クリストッフェル記号

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  • さまざまな座標系の具体計算を行う.

定義

\begin{align}
\Gamma^{\alpha}_{\:\beta\gamma}
&=g^{\alpha\mu} \Gamma_{\mu\beta\gamma} \\
\Gamma_{\alpha\beta\gamma}
&=\frac{1}{2} (\partial_{\gamma}g_{\alpha\beta} + \partial_{\beta}g_{\alpha\gamma} - \partial_{\alpha}g_{\beta\gamma} )
\end{align}

円筒座標

クリストッフェル記号(円筒座標系)
\begin{align}
& \Gamma_{\theta\theta r} = \Gamma_{\theta r \theta} = r,\quad \Gamma_{r\theta\theta} = -r, \\
&\Gamma^{\theta}_{\:\theta r} = \Gamma^{\theta}_{\:r \theta} =\frac{1}{r},\quad \Gamma^{r}_{\:\theta\theta} =-r
\end{align}であり,これ以外は$0$となる.

【証明】
計量テンソルは
\begin{align}
\left(g_{\mu\nu}\right)
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&r^2&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}\\
\left(g^{\mu\nu}\right)
&=\left(g_{\mu\nu}\right)^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1/r^2&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}
\end{align}で与えられる(参考:ラプラシアン(極座標・円筒座標・曲線座標)を超簡単に計算 - Notes_JP).

したがって,

  • $\partial_{\mu} g_{\nu\lambda}\neq 0$となるのは$(\mu,\nu,\lambda)=(r,\theta,\theta)$のときだけ

なので,

  • $\Gamma_{\alpha\beta\gamma}\neq0$となるのは「3つのうち2つの添字が$\theta$」で「残り1つの添字が$r$」のときだけ

である.しかも,この条件を満たすとき,$\Gamma_{\alpha\beta\gamma}$の3つの項のうち1つだけが$\neq0$となる.

【第1項が$\neq 0$となるとき】
\begin{align}
\Gamma_{\theta\theta r}
&=\frac{1}{2} \partial_{r}g_{\theta\theta}
=r \\
\Gamma^{\theta}_{\:\theta r}
&=g^{\theta\theta} \Gamma_{\theta\theta r}
=\frac{1}{r}
\end{align}

【第2項が$\neq 0$となるとき】
\begin{align}
\Gamma_{\theta r \theta}
&=\frac{1}{2} \partial_{r}g_{\theta\theta}
=r \\
\Gamma^{\theta}_{\:r \theta}
&=g^{\theta\theta} \Gamma_{\theta r \theta}
=\frac{1}{r}
\end{align}

【第3項が$\neq 0$となるとき】
\begin{align}
\Gamma_{r\theta\theta}
&=-\frac{1}{2} \partial_{r}g_{\theta\theta}
=-r \\
\Gamma^{r}_{\:\theta\theta}
&=g^{r r} \Gamma_{r\theta\theta}
=-r
\end{align}

上記以外は$\Gamma_{\alpha\beta\gamma}=0$となる.//

極座標

計量テンソルは
\begin{align}
(g_{\mu\nu})
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&r^2&0 \\
0&0&r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}\\
(g^{\mu\nu})
&=(g_{\mu\nu})^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1/r^2&0 \\
0&0&1/r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}
\end{align}で与えられる(参考:ラプラシアン(極座標・円筒座標・曲線座標)を超簡単に計算 - Notes_JP).