クリストッフェル記号

POINT

  • クリストッフェル記号の定義と性質について.
  • 円筒座標系,極座標系の具体計算を行う.

定義

\begin{align}
\Gamma^{\alpha}_{\:\beta\gamma}
&=g^{\alpha\mu} \Gamma_{\mu\beta\gamma} \\
\Gamma_{\alpha\beta\gamma}
&=\frac{1}{2} (\partial_{\gamma}g_{\alpha\beta} + \partial_{\beta}g_{\alpha\gamma} - \partial_{\alpha}g_{\beta\gamma} )
\end{align}

【参考】
基底ベクトルの共変微分に対して
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}_{\beta} \boldsymbol{e}_{\alpha}
&= \boldsymbol{e}_{\mu} \Gamma^{\mu}_{\:\alpha\beta}
\end{align}が成立する(参考:一般相対論入門 改訂版).

性質

添字の置換に対する対称性
\begin{align}
\Gamma^{\alpha}_{\:\beta\gamma}
&=\Gamma^{\alpha}_{\:\gamma\beta} \\
\Gamma_{\alpha\beta\gamma}
&=\Gamma_{\alpha\gamma\beta}
\end{align}が成立する.

円筒座標

クリストッフェル記号(円筒座標系)
\begin{align}
&\Gamma_{r\theta\theta} = -r,\quad \Gamma_{\theta\theta r} = \Gamma_{\theta r \theta} = r,\\
&\Gamma^{r}_{\:\theta\theta} =-r,\quad \Gamma^{\theta}_{\:\theta r} = \Gamma^{\theta}_{\:r \theta} =\frac{1}{r}
\end{align}であり,これ以外は$0$となる.

【証明】
計量テンソルは
\begin{align}
\left(g_{\mu\nu}\right)
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&r^2&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}\\
\left(g^{\mu\nu}\right)
&=\left(g_{\mu\nu}\right)^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1/r^2&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}
\end{align}で与えられる(参考:ラプラシアン(極座標・円筒座標・曲線座標)を超簡単に計算 - Notes_JP).

したがって,

  • $\partial_{\mu} g_{\nu\lambda}\neq 0$となるのは$(\mu,\nu,\lambda)=(r,\theta,\theta)$のときだけ

なので,

  • $\Gamma_{\alpha\beta\gamma}\neq0$となるのは「3つのうち2つの添字が$\theta$」で「残り1つの添字が$r$」のときだけ

である.しかも,この条件を満たすとき,$\Gamma_{\alpha\beta\gamma}$の3つの項のうち1つだけが$\neq0$となる.

クリストッフェル記号($\Gamma^{\alpha}_{\:\beta\gamma}$, $\Gamma_{\alpha\beta\gamma}$)の1つ目の添字$\alpha$が何かで場合分けして計算する.

【1つ目の添字が$\alpha=r$であるとき】
\begin{align}
\Gamma_{r\theta\theta}
&=-\frac{1}{2} \partial_{r}g_{\theta\theta}
=-r \\
\Gamma^{r}_{\:\theta\theta}
&=g^{r r} \Gamma_{r\theta\theta}
=-r
\end{align}


【1つ目の添字が$\alpha=\theta$であるとき】
\begin{align}
\Gamma_{\theta\theta r}=\Gamma_{\theta r\theta}
&=\frac{1}{2} \partial_{r}g_{\theta\theta}
=r \\
\Gamma^{\theta}_{\:\theta r}=\Gamma^{\theta}_{\: r\theta}
&=g^{\theta\theta} \Gamma_{\theta\theta r}
=\frac{1}{r}
\end{align}


【1つ目の添字が$\alpha=z$であるとき】
全て$=0$となる.


上記以外は$ \Gamma^{\alpha}_{\:\beta\gamma}=0$, $\Gamma_{\alpha\beta\gamma}=0$となる.//

極座標

クリストッフェル記号(極座標系)
\begin{align}
&\Gamma_{r\theta\theta} = -r,\quad
\Gamma_{r\varphi\varphi}=-r\sin^2\theta,\quad \\
& \Gamma_{\theta\theta r}=\Gamma_{\theta r\theta} = r,\quad
\Gamma_{\theta\varphi\varphi}=-r^2\sin\theta \cos\theta,\quad \\
&\Gamma_{\varphi r\varphi}=\Gamma_{\varphi\varphi r} = r\sin^2\theta,\quad \\
&\qquad \Gamma_{\varphi\theta\varphi}=\Gamma_{\varphi\varphi\theta} = r^2 \sin\theta \cos\theta \\
&\Gamma^{r}_{\:\theta\theta} = -r,\quad
\Gamma^{r}_{\:\varphi\varphi} = -r\sin^2\theta,\quad \\
&\Gamma^{\theta}_{\:\theta r}=\Gamma^{\theta}_{\: r\theta} = \frac{1}{r},\quad
\Gamma^{\theta}_{\:\varphi\varphi} = -\sin\theta \cos\theta,\quad \\
&\Gamma^{\varphi}_{\:r\varphi}=\Gamma^{\varphi}_{\:\varphi r} = \frac{1}{r},\quad
\Gamma^{\varphi}_{\:\theta\varphi}=\Gamma^{\varphi}_{\:\varphi\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
\end{align}であり,これ以外は$0$となる.

【証明】
計量テンソルは
\begin{align}
(g_{\mu\nu})
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&r^2&0 \\
0&0&r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}\\
(g^{\mu\nu})
&=(g_{\mu\nu})^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1/r^2&0 \\
0&0&1/r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}
\end{align}で与えられる(参考:ラプラシアン(極座標・円筒座標・曲線座標)を超簡単に計算 - Notes_JP).

したがって,

  • $\partial_{\mu} g_{\nu\lambda}\neq 0$となるのは$(\mu,\nu,\lambda)=(r,\theta,\theta)$, $(r,\varphi,\varphi)$, $(\theta,\varphi,\varphi)$のときだけ

なので,

  • $\Gamma_{\alpha\beta\gamma}\neq0$となるのは$\alpha,\beta,\gamma$の組み合わせが,$(r,\theta,\theta)$, $(r,\varphi,\varphi)$, $(\theta,\varphi,\varphi)$ときだけ

である.しかも,この条件を満たすとき,$\Gamma_{\alpha\beta\gamma}$の3つの項のうち1つだけが$\neq0$となる.

クリストッフェル記号($\Gamma^{\alpha}_{\:\beta\gamma}$, $\Gamma_{\alpha\beta\gamma}$)の1つ目の添字$\alpha$が何かで場合分けして計算する.

【1つ目の添字が$\alpha=r$であるとき】
$\partial_\mu g_{rr}=0\:(\forall \mu)$から,添字に$r$が含まれ$\neq0$となるのは$\partial_r g_{\theta\theta}$, $\partial_r g_{\varphi\varphi}$が現れる場合だけ.
\begin{align}
\Gamma_{r\theta\theta}
&=-\frac{1}{2} \partial_r g_{\theta\theta}
=-r \\
\Gamma^{r}_{\:\theta\theta}
&=g^{rr} \Gamma_{r\theta\theta}
=-r
\end{align}


\begin{align}
\Gamma_{r\varphi\varphi}
&=-\frac{1}{2} \partial_r g_{\varphi\varphi}
=-r\sin^2\theta \\
\Gamma^{r}_{\:\varphi\varphi}
&=g^{rr} \Gamma_{r\varphi\varphi}
=-r\sin^2\theta
\end{align}


【1つ目の添字が$\alpha=\theta$であるとき】
添字に$\theta$が含まれ$\neq0$となるのは$\partial_\theta g_{\varphi\varphi}=0$, $\partial_r g_{\theta\theta}$が現れる場合だけ.
\begin{align}
\Gamma_{\theta\theta r}=\Gamma_{\theta r\theta}
&=\frac{1}{2} \partial_{r}g_{\theta\theta}
=r \\
\Gamma^{\theta}_{\:\theta r}=\Gamma^{\theta}_{\: r\theta}
&=g^{\theta\theta} \Gamma_{\theta\theta r}
=\frac{1}{r}
\end{align}


\begin{align}
\Gamma_{\theta\varphi\varphi}
&=-\frac{1}{2} \partial_\theta g_{\varphi\varphi}
=-r^2\sin\theta \cos\theta \\
\Gamma^{\theta}_{\:\varphi\varphi}
&=g^{\theta\theta} \Gamma_{\theta\varphi\varphi}
=-\sin\theta \cos\theta
\end{align}


【1つ目の添字が$\alpha=\varphi$であるとき】
$\partial_\varphi g_{\mu\nu}=0\:(\forall \mu,\nu)$から,添字に$\varphi$が含まれ$\neq0$となるのは$\partial_r g_{\varphi\varphi}$, $\partial_\theta g_{\varphi\varphi}$が現れる場合だけ.
\begin{align}
\Gamma_{\varphi r\varphi}=\Gamma_{\varphi\varphi r}
&=\frac{1}{2} \partial_{r}g_{\varphi\varphi}
= r\sin^2\theta \\
\Gamma^{\varphi}_{\:r\varphi}=\Gamma^{\varphi}_{\:\varphi r}
&=g^{\varphi\varphi} \Gamma_{\varphi r\varphi}
=\frac{1}{r}
\end{align}


\begin{align}
\Gamma_{\varphi\theta\varphi}=\Gamma_{\varphi\varphi\theta}
&=\frac{1}{2} \partial_{\theta} g_{\varphi\varphi}
=r^2 \sin\theta \cos\theta \\
\Gamma^{\varphi}_{\:\theta\varphi}=\Gamma^{\varphi}_{\:\varphi\theta}
&=g^{\varphi\varphi} \Gamma_{\varphi\theta\varphi}
=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
\end{align}



上記以外は$ \Gamma^{\alpha}_{\:\beta\gamma}=0$, $\Gamma_{\alpha\beta\gamma}=0$となる.//

参考文献/記事