langle pu\rangle|_{x=a}
\end{aligned}
となる.これは後で用いる.

量子力学

量子力学において,確率の保存はSchrödinger方程式の解である波動関数$\psi(\boldsymbol{x},t)$を用いて
確率の保存則
\begin{aligned}
&\frac{\partial \rho}{\partial t}
+\mathrm{div\,} \boldsymbol{j}
=0 \\
&\begin{cases}
\, \rho(\boldsymbol{x},t)
=|\psi(\boldsymbol{x},t)|^2
=\psi^*(\boldsymbol{x},t)\psi(\boldsymbol{x},t) \\
\, \boldsymbol{j}(\boldsymbol{x},t)
=\dfrac{\hbar}{2mi} \Bigl[\psi^*(\boldsymbol{x},t) \cdot \boldsymbol{\nabla}\psi(\boldsymbol{x},t)
\end{cases}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad
- \boldsymbol{\nabla}\psi^*(\boldsymbol{x},t) \cdot \psi(\boldsymbol{x},t)\Bigr] \\
&\qquad\qquad
=\dfrac{1}{m} \mathrm{Re\,}
\Bigl[\psi^*(\boldsymbol{x},t) \cdot \frac{\hbar}{i}\boldsymbol{\nabla}\psi(\boldsymbol{x},t) \Bigr]
\end{aligned}
と表される(文献[3] $\S$2.4).これは,ガウスの発散定理を用いて積分形にすれば
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_V \rho(\boldsymbol{x},t) \,\mathrm{d}V
+\int_{\partial V} \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=0
\end{aligned}
となる.

特に,定常解

\begin{aligned}
\psi(\boldsymbol{x},t)
=e^{-iEt/\hbar}\varphi(\boldsymbol{x})
\end{aligned}
に対しては$\rho=|\varphi(\boldsymbol{x})|^2$が時間に依存しないことから
\begin{aligned}
&\mathrm{div\,} \boldsymbol{j}
=0 \\
&\biggl(\boldsymbol{j}
=\frac{\hbar}{2mi}
\bigl[\varphi^*(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{\nabla}\varphi(\boldsymbol{x})
- \boldsymbol{\nabla}\varphi^*(\boldsymbol{x}) \cdot \varphi(\boldsymbol{x})\bigr] \biggr)
\end{aligned}
あるいは積分形で表した
\begin{aligned}
\int_{\partial V} \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
=\int_{V} \mathrm{div\,}\boldsymbol{j} \,\mathrm{d}V
=0
\end{aligned}
が成り立つ.

特に,1次元系では

\begin{aligned}
0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d}j}{\mathrm{d}x} \,\mathrm{d}x \\
&=j(b)-j(a)
\end{aligned}
と表せる.これは後で用いる.

平面波の記述方法

以下では,平面波の反射や透過を考察する.そこで,各波動現象で平面波がどのように記述されるか整理しておく.

電磁波

自由電磁場(電荷・電流がない場合の電磁場)を考えるとき,スカラーポテンシャルをゼロにとることができる(文献[2]:第8章$\S 1$「真空中の電磁波の基本法則」,$\S 3$「誘電体中の電磁波」).

ベクトルポテンシャルを

\begin{aligned}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)
=\frac{1}{i\omega(k)}\boldsymbol{E}_0 e^{i\bigl(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega(k) t\bigr)}
\end{aligned}
とすれば,平面波
\begin{aligned}
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)
&=-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
=\boldsymbol{E}_0 e^{i\bigl(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega(k) t\bigr)} \\
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)
&=\mathrm{rot\,} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)
=\frac{\boldsymbol{k}}{\omega(k)} \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)
\end{aligned}
が得られる(文献[2]:第8章$\S 4$「電磁波の反射と屈折」).

また,$\mathrm{div\,}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)=0$より$\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{E}_0=0$であることがわかる.つまり,偏りの方向と進行方向は直交する.

音波

速度ポテンシャルとして
\begin{aligned}
\Phi(\boldsymbol{x},t)
&=\frac{p_0}{i\rho \omega} e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)}
\end{aligned}
を考えると,平面波
\begin{aligned}
p(\boldsymbol{x},t)
&=-\rho \frac{\partial \Phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
&=p_0 e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)} \\
\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)
&=\mathrm{grad\,} \Phi \\
&=\frac{p_0}{\rho c} \frac{\boldsymbol{k}}{k} e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)} \\
&=\frac{p(\boldsymbol{x},t)}{\rho c}\frac{\boldsymbol{k}}{k}
\end{aligned}
(但し,$k=|\boldsymbol{k}|$, $c=\omega/k$)が得られる.

【参考】
エネルギーを具体的に計算してみる.物理的に意味があるのは速度ポテンシャルの実部と虚部をとったときである.このとき,圧力と速度は$\mathrm{Re\,}[p(\boldsymbol{x},t)]$と$\mathrm{Re\,}[\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)]$(または$\mathrm{Im\,}[p(\boldsymbol{x},t)]$と$\mathrm{Im\,}[\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)]$)である.それぞれの場合に対して
\begin{aligned}
& K=U=\frac{(\mathrm{Re\,}p)^2}{2\rho c^2} , \text{or}\: \frac{(\mathrm{Im\,}p)^2}{2\rho c^2}\\
& (\mathrm{Re\,}p) (\mathrm{Re\,}u ) =\frac{(\mathrm{Re\,}p)^2}{\rho c}, \\
&\quad \text{or}\: (\mathrm{Im\,}p) (\mathrm{Im\,}u ) = \frac{(\mathrm{Im\,}p)^2}{\rho c}
\end{aligned}
となる.

量子力学

ポテンシャルエネルギーが一定$V(x)=V_0$の場合,Schrödinger方程式は
\begin{aligned}
\biggl[\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}+\frac{2m}{\hbar^2} (E-V_0)\biggr] \varphi(x)=0
\end{aligned}
となる.

したがって,

\begin{aligned}
\varphi(x)
=
\begin{cases}
\, Ae^{ikx} + Be^{-ikx} &(E - V_0 > 0) \\
\Biggl(k=\sqrt{\dfrac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}} \Biggr) \\
\,Ae^{\rho x} + Be^{-\rho x} & (E - V_0 < 0) \\
\Biggl(\rho=\sqrt{-\dfrac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}} \Biggr)
\end{cases}
\end{aligned}
が得られる($A,B$は任意定数).つまり,定常解は
\begin{aligned}
&\psi(x,t) \\
&=e^{-iEt/\hbar}\varphi(x) \\
&=
\begin{cases}
\, Ae^{i(kx-Et/\hbar)} + Be^{-i(kx+Et/\hbar)} &(E - V_0 > 0) \\
\, Ae^{\rho x-iEt/\hbar} + Be^{-\rho x-iEt/\hbar}& (E - V_0 < 0)
\end{cases}
\end{aligned}
である.

特に,$E - V_0 > 0$の場合は平面波解になっている.

反射率・透過率の計算

電磁波

$\boldsymbol{A}$が$x$軸方向に直線的な偏りをもつ,角振動数$\omega_0$の平面波を$z$軸正方向に入射することを考える.

上で見たように$\boldsymbol{k}$は偏りの方向と直行するから,$\boldsymbol{k}$を$z$軸方向に取る.すると,$\boldsymbol{E} \propto \boldsymbol{A}$から$\boldsymbol{E}$は$x$軸方向に偏りを持ち,$\boldsymbol{B} \propto \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{E}$から$\boldsymbol{B}$は$y$軸方向に偏りを持つことがわかる(下図).

振幅

境界面に対して接線成分だけがゼロでない値を持つから,境界条件は$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t), \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)$の接線成分の連続性を考える必要がある.
2層の反射・透過(垂直入射)
2層の反射・透過(垂直入射)

各誘電体中での電場を

\begin{aligned}
&E_x(z,t)\\
&=
\begin{cases}
\, E_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} + E_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)} & (z<0) \\
\, E_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)} & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
とすれば,上で見たように$\displaystyle \boldsymbol{B}=\frac{\boldsymbol{k}}{\omega_0} \times \boldsymbol{E}_0 e^{i (\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega_0 t)}$が成り立つことから
\begin{aligned}
&\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)
=B_y(z,t) \boldsymbol{e}_y, \\
&B_y(z,t) \\
&=
\begin{cases}
\, [E_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} - E_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)}]/v_1 & (z<0) \\
\, [E_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)}]/v_2 & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
となる($v_i(\omega)=1/\sqrt{\varepsilon_i(\omega)\mu_i(\omega)}=\omega/k_i$,$v_i=v_i(\omega_0)$).

ここで,分散性を持つ一様な誘電体中では(強誘電体や強磁性体を除き)

\begin{aligned}
\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)
&=\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{1}{\mu(\omega)} \hat{\boldsymbol{B}} (\boldsymbol{x},\omega)
e^{-i\omega t} \,\mathrm{d}\omega \\
&\biggl(\hat{\boldsymbol{B}}(\boldsymbol{x},\omega)
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)
e^{i\omega t} \,\mathrm{d}t \biggr)
\end{aligned}
が成り立つ(文献[2]:第3章$\S 2$「物質中のMaxwell方程式」,第8章$\S 3$「誘電体中の電磁波」).特に$\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)=\boldsymbol{B}_0(\boldsymbol{x}) e^{-i\omega_0 t}$の場合には,$\hat{\boldsymbol{B}} (\boldsymbol{x},\omega)=\boldsymbol{B}_0(\boldsymbol{x})\delta(\omega-\omega_0)$より$\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)/\mu(\omega_0)$となる.よって,
\begin{aligned}
&\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)
=H_y(z,t) \boldsymbol{e}_y, \\
&H_y(z,t) \\
&=
\begin{cases}
\, [E_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} - E_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)}]N_1 & (z<0) \\
\, [E_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)}]N_2 & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
である($\mu_i=\mu_i(\omega_0)$,$\varepsilon_i=\varepsilon_i(\omega_0)$,$N_i=\sqrt{\varepsilon_i/\mu_i}=1/(v_i \mu_i)$).

$z=0$における$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t), \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)$の接線成分の連続性から,

境界条件
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, E_\mathrm{i} + E_\mathrm{r} = E_\mathrm{t} \\
\, N_1(E_\mathrm{i} - E_\mathrm{r}) = N_2 E_\mathrm{t}
\end{cases}
\end{aligned}
となる.よって,
\begin{aligned}
E_\mathrm{i} &= \underbrace{\frac{1}{2}\biggl(1+\frac{N_2}{N_1}\biggr)}_{=A} E_\mathrm{t} \\
E_\mathrm{r} &= \underbrace{\frac{1}{2}\biggl(1-\frac{N_2}{N_1}\biggr)}_{=B} E_\mathrm{t}
\end{aligned}
だから,反射波・透過波の振幅を「入射波の振幅」を用いて表すと
振幅
\begin{aligned}
E_\mathrm{r}
&=\frac{B}{A} E_\mathrm{i}
=\frac{N_1 - N_2}{N_1 + N_2} E_\mathrm{i} \\
E_\mathrm{t}
&=\frac{1}{A} E_\mathrm{i}
=\frac{2 N_1}{N_1 + N_2} E_\mathrm{i}
\end{aligned}
となる.

エネルギー

上の表式で
\begin{aligned}
\psi_\mathrm{i}(z,t) &= E_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} \\
\psi_\mathrm{r}(z,t) &= E_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)} \\
\psi_\mathrm{t}(z,t) &= E_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)}
\end{aligned}
と表すと
\begin{aligned}
S_z
&= \mathrm{Re\,}E_x \cdot \mathrm{Re\,} H_y \\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{1}{2}[(\psi_\mathrm{i}+\psi_\mathrm{r}) + (\psi^*_\mathrm{i}+\psi^*_\mathrm{r})] \\
\, \displaystyle
\quad \cdot \frac{N_1}{2}[(\psi_\mathrm{i}-\psi_\mathrm{r}) + (\psi^*_\mathrm{i}-\psi^*_\mathrm{r})]
& (z < 0)\\
\, \displaystyle
\frac{1}{2}(\psi_\mathrm{t} + \psi^*_\mathrm{t})
\cdot \frac{N_2}{2}(\psi_\mathrm{t} + \psi^*_\mathrm{t})
& (z > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
である.$e^{\pm i2\omega_0 t}$が残る項は時間平均を取るとゼロになるから,時間平均をとったときに残るのは$\psi^*_{k}\psi_l$の形になるものだけである.したがって,
\begin{aligned}
\langle S_z \rangle
& = \langle \mathrm{Re\,}E_x\cdot \mathrm{Re\,} H_y \rangle \\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{N_1}{4}
[(\psi_\mathrm{i}+\psi_\mathrm{r})(\psi^*_\mathrm{i}-\psi^*_\mathrm{r}) \\
\qquad\qquad + (\psi^*_\mathrm{i}+\psi^*_\mathrm{r})(\psi_\mathrm{i}-\psi_\mathrm{r})]
& (z < 0)\\
\, \displaystyle
\frac{N_2}{4} 2|\psi_\mathrm{t}|^2
& (z > 0)
\end{cases}\\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{N_1}{2}(|\psi_\mathrm{i}|^2 - |\psi_\mathrm{r}|^2)
& (z < 0)\\[8pt]
\, \displaystyle
\frac{N_2}{2} |\psi_\mathrm{t}|^2
& (z > 0)
\end{cases}\\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{N_1}{2}(|E_\mathrm{i}|^2 - |E_\mathrm{r}|^2)
& (z < 0)\\[8pt]
\, \displaystyle
\frac{N_2}{2} |E_\mathrm{t}|^2
& (z > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
となる.

よって,

\begin{aligned}
j_\mathrm{i} = \frac{N_1}{2}| E_\mathrm{i}|^2 ,\quad
j_\mathrm{r} = \frac{N_1}{2}| E_\mathrm{r}|^2 ,\quad
j_\mathrm{t} = \frac{N_2}{2}| E_\mathrm{t}|^2
\end{aligned}
とすれば,$a < 0 < b$に対するエネルギー保存則
\begin{aligned}
0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d} \langle S_z \rangle}{\mathrm{d}z} \,\mathrm{d}z \\
&=\langle S_z \rangle _{z=b} - \langle S_z \rangle |_{z=a}
\end{aligned}
から
\begin{aligned}
j_\mathrm{i} = j_\mathrm{r} + j_\mathrm{t}
\end{aligned}
が成り立つ.

エネルギーの反射率$r$と透過率$t$は,それぞれ

反射率・透過率
\begin{aligned}
r&=\frac{j_\mathrm{r}}{j_\mathrm{i}}
=\biggl| \frac{E_\mathrm{r}}{E_\mathrm{i}}\biggr|^2
=\biggl(\frac{N_1 - N_2}{N_1 + N_2}\biggr)^2 \\
t&=\frac{j_\mathrm{t}}{j_\mathrm{i}}
=\frac{N_2}{N_1} \biggl| \frac{E_\mathrm{t}}{E_\mathrm{i}}\biggr|^2
=\frac{4 N_1 N_2}{(N_1 + N_2)^2}
\end{aligned}
と表せる.

音波

音波の場合は,各媒質での音場,速度場は
\begin{aligned}
&p(z,t)\\
&=
\begin{cases}
\, P_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} + P_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)} & (z<0) \\
\, P_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)} & (0 < z)
\end{cases}\\
&\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t)
=v_z(z,t) \boldsymbol{e}_z, \\
&v_z(z,t) \\
&=
\begin{cases}
\, [P_\mathrm{i} e^{i(k_1 z-\omega_0 t)} - P_\mathrm{r} e^{-i(k_1 z+\omega_0 t)}]/Z_1 & (z<0) \\
\, [P_\mathrm{t} e^{i(k_2 z-\omega_0 t)}]/Z_2 & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
となる($c_i=\omega/k_i$,$Z_i=\rho_i c_i$).

振幅

$z=0$での境界条件から
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, P_\mathrm{i} + P_\mathrm{r} = P_\mathrm{t} \\
\, (P_\mathrm{i} - P_\mathrm{r})/Z_1 = P_\mathrm{t} / Z_2
\end{cases}
\end{aligned}
となる.よって,電磁波の計算で$E\rightarrow P$,$N_i\rightarrow 1/Z_i$とすればよく,振幅は
振幅
\begin{aligned}
P_\mathrm{r}
&=\frac{1/Z_1 - 1/Z_2}{1/Z_1 + 1/Z_2} P_\mathrm{i}
=\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} P_\mathrm{i} \\
P_\mathrm{t}
&=\frac{2 /Z_1}{1/Z_1 + 1/Z_2} P_\mathrm{i}
=\frac{2 Z_2}{Z_2 + Z_1} P_\mathrm{i}
\end{aligned}
となる.

エネルギー

同様に電磁波の計算で$E\rightarrow P$,$N_i\rightarrow 1/Z_i$とすれば
\begin{aligned}
& \langle \mathrm{Re\,}p\cdot \mathrm{Re\,} u \rangle \\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle
\frac{1}{2 Z_1}(|P_\mathrm{i}|^2 - |P_\mathrm{r}|^2)
& (z < 0)\\
\, \displaystyle
\frac{1}{2 Z_2} |P_\mathrm{t}|^2
& (z > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
となる.

よって,

\begin{aligned}
j_\mathrm{i} = \frac{|P_\mathrm{i}|^2}{2 Z_1} ,\quad
j_\mathrm{r} = \frac{|P_\mathrm{r}|^2}{2 Z_1} ,\quad
j_\mathrm{t} = \frac{|P_\mathrm{t}|^2}{2 Z_2}
\end{aligned}
とすれば,$a < 0 < b$に対するエネルギー保存則
\begin{aligned}
0&=\int_a^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \langle pu\rangle \,\mathrm{d}x \\
&=\langle pu\rangle|_{x=b} - \langle pu\rangle|_{x=a}
\end{aligned}
から
\begin{aligned}
j_\mathrm{i} = j_\mathrm{r} + j_\mathrm{t}
\end{aligned}
が成り立つ.

よって,エネルギー反射率・透過率は

反射率・透過率
\begin{aligned}
r&=\frac{j_\mathrm{r}}{j_\mathrm{i}}
=\biggl| \frac{P_\mathrm{r}}{P_\mathrm{i}} \biggr|^2
=\biggl( \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} \biggr)^2 \\
t&=\frac{j_\mathrm{t}}{j_\mathrm{i}}
=\frac{Z_1}{Z_2}\biggl| \frac{P_\mathrm{t}}{P_\mathrm{i}} \biggr|^2
=\frac{4 Z_1 Z_2}{(Z_2 + Z_1)^2}
\end{aligned}
となる.

量子力学(階段型ポテンシャル)

階段ポテンシャル
\begin{aligned}
V(x)
&=
\begin{cases}
\, V_1 & (x < 0) \\
\, V_2 & (x > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
を考える.エネルギーの基準点と座標軸の正負を適当に取れば,$V_0 \geq 0$を用いて
\begin{aligned}
V(x)
&=
\begin{cases}
\, 0 & (x < 0) \\
\, V_0 & (x > 0)
\end{cases}
\end{aligned}
の形に表せる.
階段ポテンシャルによる波動関数の反射・透過
階段ポテンシャルによる波動関数の反射・透過

このポテンシャル中での波動関数は

\begin{aligned}
&\psi(x,t) \\
&=
\begin{cases}
\, A_\mathrm{i} e^{i(k_1x-Et/\hbar)} + A_\mathrm{r} e^{-i(k_1x+Et/\hbar)} & (z<0) \\
\begin{cases}
\, A_\mathrm{t} e^{i(k_2x-Et/\hbar)} & (E > V_0) \\
\, A_\mathrm{t} e^{-\rho_2x - i(Et/\hbar)} & (E < V_0)
\end{cases} & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
となる.ここで,
\begin{aligned}
k_1 &= \sqrt{2mE/\hbar^2} \\
k_2 &= \sqrt{2m(E-V_0)/\hbar^2} \\
\rho_2 &= \sqrt{2m(V_0-E)/\hbar^2}
\end{aligned}
である.

振幅

$\psi(x,t)=e^{-iEt/\hbar}\varphi(x)$に対して,$\varphi,\mathrm{d}\varphi/\mathrm{d}x$は$x=0$で連続となるから
境界条件
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, A_\mathrm{i} + A_\mathrm{r} = A_\mathrm{t} \\
\begin{cases}
\, k_1 (A_\mathrm{i} - A_\mathrm{r}) = k_2 A_\mathrm{t} & (E > V_0) \\
\, k_1 (A_\mathrm{i} - A_\mathrm{r}) = i \rho_2 A_\mathrm{t} & (E < V_0)
\end{cases}
\end{cases}
\end{aligned}
が成り立つ.よって,電磁波の計算で$E\rightarrow A$,$N_i\rightarrow k_i\,(\text{or}\,i\rho_i)$とすればよく,振幅は
振幅
\begin{aligned}
A_\mathrm{r}
&=
\begin{cases}
\, \dfrac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} A_\mathrm{i} & (E > V_0) \\
\, \dfrac{k_1 - i\rho_2}{k_1 + i\rho_2} A_\mathrm{i} & (E < V_0)
\end{cases} \\
A_\mathrm{t}
&=
\begin{cases}
\, \dfrac{2 k_1}{k_1 + k_2} A_\mathrm{i} & (E > V_0) \\
\, \dfrac{2 k_1}{k_1 + i\rho_2} A_\mathrm{i} & (E < V_0)
\end{cases}
\end{aligned}
となる.

エネルギー

1次元の階段型ポテンシャルの場合には(上で見たように)
\begin{aligned}
\psi(x,t)
&=e^{-iEt/\hbar}\varphi(x) \\
\varphi(x)
&=
\begin{cases}
\, A_\mathrm{i} e^{ik_1x} + A_\mathrm{r} e^{-ik_1x} & (z<0) \\
\begin{cases}
\, A_\mathrm{t} e^{ik_2x} & (E > V_0) \\
\, A_\mathrm{t} e^{-\rho_2x} & (E < V_0)
\end{cases} & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
なので
\begin{aligned}
j(x)
&=\frac{\hbar}{2mi}
\biggl[\varphi^*(x) \cdot \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}(x)
-\frac{\mathrm{d}\varphi^*}{\mathrm{d}x}(x) \cdot \varphi(x)\biggr] \\
&=
\begin{cases}
\, \dfrac{\hbar k_1}{m} (|A_\mathrm{i}|^2 - |A_\mathrm{r}|^2) & (z<0) \\[8pt]
\begin{cases}
\, \dfrac{\hbar k_2}{m} |A_\mathrm{t}|^2 & (E > V_0) \\
\, 0 & (E < V_0)
\end{cases} & (0 < z)
\end{cases}
\end{aligned}
となる.

$a < 0 < b$となるように区間$[a,b]$を考えて,確率の保存則の積分形

\begin{aligned}
\cancel{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_a^b \underbrace{\rho(x,t)}_{|\varphi(x)|^2} \,\mathrm{d}x}
+\underbrace{\int_a^b \frac{\mathrm{d}j}{\mathrm{d}x} \,\mathrm{d}x}_{=j(b)-j(a)}
=0
\end{aligned}
を適用すれば
\begin{aligned}
j(b) - j(a) = 0
\end{aligned}
となるから,
\begin{aligned}
j_\mathrm{i}&= \frac{\hbar k_1}{m} |A_\mathrm{i}|^2 \\
j_\mathrm{r}&= \frac{\hbar k_1}{m} |A_\mathrm{r}|^2 \\
j_\mathrm{t}
&=
\begin{cases}
\, \dfrac{\hbar k_2}{m} |A_\mathrm{t}|^2 & (E > V_0) \\
\, 0 & (E < V_0)
\end{cases}
\end{aligned}
と定めれば
\begin{aligned}
j_\mathrm{i} = j_\mathrm{r} + j_\mathrm{t}
\end{aligned}
が成り立つ.

よって,エネルギー反射率・透過率は

反射率・透過率
\begin{aligned}
r&=\frac{j_\mathrm{r}}{j_\mathrm{i}}
=\biggl| \frac{A_\mathrm{r}}{A_\mathrm{i}} \biggr|^2 \\
&=
\begin{cases}
\, \biggl(\dfrac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} \biggr)^2 & (E > V_0) \\
\, \biggl| \dfrac{k_1 - i\rho_2}{k_1 + i\rho_2} \biggr|^2 & (E < V_0)
\end{cases} \\
t&=
\begin{cases}
\,\displaystyle
\frac{j_\mathrm{t}}{j_\mathrm{i}}
=\frac{k_2}{k_1} \biggl| \frac{A_\mathrm{t}}{A_\mathrm{i}} \biggr|^2
=\frac{4 k_1 k_2}{(k_1 + k_2)^2}
& (E > V_0) \\
\, 0 & (E < V_0)
\end{cases}
\end{aligned}
となる.

境界面が$z=d$にある場合

$z=d$に境界面があるときは,$z^\prime = z -d$と座標変換すれば上の議論が使える.

ただし,

\begin{aligned}
E_0 e^{\pm i(kz \mp\omega_0t)}
=E_0e^{\pm ikd} \cdot e^{\pm i(k\color{red}{z^\prime} \mp\omega_0t)}
\end{aligned}
であるから,上の議論で
\begin{aligned}
E_\mathrm{i} &\rightarrow E_\mathrm{i} e^{ik_1 d} \\
E_\mathrm{r} &\rightarrow E_\mathrm{r} e^{-ik_1 d} \\
E_\mathrm{t} &\rightarrow E_\mathrm{t} e^{ik_2 d}
\end{aligned}
と置き換える必要がある.

エネルギー反射率・透過率は振幅の絶対値をとるので修正を受けないが,振幅は修正を受け

\begin{aligned}
&
\begin{cases}
\,\displaystyle
E_\mathrm{r}
=\frac{N_1 - N_2}{N_1 + N_2} e^{i2k_1 d} E_\mathrm{i} \\[8pt]
\,\displaystyle
E_\mathrm{t}
=\frac{2 N_1}{N_1 + N_2} e^{i(k_1-k_2) d} E_\mathrm{i}
\end{cases}\\
&
\begin{cases}
\,\displaystyle
P_\mathrm{r}
=\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} e^{i2k_1 d} P_\mathrm{i} \\[8pt]
\,\displaystyle
P_\mathrm{t}
=\frac{2 Z_2}{Z_2 + Z_1} e^{i(k_1-k_2) d} P_\mathrm{i}
\end{cases} \\
&
\begin{cases}
A_\mathrm{r}
=
\begin{cases}
\, \dfrac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} e^{i2k_1 d} A_\mathrm{i} & (E > V_0) \\
\, \dfrac{k_1 - i\rho_2}{k_1 + i\rho_2} e^{i2k_1 d} A_\mathrm{i} & (E < V_0)
\end{cases} \\[8pt]
A_\mathrm{t}
=
\begin{cases}
\, \dfrac{2 k_1}{k_1 + k_2} A_\mathrm{i} e^{i(k_1-k_2) d} & (E > V_0) \\
\, \dfrac{2 k_1}{k_1 + i\rho_2} A_\mathrm{i} e^{(ik_1 + \rho_2) d} & (E < V_0)
\end{cases}
\end{cases}
\end{aligned}
となる(階段型ポテンシャルの波動関数で$E < V_0$の場合は$A_\mathrm{t}\rightarrow A_\mathrm{t}e^{-\rho_2 d}$).

参考文献

[1]詳解電磁気学演習:第10章$\S 1.$ 問題〔1〕(2層・垂直入射).※「理論電磁気学 第8章 問題(7)」と(ほぼ)同じもの.
[2]理論電磁気学
[3]量子力学1 (KS物理専門書):$\S 3.2$「波動の反射と透過」.その他,第3章「1次元の量子系」の内容を参考にしています.
[4]音と音波 (基礎物理学選書 (4))
[5]物理とグリーン関数 (物理数学シリーズ 4):補遺[A]「取り扱う方程式の出所」に波動現象のまとめがあります.